专题一 泛函分析之 可数集与不可数集g

2 集合的势：彼此对等的集合的共同属性标志称为集合 集合的势： 基数。集合A的势记作 的势记作A 的势或基数。集合 的势记作 注：对等集合具有相同的势 有限集合，势即其所含元素的个数。 有限集合，势即其所含元素的个数。 无限集合，势是“元素个数” 无限集合，势是“元素个数”概念的推 广。 势的比较定理： 3 势的比较定理：
10.有界数列集合 有界数列集合 m={(ξ1,ξ2,…,ξn,…)∣∣ξi∣≤kx,,kx为常数 ∣∣ξ 为常数} ξ ξ ξ ∣∣ 11.收敛数列集合 收敛数列集合 c={(ξ1,ξ2,…,ξn,…)∣∣ξi∣≤kx,,kx为常数 ∣∣ξ 为常数} ξ ξ ξ ∣∣ 12.闭区间上连续函数集合 闭区间上连续函数集合 C[a,b]={x(t)∣x(t)为[a,b]上连续函数 上连续函数} ∣ 为 上连续函数 13.闭区间上连续可微函数集合 13.闭区间上连续可微函数集合 上连续可微函数} D(1)[a,b]={x(t)∣x(t)为[a,b]上连续可微函数 ∣ 为 上连续可微函数 14.闭区间上可积函数集合 闭区间上可积函数集合 L[a,b]={x(t)∣x(t)为[a,b]上可积函数 上可积函数} ∣ 为 上可积函数 ………… D(1)[a,b]⊂C[a,b]⊂ L[a,b] ⊂ ⊂
专题一 可数集与不可数集
•几个常用集合 •集合的对等与势 •可数集与不可数集
一、几个常用集合
1. 自然数集 自然数集N={ 1,2,…} 2. 整数集 整数集Z={ 0,±1,±2,…} ± ± 3. 有理数集Q={ p/q, q>0, p,q∈Z } 有理数集 ∈ 4. 实数集合 实数集合R={ x | -∞<x<...+c = 2 > n
1 n 2 n n n n
3 不可数集及其势
不可数集：即非可数的无限集（ 不可数集：即非可数的无限集（或与自然数集 N不对等的无限集 不对等的无限集 连续区间 不可数集 其它 直线上任何连续区间都是对等, 势均为ℵ 称为连续统势。 直线上任何连续区间都是对等 势均为ℵ, 称为连续统势。
4 无限集的非凡性质--集合分解定理 无限集的非凡性质---集合分解定理
1 能与其真子集对等是无限集的特征, 注： ）能与其真子集对等是无限集的特征,不 能与其镇自己对等的集合一定是有限集。 能与其镇自己对等的集合一定是有限集。 ⇔能与其真子集对等的集合 2）无限集 ⇔能与其真子集对等的集合
注： ）Φ = {} ⊂ { a1 , a 2 ,..., a n } ⊂ { a1 , a 2 ,..., a n ,...} 1）
c⊂m ⊂
二、集合的对等与势
抽象集合的共同属性:数量属性--“ 抽象集合的共同属性:数量属性--“势”的概念 共同属性 -集合论的一个基本问题 基本问题： 集合论的一个基本问题：确定或比较集合所含元素的 个数” 即集合的“ “个数”（即集合的“势”）问题 对有限集， 列表配对” 解决办法 对有限集，“列表配对” 对无限集，建立“对等” 对无限集，建立“对等”关系 对应关系法
定理：任何一个无限集合能与其一个真子集对等， 定理：任何一个无限集合能与其一个真子集对等， 反之也成立 是任一无限集， 证 设A是任一无限集，在A中任取一可列集 是任一无限集 中任取一可列集 A1={a1,a2,…,an,…}⊂A ⊂ 记 A2={a2,a3,…,an,..}, AC=A\A1, A3=AC∪A2⊂A 作一一映射 f: A→A3 ,f(a1)=ai+1, f(x)=x, x∈A3 ,x≠ai⇒A~A3 → ∈ ≠
连续统 ⊂ 任何无限集 非连续统
2）0<n< ℵ0 < ℵ ）
ℵ 2ℵ <2 <2 <…
3）没有势最大的集合 ） 4）在ℵ0与ℵ之间不存在另一种势 (康托连续统假设 ） 康托连续统假设) 康托连续统假设 5）有限集合A= {a1,a2,…,an}的全部子集构成的集合 ）有限集合 的全部子集构成的集合 Ă={{a1},…, {an},{a1, a2},{a1, a3},…,{an-1, an}, …,{a1,a2,…,an}} 称为A的幂集， 称为 的幂集，所含元素个数为
