可靠性工程试题

20
2.2 可靠性运算的数学基础
( x1 x2
xn ) x1 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 x3
· · · xn )′=x1′x2′··· xn′ · · · xn )′
xn1 xn
根据对偶定理，可得：
（2—4）
(x 1 (x 1
x2 x2
根据式（2—3），上式可得：
推论 2：若 S1 , S2 ,
, Sn
Sk 均和
S1 Sn ,
无共同元素， 则
且 S1 S2 , S1 S3 ,
S1 ' S2 '
例如：
S 'n Sk S1 ' Sk
（2—8）
A '( ABC ) '( ACE ) ' GF A ' GF
26
2.2 可靠性运算的数学基础
例2 如某一个电网系统有下列四种情况引起电网失效：
设变量为 x1 , x2 , 理可得：
, xn , 根据不交型DeMorgan定
( x 1x 2 · · · xn)′= x1′
根据式（2—3）可得：
x 2′
···
x n′
x 1′
x 2′
···
x n′
x1x2 x1x2 x3 x1x2 xn1xn x1
1 (1000) 0.4% / h ns (1000)t 49 5
8

n f (1000)
1.2 可靠性特征量
n ( 1000 ) 1 f ˆ (1000 f ) n t 1 1 0.2% / h 100 5
由上例计算结果可见，从失效概率观点看， 在 t = 100 和 t = 1000h处，单位时间内失效频 率是相同（0.2%）的，而从失效率观点看， 1000h处的失效率比100h处的失效率加大一倍 （0.4%）， (1000h)更灵敏地反映出产品失效 的变化速度。 9
33
(2-17)
2.4 并联系统可靠性模型
n=2
Rs (t ) 1 (1 e ) 2e
t
t 2 2 t
t
e
2 (1 e s (t ) t 2e
1
)
1 3 3 MTBF 2 2 2
P(T ) q1q2 (1 q2 )q1q3 (1 q1 )q2 q3 (1- q1 )(1- q2 )q3q4 q5
注意：有时难于判断事件是否相容，要作 相容处理，先不交化再做之。
28
2.2 可靠性运算的数学基础
( x1 x2
xn ) x1 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 x3
p
xit 为 si 中的元素，t =1～p 。
可
定理1：若 Si , S j 如不包含共同元素，则S 'i S j 用不交型运算规则直接展开。 例如根据式（2—4）和分配律可得：
( BC) AF ( B BC) AF B AF BC AF
23
2.2 可靠性运算的数学基础
定理2：若 Si , S j 包含一些共同元素，则
1.2 可靠性特征量

1 n f (100) 1 1 f (100) 0.2% / h n t 100 5
ˆ(1000 （2）求产品在1000h时的失效率 ) 和 ˆ (1000 失效概率密度 f )。
n 100, ns (1000 ) 100 51 49 , n f (1000 ) 1 , t 1005-1000 5(h)
x3 x1 x2 xn 1 xn x1 x1x2 x1x2 x2 xn x1

(2—5)
以上推导出的式（2—4）和式（2—5）即 是直接不交化计算的不交型De Morgan定理。 例如由式(2-4)和式（2-5）可得A、B变量：
1.3 常用失效分析 指数分布一般记为 T
~ E ( ) 。
1.失效概率密度函数 f（t ）
f (t ) e
式中
t
(t 0) （1-17）

— 指数分布的失效率，为一常数。
10
1.3 常用失效分析
指数分布的失效概率密度函数f（t）的图形如 图1—10所示。
11
1.3 常用失效分析
∴
= 10 /110 = 9.09％
= 53 /110 = 48.18％
5
1.2 可靠性特征量
例1-3 对100个某种产品进行寿命试验， 在t=100h以前没有失效，而在100~105h之间有 1个失效，到1000h前共有51个失效， 1000~1005h失效1个，分别求出t=100和 t=1000h时，产品的失效率和失效概率密度。
Tr
给定可靠度 r 时，根据式（1—19） 可得： Tr
R(Tr ) e
r
将上式两边取自然对数，可得：
Tr ln r
所以
Tr
1

ln r
16
（1-22）
1.3 常用失效分析 7. 中位寿命 T0.5
将 r = 0.5 代入式（1—22）可得：
T0.5
1

ln 0.5 1
nf（t）=7，因已 知 n = 12，由式（1-2） 和（1-3）有：
n s (t ) n n f (t ) R(t ) n n 12 7 12 0.4167
3
1.2 可靠性特征量
(2) 3台可修产品的试验由图1—3(b)统计可得
n = 12， ns(t) = 5，由式(1-3)得：
1
1
32
2.4 并联系统可靠性模型
当 n个单元λ都相等时的各参数的计算式为：
Rs (t ) 1 (1 e )
ne (1 e ) s (t ) t n 1 (1 e )
1
t t n 1
t n
(2-16)
1 1 MTBF 2 n
1.2 可靠性特征量
例 1-1 在规定条件下对12个不可修复产品进行无替 换试验。在某观测时间内对3个可修复产品进行试验，试 验结果如图1-3所示。两图中“×”均为产品出现故障时 的时间，t为规定时间，求以上两种情况的产品可靠度估 ˆ (t ) 。 计值 R
图1-3
2
1.2 可靠性特征量
解：（1）不可修复产品试 验由图1-3（a）统计可得
18
2.1 系统可靠性框图
(3) 确定计算产品可度度的概率表达式：
设产品的可靠事件为E，电灯可靠的 事件分别为1、2、3、4 。 则有：
R P( E ) P(1 2 3 4) P(1)P(2)P(3) P(4)
R1R2 R3R4
19
2.2 可靠性运算的数学基础 2.直接不交化算法
0.693

17
（1-23）
1.3 常用失效分析
8. 特征寿命
r e
可得： T
e
1
Te 1
1
代入式（1-22）

1

ln e
1
1

指数分布有一个重要特性，即产品工作 了t0 时间后，它再工作 t 小时的可靠度与已工 作过的时间 t0 无关（无记忆性），而只与时 间 t 的长短有关。（可进行证明）
2.累积失效概率函数 F（t ）
F (t ) f (t )dt
t
t
et dt 1 et (t 0)
0
（1—18）
12
1.3 常用失效分析
3.可靠度函数R（t）
R(t ) 1 F (t ) e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
(t 0)
（1—19）
13
1.3 常用失效分析 4.失效率函数
ˆ (t ) R
= ns(t)／n
=5／12 = 0.4167
4
1.2 可靠性特征量
ˆ (t ) 2、累积失效概率的估计值 F
F (t ) 1 R(t ) n f (t ) / n

（1-5）
例1-2 有110只电子管，工作500h时有10只 失效，工作到1000h时总共有53只电子管失效， 求该产品分别在500h与1000h时的累积失效概率。 解： ∵ n 110, n f (500) 10, n f (1000) 53
A′+AB = A′+A(B′)′= (AB′)′
30
2.4 并联系统可靠性模型
2. 平均寿命
MT BF R(t )dt
0


i 1
n
1
i

1 1i j n i j
(1) n 1
1

i 1
n
i
(2-15) 当 n=2时
Rs (t ) e
1t
S 'i S j S 'i j S j
式中 Si j 例如： ——
（2—6）
具有而 S j 没有的元素 的布尔积。
Si
( ABC ) ' AE ( BC ) ' AE
24
由定理2可以得到以下两个推论：
推论1：若 S1 , S2 , , Sn 元素，则 都和Sk 包含一些共同的
S1 ' S2 ' S 'n Sk S '1k S '2k S 'nk Sk
e
2t
e
( 1 2 )t
31
2.4 并联系统可靠性模型
1 MT BF 1 2 1 2
1e t 2e t (1 2 )e ( )t S (t ) t t ( ) t e e e
1 2 1 2 1 2 1 2
（2—7）
式中 S1k ——S1 具有的而 Sk 没有的元素的布尔 2 积； S S 2k —— 具有的而Sk 没有的元素的布尔积；
Snk —— Sn 具有的而 Sk 没有的元素的布尔积。
例如：
( ABC ) '( BCE) ' BC A ' E ' BC
25
2.2 可靠性运算的数学基础
= (x1+x1′x2+x1′x2′x3+· · · +x1′ x2x3′ ··· xn-1′ xn)′
21
2.2 可靠性运算的数学基础 故有
x3 x1 x2 xn 1 xn x1 x1x2 x1x2 x2 xn x1
2.2 可靠性运算的数学基础
首先不交化处理： T = 12 13 23 345
12 (12)13 (12)(13)23 (12)(13)(23)345 12 213 1 1 23 1 1 2345 12 213 1 23 1 2345
1 2
1 3 2 3 34 5
1和2同时失效 ；
1和3同时失效 ； 2和3同时失效 ； 3、4和5同时失效 ；
已知 1、2、3、4和5的失效概率分别为 q1 ,
q2 , q3 , q4 , q5 , 且相互独立。
求： 电网失效概率 解：根据概率理论，电网失效T为
27 T 1213 23345
· · · xn )′=x1′x2′··· xn′ · · · xn )′
xn1 xn
根据对偶定理，可得：
（2—4）
(x 1 (x 1
x2 x2
根据式（2—3），上式可得：
= (x1+x1′x2+x1′x2′x3+· · · +x1′ x2x3′ ··· xn-1′ xn)′
29
2.2 可靠性运算的数学基础 故有
6
1.2 可靠性特征量
ˆ(100) 和失效概率密 解：（1）求产品在100h时的失效率 ˆ (100) 度 f 据题意有：
n 100, ns (100) 100, n f (100) 1 , t 105-100 5(h)
n f (100) ˆ (100) ns (100) t 1 1 0.2% / h 100 5 7

(2—5)
以上推导出的式（2—4）和式（2—5）即 是直接不交化计算的不交型De Morgan定理。 例如由式(2-4)和式（2-5）可得A、B变量：
A′+AB = A′+A(B′)′= (AB′)′
22
2.2 可靠性运算的数学基础 3.不交型积之和定理 设布尔积
其中
Si xit
t 1
(t )
(1 - 20)
(t ) ＝ λ=常数
14
1.3 常用失效分析 5. 平均寿命θ（MTTF或MTBF）
R(t )dt
0

e dt
t 0

1

（1—21）
因此，当产品寿命服从指数分布时， 其平均寿命θ与失效率 互为倒数。
15
1.3 常用失效分析
6. 可靠寿命