8.2化二次型为标准形
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2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 + L + kn yn
其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 例2.1 求一个正交变换X=CY，把二次型: f = 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 − 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3x4
化为标准形.
0 1 解: 1)二次型的矩阵为 A = 1 −1
所用的线性变换为
x1 1 1 0 1 0 1 z1 x = 1 −1 0 0 1 2 z 2 2 x3 0 0 1 0 0 1 z3
13
1 1 3 z1 1 −1 −1z , = 2 0 0 1 z3
§2 化二次型为标准形
1. 用正交变换化实二次型为标准形 定理2.1(主轴定理). 对于任意实二次型 f(x)=XTAX ,存 定理 在正交变换X=CY，使f 化为标准形.
2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 + L + kn yn
其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 证明: 证明 由于A是实对称矩阵,由第5章定理3.1知有正交阵 C, 使CTAC=ding(k1,k2,…,kn),其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 作正交变换X=CY, 则实二次型 f =XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y=
1 0 −3 1 −3 A 0 E = 0 1 0 0 1 0 0 1 0
18
1 1 1 −2 1 −2 0 1 2 1 0 1 0 1 0 −3 −3 −3 1 −3 −2 −3 0 r1 + r2 1 −3 0 0 → → c1 + c2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0
2 = ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 2 x2 (2 x3 ) + (2 x3 ) 2 = ( x1 + x2 + x3 ) 2 + ( x2 + 2 x3 ) 2 . 2
10
令
y1 = x1 + x2 + x3, x2 + 2x3, 即 y2 = y = x3, 3
17
1 −1 0 因此 C = 0 1 −1 , 0 0 1 例2.5 求一可逆线性变换将 f = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3
化为标准型(此题同例2.3).
0 1 1 解：此二次型对应的矩阵为 A = 1 0 −3 , 1 1 0 1 −3 0
代入可得
f = 2y − 2y − 4y1 y3 + 8y2 y3
2 1 2 2
2 2 2 2 2 = 2y1 − 4y1 y3 + 2y3 − 2y2 + 8y2 y3 −8y3 + 6y3
= 2( y1 − y3) − 2( y2 − 2y3) + 6y .
2 2 2 3
12
y3, z1 = y1 − 令 z2 = y2 − 2y3, 即 z = y3, 3
4
得A的特征值为λ1=-3, λ2=λ3=λ4= 1, 由(A-λE)X =0,求A的全部特征向量, 当λ1=-3,解方程 (A+3E)X=0，
5
得基础解系
单位化, 得
当 λ2=λ3=λ4= 1, 解方程(A-E)X=0，由
6
−1 1 A− E = 1 −1
1 −1 −1 1
1 −1 −1 1
1 0 −1 1
1 −1 0 1
−1 1 ， 1 0
3
2) 由|A-λE|=0，求A的特征值
1 = (1− λ) 1 1 −1 −1 1 1 −λ
1 −10 −λ −1 0 −2
1 −2 −λ −1
−1 2 2
0 0 0 −λ +1 1 1 1 = (1− λ)2 0 −λ −1 −2 0 −2 −λ −1
则该变换把 f 化成标准形
f = 2z − 2z + 6z .
2 1 2 2 2 3
总之，任何二次型都可用上面的方法找到可逆的线性 变换，把二次型化成标准形. 定理2.2 任何n元实二次型都可以经过可逆的线性变换 定理 化成标准形.
14
3. 用初等变换法化二次型为标准形 设有可逆线性变换X=CY,它把二次型XTAX化为标准形 YTBY, 则CTAC=B. 由第2章推论 推论5.4知道:任一可逆矩阵都可以表示为若干 推论 个初等矩阵的乘积. 故存在初等矩阵P1, P2,…, Ps, 使得 C=P1P2… Ps, 于是 CTAC=PsT… P2T P1T AP1P2 …Ps= diag(k1,k2, ⋅ ⋅ ⋅,kn). 任意一个实对称矩阵 为对角矩阵. 这说明,任意一个实对称矩阵 A,可以经过一 系列相同类型的初等行、列变换化为对角形矩阵.这里所 系列相同类型的初等行、列变换化为对角形矩阵 谓的相同类型的初等行、列变换指的是:每对 A 进行一次 行变换，紧接着对 A 进行一次相同类型的列变换.
f =y +y .
2 1 2 2
11
例2.3 用配方法化二次型
f = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3
成标准型，并求出所用的可逆的线性变换. 解: 在 f 中不含有平方项, 由于含有x1,x2的乘积项, 故令
x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x = y3 , 3
A 1. 写出二次型的矩阵A，构造2n×n 矩阵 ； E T
f = k1y12+k2y22+…+kryr2.
