【步步高】高考数学一轮复习第九章平面解析几何圆锥曲线的综合问题文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析
几何 9.8 圆锥曲线的综合问题文
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c ＝0 (或ay2＋by＋c＝0).
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB
－x1|＝1＋1
k2
·|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线. 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切.( ×)
(2)直线y＝kx (k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交.( ×)
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.( √)
(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切.( √)
(5)过点(2,4)的直线与椭圆x2
4
＋y2＝1只有一条切线.( ×)
(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个.( √)
1.直线y＝kx－k＋1与椭圆x2
9
＋
y2
4
＝1的位置关系为________.
答案相交
解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭
圆相交.
2.若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________________. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，23 解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ， 若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，23. 3.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条. 答案 3
解析 过(0,1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有1条，这3条直线与抛物线都只有一个公共点.
4.已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________.
答案 16
解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧ y ＝3x ＋1x 2＝4y 得y 2
－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，
∴AB ＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.
5.(2014·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2
c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且FA ＝c ，则双曲线的渐近线方程为________.
答案 y ＝±x
解析 抛物线的准线y ＝－p 2，焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2， ∴a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 22＝c 2.① 设抛物线的准线y ＝－p 2交双曲线于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2，－p 2两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－p 2，x 2a 2－y 2
b 2＝1，
即x 2
a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 22
b 2＝1， 解得x ＝±a p 24b 2＋1， ∴2a
p 24b 2＋1＝2c .② 又∵b 2＝c 2－a 2，③
∴由①②③，得c 2
a 2＝2. ∴
b 2a 2＝
c 2
a
2－1＝1， 解得b a ＝1.
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .。