学案6：7.1.2 弧度制及其与角度制的换算

7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
预习导引
1．度量角的单位制 (1)角度制
规定周角的______为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制． (2)弧度制
在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为__________，它的单位符号是______，读作______．这种以______作单位度量角的单位制，叫作弧度制． 预习交流1
角α＝3这种表达方式正确吗？
2．弧度数的计算
预习交流2
(1)扇形弧长为18 cm ，半径为12 cm ，则圆心角的弧度数是__________． (2)一条弦的长度等于圆半径的1
2，则这条弦的圆心角的弧度数是( )．
A.π6
B.π3
C.1
2 D ．以上都不对 3．角度与弧度的互化
预习交流3
填空．(记住下面一些特殊角的度数与弧度数的互化)
4．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则
预习交流4
(1)在弧度制下的扇形面积公式S ＝1
2lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？
(2)圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的弧长为______cm ，面积为
课堂·互动探究
问题导学
一．角度制与弧度制的互化 活动与探究1
(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π
12化成度；(3)将8化成度．
迁移与应用
把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．
(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π
5.
名师点津
1.角度与弧度的互化．
(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝
π
180
rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π
180 rad. 2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π
180
rad 化为弧度即可．
以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数． 二．用弧度表示终边相同的角及区域角
已知角α＝2 005°，
(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
迁移与应用
已知角α的终边与π3的终边相同，求角α
3在[0,2π)内的值．
名师点津
(1)用弧度表示终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．
(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β ①首先表示β的一般形式． ②然后根据区间范围讨论k 的值． ③最后把k 的值代入β的一般形式求出． (3)判断角所在的象限
对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断．对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过比较α与π2，π，3π
2的大小估计出角所在的象限．
活动与探究3
用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
迁移与应用
用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．
名师点津解答此类题目的关键在于正确识图，以动态的观点分析阴影区域是由哪些角所围成(其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式，应正确给出角的不等关系)，是否包含边界．
三．弧长公式及扇形面积公式的应用
活动与探究4
已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．
迁移与应用
如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)AB 的长； (2)弓形ACB 的面积．
名师点津
(1)在弧度制下的弧长公式及扇形面积公式中，由α，R ，l ，S 中的两个量可以求出另外的两个量，即用方程的思想“知二求二”．
(2)求扇形的面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．
当堂检测
1．下列说法中，错误的是( )．
A ．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同
B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的1
2π
C ．1 rad 的角比1°的角要大
D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关 2．半径为π cm ，圆心角为120°的弧长为( )． A.π3 cm B.π23 cm C.2π3 cm D.2π2
3
cm 3．把－1 485°写成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )．
A ．－8π＋π
4
B ．－8π－7π
4
C ．－10π－π
4
D ．－10π＋7π
4
4．(1)300°化为弧度是________； (2)－5π
6
化为度是________；
(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是________．
5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．
参考答案
预习导引
1．(1)1
360
(2)1弧度的角 rad 弧度 弧度
预习交流1：提示：正确．角α＝3表示3弧度的角，这里将“弧度”省略了． 2．正数 负数 0 预习交流2：(1)3
2 (2)D
预习交流3：30° 45° 120° 0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π2
4.|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12lr 12
|α|r 2 预习交流4：(1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆． (2)π2 3π2
课堂·互动探究
问题导学
活动与探究1：解：(1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π
8；
(2)－5π
12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°； (3)8≈8×57.30°＝458.40°.
迁移与应用：解：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180 rad ＝3π
8 rad ；
(2)810°＝810×π180 rad ＝9π
2 rad ；
(3)108°＝108×π180 rad ＝3π
5 rad ；
(4)135°＝135×π180 rad ＝3π
4 rad ；
(5)7π rad ＝7×180°＝1 260°； (6)－5π2 rad ＝－5
2×180°＝－450°；
(7)23π4 rad ＝23
4×180°＝1 035°；
(8)－4π5 rad ＝－4
5
×180°＝－144°.
活动与探究2：解：(1)2 005°＝2 005×π180＝401π36＝5×2π＋4136π.
又π＜41π36＜3π
2
，
所以α与41π
36终边相同，是第三象限角．
(2)与α角终边相同的角为2k π＋41π
36
，k ∈Z .
由－5π≤2k π＋41π
36＜0，
可得－52－4172≤k ＜－4172.
∵k ∈Z ，
∴k ＝－3，－2，－1.
∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.
迁移与应用：解：∵角α的终边与π
3的终边相同，
∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )．∴α3＝23k π＋π
9(k ∈Z )．
又∵0≤α3＜2π，∴0≤23k π＋π
9＜2π(k ∈Z )．
当k ＝0时，α3＝π
9，在[0,2π)内；
当k ＝1时，α3＝7π
9，在[0,2π)内；
当k ＝2时，α3＝13π
9
，在[0,2π)内．
∴在[0,2π)内，角α3的值有三个，即π9，7π9，13π
9
.
活动与探究3：解：(1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π
6，
而75°＝75×π180＝5π
12
，
∴{θ|2k π－π6＜θ＜2k π＋5π
12
，k ∈Z }．
(2)图②中以OB 为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π
4，
而135°＝135×π180＝3π
4
，
∴{θ|2k π－3π4＜θ＜2k π＋3π
4
，k ∈Z }．
迁移与应用：解：(1)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪
2k π＋π6≤α≤2k π＋5π
4，k ∈Z . (2)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪
⎪ 2k π－π3≤α≤2k π＋π
6，k ∈Z . (3)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪
⎪ k π＋π4≤α≤k π＋2π
3，k ∈Z . 活动与探究4：解：设扇形的弧长为l ，半径为R ， 则l ＋2R ＝30.
∴l ＝30－2R .由0＜l ＜2πR ，
得0＜30－2R ＜2πR ，
∴15π＋1
＜R ＜15. ∴S ＝12lR ＝12
(30－2R )R ＝－R 2＋15R
＝－⎝⎛⎭⎫R －1522＋2254⎝⎛⎭
⎫15π＋1<R <15. ∴当R ＝152∈⎝⎛⎭
⎫15π＋1，15时，S 最大＝2254. 此时l ＝30－2R ＝15，α＝l R ＝15152
＝2. 故当R ＝152，α＝2 rad 时，扇形面积最大为2254
. 迁移与应用：解：(1)因为120°=120180π=23π，所以l=6×23
π =4π，即AB 的长为4π.
(2)S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，取AB 中点D ，连接OD ，则S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12
×2× 6cos 30°×6sin 30°＝9 3.
所以S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.
所以弓形ACB 的面积为12π－9 3.
当堂检测
1．A
2．D
【解析】∵120°＝2π3
， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×π＝2π23
(cm)． 3．D
【解析】－1 485°＝－1 800°＋315°＝－10π＋7π4
. 4．(1)5π3
； (2)－150°；
(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪
3π4＋2k π≤α≤5π4＋2k π，k ∈Z . 5．解：设扇形的弧长为l ，它所在圆的半径为r ，圆心角为α(0＜α＜2π)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
l ＋2r ＝6，12
lr ＝2. 消去l 得r 2－3r ＋2＝0，解得r ＝1或r ＝2.
当r ＝1时，l ＝4，α＝l r ＝41
＝4； 当r ＝2时，l ＝2，α＝l r ＝22
＝1. 故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．。