16
1 1 1 例2.4 设 A = 1 2 2 , 求可逆矩阵C,使CTAC为对角矩阵. 1 2 1
A 解 ： = E
2 2 2 = x1 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2 x 2 + 5 x 3 + 6 x 2 x 3 = ( x1 + x2 + x3 )2 去掉配方后多出来的项 去掉配方后多出来的项
2 1
2 2
2 3
− x − x − 2x2 x3 + 2x + 5x + 6x2 x3
2 2 2 3
2 2 2 3
3) 取
单位化, 得
4) 令P=( p1,p2,p3,p4),于是得正交变换X=CY,即
8
1 1 1 0 2 2 2 x1 1 1 1 y1 0 x − y 2 2 2 2 = 2 , x3 1 1 1 y3 0 − y 2 2 4 x4 2 1 1 1 0 − 2 2 2 5) 用正交变换X=CY,将f 化成标准形
0 2 1 −2 0 −2 2 2 0 − 1 2 0 0 − 1 2 −2 − 1 2 −2 r2 − r1 / 2 −2 −2 −3 0 −2 0 r3 + r1 0 −2 → → → c2 − c1 / 22 0 0 1 1 − 1 2 0 1 −1 2 1 1 1 1 0 1 2 0 12 0 1 0 1 0 0 0 0 −2 −2 −2 0 0 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 2 2 1 1 1 0 2 1 c2 − c1 1 1 0 r2 − r1 0 1 0 c3 − c2 0 0 −1 → → → , r3 − r1 1 r3 − r2 1 c3 − c1 1 0 0 − 1 − 1 − 1 − 1 −1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 − 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
−1 1 −1 1 0 0 ~ 1 0 0 −1 0 0
−1 0 0 0
1 0 , 0 0
x1 = x2 + x3 − x4 , x = x , 2 2 解 得 x3, x3 = x4 = x4. x1 1 1 −1 x 1 0 0 k 2 = k + k + k ，2, k3 , k4不同时为零. 即 x3 2 0 3 1 4 0 7 0 0 1 x4
x1 = y1 − y2 + y3, y2 − 2y3, x2 = x = y3. 3
所用的线性变换为:
x1 1 −1 1 y1 x = 0 1 −2 y . 2 2 x3 0 0 1 y3
则该变换把f 化成标准形为:
15
又因为
C = P1P2 …Pk =EP1P2 …Pk ，
所以,对 A 作的列变换同样施加于 E, 即得变换矩阵C . 于是就得出用初等变换法化二次型为标准形的步骤 用初等变换法化二次型为标准形的步骤是： 用初等变换法化二次型为标准形的步骤
A C AC 2. 进行初等行变换 → E C 对A作同类型的初等行、列变换; 对E只作其中的初 等列变换. 当A化为对角矩阵时, 单位矩阵E也相应地化为 可逆矩阵C. 3. 作可逆线性变换 X=CY, 则该变换将f 化为标准形
i=1 j =1 n n
2、由|A-λE|=0，求出A的全部特征值； 3、由(A-λE)=0，求出A的特征向量； 对于求出的不同的特征值所对应的特征向量已正交的 只须单位化;对于k重特征值λk所对应的k个线性无关特征向 量用Schimidt标准正交化方法把它们化为k个两两正交的单 位向量.
2
4、把求出的n个两两正交的单位向量，拼成正交矩阵 C, 作正交变换X=CY; 5、 用X=CY，把 f 化成标准型:
用正交变换法化二次型为标准形，具有保持几何形状 不变的优点.正交变换不惟一，但正交变换得到的标准形是 9 惟一的.（不考虑对角元的次序时）
2. Lagrange配方法化二次型为标准形 配方法化二次型为标准形 例2.2用配方法将二次型:
f=x +2x +5x +2x1x2+2x1x3+6x2 x3
化成标准形，并写出所用的可逆的线性变换. 解 由于 f 中含有的平方项，故把含有 x1 的项归为一 含有x1的项配方 类，配方得： 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
z3, y1 = z1 + z2 + 2z3, y2 = y = z3, 3
x1 1 1 0 y1 y1 1 0 1 z1 x = 1 −1 0 y 和 y = 0 1 2 z , 2 2 2 2 x3 0 0 1 y3 y3 0 0 1 z3
Tding(k ,k ,…,k )Y= k y 2+k y 2+…+k y 2. Y 1 1 2 2 n n 1 2 n
1
应用定理2.1求实二次型f(x)= XTAX标准型问题, 其实 质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题. 经过上面的讨论,总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤： 1、将二次型 f = ∑∑ aij xi xj 写成矩阵形式；
其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 例2.1 求一个正交变换X=CY，把二次型: f = 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 − 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3x4
化为标准形.
