一全微分的定义二可微的条件三小结-文档资料

二 元 函 数 y的 x和 对 对 偏 微 分
全增量的概念
z f (x, y)在 (x, y)的 如 果 函 数 点 某 邻 域 内 有 定 义 ，
P(x x, y y)为 设 这 邻 域 内 的 任 意 一 点 ， 则 称
这 两 点 的 函 数 值 之 差 f (x x, y y) f (x, y) x, y的 为 函 数 在 点P对 应 于 自 变 量 增 量 全 增 量 ，
其 中 A, B 不 依 赖 于 x、 y 而 仅 与 x、 y 有 关 ，
( x )2 ( y )2 ， 则 称 函 数 z f ( x , y ) 在 点
( x, y) 可 微 分 ， Ax By 称 为 函 数 z f ( x, y) dz ， 即 在点 ( x, y)的全微分，记为
z A x B y o ( ) 总成立,

特 别 地 ， 当 时 ， 上 式 仍 成 立 ， y 0
| x|, 此 时
A x o (| x |), f ( x x , y ) f ( x , y )
f ( x x , y ) f ( x , y ) lim A z , x x x 0
z [ f ( 0 , 0 ) x f ( 0 , 0 ) y ] x y
x y ( x )2 ( y )2
,
如 果 考 虑 点 沿 着 直 线 趋 近 于 ， y x ( 0 , 0 ) P ( x , y )
x y
则
( x ) 2 ( y ) 2
dz A x B y .
函 数 若 在 某 区 域 D 内 各 点 处 处 可 微 分 ， 则 称 这 函 数 在 D 内 可 微 分 .
如 果 函 数 在 点 可 微 分 , 则 函 数 在 该 z f ( x , y ) ( x , y ) 点 连 续 .
事实上
x 0 y 0
证略。
z z dz dx dy . x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
z z dz dx dy . x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
z， 记 为 即
z f ( x x , y y ) f ( x , y ).
全微分的定义
如 果 函 数 z f ( x , y ) 在 点( x , y ) 的 全 增 量
z f ( x x, y y) f ( x, y)
可以表示为
z A x B y o( ) ，
一、全微分的定义 二、可微的条件
三、小结
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f ( x ,y ) x x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f ( x ,y ) y y
二 元 函 数 x和 y的 对 对 偏 增 量
z
P
y
x
二、可微的条件
z f (x, y)在 定 理 1（ 可 微 分 必 要 条 件 ）如 果 函 数
(x, y)可 (x, y) 的 点 微 分 ， 则 该 函 数 在 点 偏
z z z f (x, y) 导 数 、 必 存 在 ， 且 函 数 x y
(x, y)的 在 点 全 微 分 为
z z dz x y . x y
z z dz dx dy . x y
x dx , y dy .
证
如 果 函 数 在 点 可 微 分 , z f ( x , y ) P ( x , y )
P ( x x , y y ) P 的 某 个 邻 域
同理可得
B z . y
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
微分存 在．
例如，
xy 2 2 f(x ,y ) x y 2 2 0 x y 0
全微分存 在． 2 2 x y 0 .
f ( 0 , 0 ) f ( 0 , 0 ) 0 . 在 点 处 有 ( 0 , 0 ) x y

x x 1 , ( x )2 ( x )2 2
0 说 明 它 不 能 随 着 而 趋 于 0 , 即，当 0 时，
z [ f ( 0 , 0 ) x f ( 0 , 0 ) y ] 1 x y 2
即 z [ f ( 0 , 0 ) x f ( 0 , 0 )ຫໍສະໝຸດ y ] o ( ), x y
z A x B y o ( ), lim z 0 ,
0

lim f( x x ,y y ) lim [ f ( x ,y ) z ]
0
f ( x ,y )
故 函 数 在 点 处 连 续 . z f ( x , y ) ( x , y )
函 数 在 点 处 不 可 微 . ( 0 , 0 )

0
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微
分存在。
zf( x ,y ) 定 理 ２ （ 可 微 分 的 充 分 条 件 ） 如 果 函 数
z z ( x ,y ) 的 偏 导 数、在 点 连 续 ， 则 该 函 x y
( x ,y )可 数 在 点 微 分 ．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz . x y z
xy ( 2 , 1 ) 例 1计 算 函 数 在 点 处 的 全 微 分 . z e