复变函数疑难问题分析

复变函数疑难问题分析
复变函数疑难问题分析
1. 设z
z z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。

1）函数)(z f 在区域D 中是否有⽆限个零点？2）若上⼩题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤⽴性相⽭盾？为什么？
答：有⽆限个零点。

可以具体写出其所以零点；不⽭盾。

因为这⽆限多个零点均为孤⽴零点；不可以展开为洛朗级数。

因为0=z 为⾮孤⽴的奇点。

2. “函数sin z 在z 平⾯上是有界的”是否正确？
sin z 在z 平⾯上⽆界。

这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz iz
e e z y i
--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？
z e 是以2k i π为周期的函数。

因为z C ?∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==?=，k 为整数
4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？
()f z z =在z 平⾯上不解析。

因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ?=?，1v y ?=-?，0u y ?=?，0v x
= 但是
11u v x y ??=≠-=??，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平⾯上处处不满⾜..C R -条件所以()f z z =在z 平⾯上不解析。

5.根据教材中建⽴起球⾯上的点（不包括北极点N ）复平⾯上的点间的⼀⼀对应，试求解下列问题。

（1）复球⾯上与点(1)22
对应的复数；（2）复数1+i 与复球⾯上的那个点；
（3）简要说明如何定义扩充复平⾯。

解：（1）建⽴空间直⾓坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过
点P 与点(0,0,2)N 的直线⽅程
为21z -==-。

当0z =时
，x y ==
，所以,,1)22
对应。

（2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。

则直线⽅程2112
x y z -==-与球⾯222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333
，(0,0,2)N （3）z 平⾯上以个模为⽆穷⼤的假想点⼀北极N 相对应，复平⾯上加上∞后称为扩充复平⾯。

6．说明复变函数可微性与解析性的关系。

复变函数()w f z =在点0z 处可导，⼜称为可微，⽽()f z 在0z 处的某个邻域内任⼀点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。

所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不⼀定在0z 处是解析的，
（2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任⼀点处均可导，
（3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。

7．()1sin f z z
=在区域D ：01z <<上解析且有⽆穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤⽴性定理相⽭盾吗？为什么？
1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有⽆穷多个零点1k z k π
=，但lim 0k k z →∞=，但0D ?，⽽区域D 是去⼼邻域，()f z 在0z =点⽆意义，所以()f z 在0z =处是
不解析的，也即1()sin f z z
=在D 内解析也有⽆穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤⽴性定理不⽭盾。

8.复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞
=∑发散.这个命题是否
成⽴?为什么?
答.不⼀定．反例: 2211111111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞
∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散
但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=?∑∑收敛；112()n n n n a b n
∞∞==-=∑∑发散； 24
1111[(
)]n n n n a b n n ∞∞===-+∑∑收敛. 9.下列说法是否正确?为什么?
(1)每⼀个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.
(2) 每⼀个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.
(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
10. 为什么区域R z <||内解析且在区间),(R R -取实数值的函数)(z f 展开成z 的
幂级数时，展开式的系数都是实数？
因为当z 取实数值时，)(z f 与)(x f 的泰勒级数展开式是完全⼀致的，
⽽在R x <||内，)(x f 的展开式的系数都是实数。

所以，在区域R z <||内，)(z f 展开成z 的幂级数时，它的系数都是实数。

11.由 23...1z z z z z =+++- 2111 (1)
z z z z =+++- 因为011z z z z +=--,所以有结果2332111...11...0z z z z z z
+++++++++= 请解释错误的原因。

答:因为23...1z z z z z
=+++-要求z 1< ⽽2
111...1z z z z =+++-要求z 1> 所以,在不同区域内2362111...11...011z z z z z z z z z z
+≠+++++++++≠-- 12.0=z 是函数)
/1cos(1)(z z f =的孤⽴奇点吗？为什么？解: 因为11()cos()z f z =的奇点有
0z =
1π1π(0,1,2,...)π2π2
k z k z k =+?==±±+ 所以在0z =的任意去⼼邻域，总包括奇点1ππ2z k =
+，当k →∞时，z=0。