0 1 解: 1)二次型的矩阵为 A = 1 −1
所用的线性变换为
x1 1 1 0 1 0 1 z1 x = 1 −1 0 0 1 2 z 2 2 x3 0 0 1 0 0 1 z3
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1 1 3 z1 1 −1 −1z , = 2 0 0 1 z3
§2 化二次型为标准形
1. 用正交变换化实二次型为标准形 定理2.1(主轴定理). 对于任意实二次型 f(x)=XTAX ,存 定理 在正交变换X=CY，使f 化为标准形.
2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 + L + kn yn
其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 证明: 证明 由于A是实对称矩阵,由第5章定理3.1知有正交阵 C, 使CTAC=ding(k1,k2,…,kn),其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 作正交变换X=CY, 则实二次型 f =XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y=
1 0 −3 1 −3 A 0 E = 0 1 0 0 1 0 0 1 0
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1 1 1 −2 1 −2 0 1 2 1 0 1 0 1 0 −3 −3 −3 1 −3 −2 −3 0 r1 + r2 1 −3 0 0 → → c1 + c2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0
2 = ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 2 x2 (2 x3 ) + (2 x3 ) 2 = ( x1 + x2 + x3 ) 2 + ( x2 + 2 x3 ) 2 . 2
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令
y1 = x1 + x2 + x3, x2 + 2x3, 即 y2 = y = x3, 3
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1 −1 0 因此 C = 0 1 −1 , 0 0 1 例2.5 求一可逆线性变换将 f = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3
化为标准型(此题同例2.3).
0 1 1 解：此二次型对应的矩阵为 A = 1 0 −3 , 1 1 0 1 −3 0
代入可得
f = 2y − 2y − 4y1 y3 + 8y2 y3
2 1 2 2
2 2 2 2 2 = 2y1 − 4y1 y3 + 2y3 − 2y2 + 8y2 y3 −8y3 + 6y3
= 2( y1 − y3) − 2( y2 − 2y3) + 6y .
2 2 2 3
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y3, z1 = y1 − 令 z2 = y2 − 2y3, 即 z = y3, 3
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得A的特征值为λ1=-3, λ2=λ3=λ4= 1, 由(A-λE)X =0,求A的全部特征向量, 当λ1=-3,解方程 (A+3E)X=0，
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得基础解系
单位化, 得
当 λ2=λ3=λ4= 1, 解方程(A-E)X=0，由
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−1 1 A− E = 1 −1
1 −1 −1 1
1 −1 −1 1
1 0 −1 1
1 −1 0 1
−1 1 ， 1 0
3
2) 由|A-λE|=0，求A的特征值
1 = (1− λ) 1 1 −1 −1 1 1 −λ
1 −10 −λ −1 0 −2
1 −2 −λ −1
−1 2 2
0 0 0 −λ +1 1 1 1 = (1− λ)2 0 −λ −1 −2 0 −2 −λ −1
则该变换把 f 化成标准形
f = 2z − 2z + 6z .
2 1 2 2 2 3
总之，任何二次型都可用上面的方法找到可逆的线性 变换，把二次型化成标准形. 定理2.2 任何n元实二次型都可以经过可逆的线性变换 定理 化成标准形.
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3. 用初等变换法化二次型为标准形 设有可逆线性变换X=CY,它把二次型XTAX化为标准形 YTBY, 则CTAC=B. 由第2章推论 推论5.4知道:任一可逆矩阵都可以表示为若干 推论 个初等矩阵的乘积. 故存在初等矩阵P1, P2,…, Ps, 使得 C=P1P2… Ps, 于是 CTAC=PsT… P2T P1T AP1P2 …Ps= diag(k1,k2, ⋅ ⋅ ⋅,kn). 任意一个实对称矩阵 为对角矩阵. 这说明,任意一个实对称矩阵 A,可以经过一 系列相同类型的初等行、列变换化为对角形矩阵.这里所 系列相同类型的初等行、列变换化为对角形矩阵 谓的相同类型的初等行、列变换指的是:每对 A 进行一次 行变换，紧接着对 A 进行一次相同类型的列变换.
f =y +y .
2 1 2 2
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例2.3 用配方法化二次型
f = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3
成标准型，并求出所用的可逆的线性变换. 解: 在 f 中不含有平方项, 由于含有x1,x2的乘积项, 故令
x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x = y3 , 3
A 1. 写出二次型的矩阵A，构造2n×n 矩阵 ； E T
f = k1y12+k2y22+…+kryr2.