三、可数集与不可数集
1 集合分类—(按对等关系划分) 集合分类— 按对等关系划分) 有限集—元素个数有限的集合 有限集 元素个数有限的集合 集合 可数集（可列集） 可数集（可列集） 无限集 不可数集 2 可数集及可数集的势 可数集： 所有可数集均对等） 可数集：与自然数集对等的集合 （所有可数集均对等） 可数集的势：记作啊列夫零ℵ 可数集的势：记作啊列夫零ℵ0 注：1）A是可数集⇔A={a1,a2,…,an,…} 是可数集⇔ ） 是可数集 2）表示可数集 的无限序列应满足两个条件： ）表示可数集A的无限序列应满足两个条件： 每个a ① 每个 n∈A，且在无限序列中必须有确定的位置； ，且在无限序列中必须有确定的位置； 表示可数集A的无限序列中不能有重复元素出现， ②表示可数集 的无限序列中不能有重复元素出现， 3）可数集排成无限序列的方法不唯一 ）
4 证明两个集合对等的常用方法 证明两个集合对等的常用方法： (1)用定义， (1)用定义，建立两个集合间的双射 用定义 (2)用对等的性质（反身性、对称性、传递性） (2)用对等的性质（反身性、对称性、传递性） 用对等的性质 (3)利用伯恩斯坦定理（对等关系定理） (3)利用伯恩斯坦定理（对等关系定理） 利用伯恩斯坦定理 (4)用势相等：可数集的性质； (4)用势相等：可数集的性质；连续统的性质 用势相等
5. 二维平面 R2={(x,y)∣x,y ∈ ∈R} ∣ 6. 三维空间 R3 ={(x,y,z)∣x,y,z ∈ ∈R} ∣ 7. n维空间 Rn ={(x1, x2,… ,xn)∣xi∈R} 维空间 ∣ 8. 有理系数多项式集合 P0={p(t)∣p(t)=a0+a1t+ …antn, ai ∈Q} ∣ 9. 实系数多项式集合 P={p(t)∣p(t)=a0+a1t+ …antn,ai ∈R} ∣ P0 ⊂ P
1. 对等定义 设有 、B两个非空集合。如果存在一 对等定义：设有 设有A、 两个非空集合 两个非空集合。 个从A到 的一个双射 即一一映射） 的一个双射（ 个从 到B的一个双射（即一一映射）f :A→ B，则称 → ， 集合A与 势对等的或一一对应的 记作A~B。 的或一一对应 集合 与B势对等的或一一对应的，记作 。 规定：空集与其自身对等。 规定：空集与其自身对等。 对等关系性质：自反性、对称性、传递性。 对等关系性质：自反性、对称性、传递性。
(1) 若A ⊂ B ，则 A ≤ B (2) 若A ≤ B 且 A ≠ B ，则 A < B (3)（伯恩斯坦定理） 为两个集合, (3)（伯恩斯坦定理）设A、B为两个集合,A1⊂A， B1⊂B，若A∼B1，且B∼A1，则A∼B。 (4)设集合A、B、C满足C⊂B⊂A，若A∼C，则 (4)设集合A 满足C 设集合 从而A A∼B，从而A∼B∼C。
3 可数集的性质
定理1： 定理 ： 任何无限集都含有可数子集 推论1：任何无限集总存在一个子集与N对等 推论 ：任何无限集总存在一个子集与 对等 = 推论2：任何无限集的势≥N = ℵ0 推论 ：任何无限集的势 定理2： 定理 ：可数集的子集是一个至多可数集 推论3：可数集的每个无限子集一定是可数集。 推论 ：可数集的每个无限子集一定是可数集。 定理3：可数个可数集的并是可数。 定理 ：可数个可数集的并是可数。 推论4：至多可数个至多可数集的并是至多可数集。 推论 ：至多可数个至多可数集的并是至多可数集。 推论5：在一个可数集上添加（或去掉）一个有限集后, 推论 ：在一个可数集上添加（或去掉）一个有限集后 所得集合仍是一个可数集。 所得集合仍是一个可数集。ℵ 0±n= ℵ 0 推论6：在一个可数集上添加一个可数集后， 推论 ：在一个可数集上添加一个可数集后，所得集合 仍是一个可数集。 ℵ 仍是一个可数集。ℵ 0+ℵ 0 = ℵ 0 推论7：在一个可数集上去掉一个可数集后， 推论 ：在一个可数集上去掉一个可数集后，所得集合 是一个至多可数集。 是一个至多可数集。 ℵ 0 -ℵ 0 ≤ ℵ 0 ℵ