从⽽0z =不是11
cos()z 的孤⽴奇点.
13. 函数21()(1)f z z z =
-在1z =处有⼀个⼆级极点，但根据下⾯罗朗展开式： 25431111, 11(1)(1)(1)(1)
z z z z z z =+-+->----L . 我们得到“1z =⼜是()f z 的本性奇点”，这两个结果哪⼀个是正确的？为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的⼆级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在
011z <-<内得到的在011z <-<内的罗朗展开式为
22221111111(1)(1)...(1)1(1)(1)1
z z z z z z z z z =-+=-+--+-+----- 14. 如何证明当∞→y 时，|)sin(|iy x +和|)cos(|iy x +都趋于⽆穷⼤？证明：()()i i i i 11sin e e e e 2i 2i z z y x y x z --+-=
-=?- ∴i i i i 1
sin e 2
e e e e y x y x y x y
y x y z e -+--+--=?-== ⽽()()i i 11sin e e e e 22y x y x y y z -+---=-≥ 当+∞→y 时，0→-y e ，+∞→y e 有∞→+|)sin(|iy x ．
当-∞→y 时，+∞→-y e ，0→y e 有∞→+|)sin(|iy x ．
同理得()()i i 1
1cos i e e e e 22
y x y x y y x y -+--+=+-≥ 所以当∞→y 时有∞→+|)cos(|iy x ．
15. 设函数)(z f 在1||0<
为零，问)(z f 是否需在0=z 处解析？试举例说明之。

解：不⼀定。

如令21)(z
z f =，则其在1||0<
z C dz z dz z f 但显然2
1)(z z f =在0=z 处不解析。

16.设)(z f 在单连通区域D 内解析，且不为零，C 为D 内任何⼀条简单光滑闭曲线，问积分?'C dz z f z f )()(是否为零？为什么？解：等于零。

因)(z f 在D 内解析，故)(z f 具有各阶导数且仍为解析函数，从⽽)(z f '在D 内也解析，⼜因在D 内0)(≠z f ，故)
()(z f z f '在D 内解析，从⽽在C 上及C 的内部也解析，于是由Cauchy-Gourssat 定理，有
0)
()(='?C dz z f z f 17. 设()333322,0(),00x y i x y z f z x y z ?-++≠?=?+=??
()f z 在原点是否满⾜C R -条件，是否可微？
解：()()()()()33
22
,0,0,,0,00x y x y u x y x y x y ≠?-?=+??=? ()()()()()
3322,0,0,,0,00x y x y v x y x y x y ≠?+?=+??=? 1lim )0,0()0,(lim )0,0(00=??=?-?=→?→?x x x
u x u u x x x ，同理0)0,0()0,0()0,0(===y x y v v u 。

从⽽在原点)(z f 满⾜C R -条件。

⼜
z
v i u v i u z z f f x x ??+-?+?=?'-?)0,0()0,0(()()(
=[][]
z y x z i y x i ??+??+-?-?+3333)()()1()()()1( 当z ?沿0→?=?x y 时 3)
(2)1()(x i z z f f ?+-=?'-? 故)(z f 在原点不可微
18. 在数学分析中，要构造⼀个处处连续⼜处处不可微的例⼦是⼀件⾮常困难
的事情，⽽在复变函数中，这样的例⼦却⼏乎是随⼿可得，请举出⼀个例⼦．例如： ()f z z =在z 平⾯上处处不可微．证明：不难看出()f z z =在z 平⾯上处处连续，但对于任意⼀点0z ．
000000()()f z z f z z z z z z z z z z z z
+?-+?-+?-?=== 当z ?取实数趋于零时，上述极限为1，⽽当z ?取纯虚数趋于零时，上述极限为1-，因此上述极限不存在，即()f z 在点0z 不可导，由0z 的任意性知)(z f 在点z 平⾯上处处不可微．
19. “若),(y x u 和),(y x v 均为调和函数，则),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数”
是否正确？
解：不正确。