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1 1 1 例2.4 设 A = 1 2 2 , 求可逆矩阵C,使CTAC为对角矩阵. 1 2 1
A 解 ： = E
2 2 2 = x1 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2 x 2 + 5 x 3 + 6 x 2 x 3 = ( x1 + x2 + x3 )2 去掉配方后多出来的项 去掉配方后多出来的项
2 1
2 2
2 3
− x − x − 2x2 x3 + 2x + 5x + 6x2 x3
2 2 2 3
2 2 2 3
3) 取
单位化, 得
4) 令P=( p1,p2,p3,p4),于是得正交变换X=CY,即
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1 1 1 0 2 2 2 x1 1 1 1 y1 0 x − y 2 2 2 2 = 2 , x3 1 1 1 y3 0 − y 2 2 4 x4 2 1 1 1 0 − 2 2 2 5) 用正交变换X=CY,将f 化成标准形
0 2 1 −2 0 −2 2 2 0 − 1 2 0 0 − 1 2 −2 − 1 2 −2 r2 − r1 / 2 −2 −2 −3 0 −2 0 r3 + r1 0 −2 → → → c2 − c1 / 22 0 0 1 1 − 1 2 0 1 −1 2 1 1 1 1 0 1 2 0 12 0 1 0 1 0 0 0 0 −2 −2 −2 0 0 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 2 2 1 1 1 0 2 1 c2 − c1 1 1 0 r2 − r1 0 1 0 c3 − c2 0 0 −1 → → → , r3 − r1 1 r3 − r2 1 c3 − c1 1 0 0 − 1 − 1 − 1 − 1 −1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 − 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
−1 1 −1 1 0 0 ~ 1 0 0 −1 0 0
−1 0 0 0
1 0 , 0 0
x1 = x2 + x3 − x4 , x = x , 2 2 解 得 x3, x3 = x4 = x4. x1 1 1 −1 x 1 0 0 k 2 = k + k + k ，2, k3 , k4不同时为零. 即 x3 2 0 3 1 4 0 7 0 0 1 x4
x1 = y1 − y2 + y3, y2 − 2y3, x2 = x = y3. 3
所用的线性变换为:
x1 1 −1 1 y1 x = 0 1 −2 y . 2 2 x3 0 0 1 y3
则该变换把f 化成标准形为:
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又因为
C = P1P2 …Pk =EP1P2 …Pk ，
所以,对 A 作的列变换同样施加于 E, 即得变换矩阵C . 于是就得出用初等变换法化二次型为标准形的步骤 用初等变换法化二次型为标准形的步骤是： 用初等变换法化二次型为标准形的步骤
A C AC 2. 进行初等行变换 → E C 对A作同类型的初等行、列变换; 对E只作其中的初 等列变换. 当A化为对角矩阵时, 单位矩阵E也相应地化为 可逆矩阵C. 3. 作可逆线性变换 X=CY, 则该变换将f 化为标准形
i=1 j =1 n n
2、由|A-λE|=0，求出A的全部特征值； 3、由(A-λE)=0，求出A的特征向量； 对于求出的不同的特征值所对应的特征向量已正交的 只须单位化;对于k重特征值λk所对应的k个线性无关特征向 量用Schimidt标准正交化方法把它们化为k个两两正交的单 位向量.
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4、把求出的n个两两正交的单位向量，拼成正交矩阵 C, 作正交变换X=CY; 5、 用X=CY，把 f 化成标准型:
用正交变换法化二次型为标准形，具有保持几何形状 不变的优点.正交变换不惟一，但正交变换得到的标准形是 9 惟一的.（不考虑对角元的次序时）
2. Lagrange配方法化二次型为标准形 配方法化二次型为标准形 例2.2用配方法将二次型:
f=x +2x +5x +2x1x2+2x1x3+6x2 x3
化成标准形，并写出所用的可逆的线性变换. 解 由于 f 中含有的平方项，故把含有 x1 的项归为一 含有x1的项配方 类，配方得： 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
z3, y1 = z1 + z2 + 2z3, y2 = y = z3, 3
x1 1 1 0 y1 y1 1 0 1 z1 x = 1 −1 0 y 和 y = 0 1 2 z , 2 2 2 2 x3 0 0 1 y3 y3 0 0 1 z3
Tding(k ,k ,…,k )Y= k y 2+k y 2+…+k y 2. Y 1 1 2 2 n n 1 2 n
1
应用定理2.1求实二次型f(x)= XTAX标准型问题, 其实 质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题. 经过上面的讨论,总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤： 1、将二次型 f = ∑∑ aij xi xj 写成矩阵形式；