例如： 22),(y x y x u -=，2
2),(y x y y x v +=
都是调和函数，但),(),()(y x iv y x u z f +=不是解析函数。

事实上，2,2,2,2-==-==yy xx y x u u y u x u ， 2222
2222)
(,)(2y x y x v y x xy v y x +-=+-= 3
223
232232)(26,)(26y x y y x v y x y y x v yy xx ++-=+-= 0;0=+=+yy xx yy xx v v u u
这表⽰),(),,(y x v y x u 是调和函数。

但y x v u ≠，即不满⾜C —R 条件，从⽽),(),()(y x iv y x u z f +=不是解析函数。

20. 指出下列推导过程中的错误：
设0≠z ，则
（1）因为22)(z z =-；
（2）所以22)(Lnz z Ln =-；
（3）于是有Lnz Lnz z Ln z Ln +=-+-)()(；
（4）所以Lnz z Ln 2)(2=-；
（5）故得Lnz z Ln =-)(。

解：推理步骤1）--3）是正确的，但3）⾄4）是错误的。

Lnz Lnz +可视为由两个相同数集Lnz 各取⼀个元素相加所得的和的数集。

⽽Lnz 2只是数集Lnz 中每⼀数的两倍所成的数集。

Lnz 2仅是Lnz Lnz +的⼀个真⼦集。

事实上，
)2(arg ||ln πk z i z Lnz ++=，,...1,0),)12((arg ||ln )(±=-++=-k k z i z z Ln π所以
)(z Ln Lnz -≠
21. 在复变函数中，z e 也可以象实分析中的x e 既可看成以e 为底的指数函数，也可以看成数e 的x 次幂哪样理解吗？
不能，在复变函数中，z e 表⽰复变指数函数的⼀个符号，即)sin (cos y i y e e x z +=，⼀般⽤符号z exp 表⽰，习惯上还是⽤z e 表⽰，但是，这⾥的z e 没有幂的含意。

z e 作为指数函数与e 的z 次幂有很⼤的差别。

作为指数函数)sin (cos y i y e e x z +=是⼀单值解析函数。

作为e 的z 次幂，按照乘幂定义
)]2(ln ex p[)(x p i k e z zLne e e z π+==
=,...2,1,0),2exp(exp )]21(exp[±±=?=+k zi k z i k z ππ
⼀般情况下，它是多值的。

22.实分析中的微分中值定理具有重要的理论意义和应⽤价值，它能推⼴到复变
函数中来吗？
答不能.我们以罗尔（Rolle ）定理为例来说明不能推⼴到复变函数中的原因.罗尔定理告诉我们，若函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 可导，并且()()f a f b =，则⾄少存在⼀点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.由于复变函数()w f z =是定义在z 平⾯中集合上的函数，它的连续性与可导性都要求函数定义在⼀点的某个邻域上或某个区域上，仅在实轴（或虚轴）的某个区间上不能讨论它的连续性与可导性.况且由于复数不能⽐较⼤⼩，所以在复平⾯上（除实轴或虚轴外）不能定义通常的区间，即使将罗尔定理中的前⾯两个条件放宽为()f z 在z 平⾯某个区域D 内解析，将条件“()()f a f b =”改为在D 内的某线段的两个端点1z 与2z 上相等，即12()()f z f z =，结论也不⼀定成⽴.例如，设()z f z e =，根据指数函数z e 的周期性，对任何z ，z z k i e e π+=（k 为整数），但是()0z z e e '=≠，罗尔定理不成⽴.
23.对于复变对数函数，当正整数1n >时，等式
n nLn z Ln z =， 1Ln z n
= 不成⽴，为什么？
答由于复变对数函数是⽆穷多值函数，所以上⾯两个等式成⽴应当理解为等式两端可能取得的函数值的全体是相同的.但当n 为⼤于1的正整数时，上述等式两端所取得的函数值的全体并不相同，现以2n =时为例来说明.设i z re θ=，则
22ln (24),0,1,2,.Ln z r i l l θπ=++=±±
⼜由222i z r e θ=得
22ln (22),0,1,2,.Ln z r i m m θπ=++=±±。