高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质优化练习新人教A版选修2

2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2 椭圆2.2.2 第1课时椭圆的简单几何性质优化练习新人教A版选修2-1
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2.2.2 第1课时椭圆的简单几何性质
［A组基础巩固]
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（)
A．（－1，0)，(1，0）B．（－6,0），(6，0）
C．(－错误!,0),(错误!,0）D．(0，－错误!）,（0，错误!)
解析：方程化为x2＋y2
6
＝1,
∴a2＝6，a＝错误!，长轴的端点坐标为（0，±错误!)．
答案：D
2．正数m是2和8的等比中项，则椭圆x2＋错误!＝1的离心率为( ）
A.错误! B。

错误! C。

错误!或错误!D。

错误!或错误!
解析:由题意得m2＝2×8＝16，
∵m是正数，∴m＝4，
∴c2＝4－1＝3，∴c＝3，
∴e＝错误!.故选A.
答案:A
3．若P是以F1,F2为焦点的椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)上的一点,且错误!·错误!＝0，tan∠PF1F2＝错误!，则此椭圆的离心率为（)
A.错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!
解析：在Rt△PF1F2中，设PF2＝1,则PF1＝2，F1F2＝错误!,故此椭圆的离心率
e＝2c
2a
＝错误!.
答案：A
4．椭圆C1：错误!＋错误!＝1和椭圆C2:错误!＋错误!＝1(0＜k＜9)有( ）
A．等长的长轴B．相等的焦距
C．相等的离心率D．等长的短轴
解析:对椭圆C1，c1＝错误!＝4，对椭圆C2，∵0＜k＜9,∴25－k＞9－k＞0。

其焦点在y轴上，∴c2＝错误!＝4，故选B
答案：B
5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2错误!，离心率为错误!，则该椭圆的方程
为（)
A.错误!＋错误!＝1
B.错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1
C.错误!＋错误!＝1
D。

错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1
解析：由题意知a＝错误!,
又∵e＝错误!,∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所求椭圆方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。

故选D。

答案：D
6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为错误!，焦距为8，则该椭圆的方程是________．
解析：由题意知，2c＝8，c＝4,
∴e＝错误!＝错误!＝错误!，
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴方程是错误!＋错误!＝1。

答案：错误!＋错误!＝1
7．已知椭圆错误!＋错误!＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．解析:直线与x轴,y轴的交点分别为A(2，0)，B（0，1)，由题意a＝2，b＝1，椭圆方程为错误!＋y2＝1，c2＝a2－b2＝3,故椭圆的焦点坐标为(±错误!，0）．
答案：（±错误!，0）
8．过椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则该椭圆的离心率为________．
解析：如图所示，在Rt△PF1F2中，
｜F1F2|＝2c，
∴|PF1｜＝错误!,|PF2|＝错误!。

由椭圆定义知错误!＋错误!＝2a,
∴e＝错误!＝错误!。

答案:错误!
9．设椭圆方程为mx2＋4y2＝4m(m〉0)的离心率为1
2
，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐
标及顶点坐标．
解析：椭圆方程可化为错误!＋错误!＝1.
（1)当0<m<4时，a＝2,b＝错误!，c＝错误!，
∴e＝错误!＝错误!＝错误!，
∴m＝3，∴b＝错误!,c＝1，
∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,2错误!，焦点坐标为F1（－1,0），F2（1，0)，顶点坐标为A
1
（－2，0），A2(2，0)，B1(0,－错误!）,B2(0，错误!)．
（2）当m〉4时，a＝m,b＝2，
∴c＝错误!，
∴e＝c
a
＝错误!＝错误!,解得m＝错误!，
∴a＝错误!，c＝错误!，
∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为错误!，4，焦点坐标为F1错误!,F2错误!,顶点坐标为A1错误!，
A
2
错误!，B1（－2，0),B2(2,0)．
10．已知椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!,求k的值．
解析：（1)当椭圆的焦点在x轴上时，
a2＝k＋8,b2＝9，得c2＝k－1。

由e＝错误!，可得错误!＝错误!，即k＝28。

（2)当椭圆的焦点在y轴上时，
a2＝9,b2＝k＋8，得c2＝1－k。

由e＝错误!，得错误!＝错误!，即k＝－错误!。

故满足条件的k值为k＝28或－23
4。

[B组能力提升]
1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,设其近地点A距地面为n千米，远地点B距地面为m千米,地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为（)
A．2错误!千米B。

错误!千米
C．mn千米D．2mn千米
解析：设运行轨道的长半轴长为a，焦距为2c，
由题意，可得错误!
解得a＝错误!＋R，c＝错误!，
故b＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!。

即2b＝2m＋R n＋R.
答案：A
2.已知椭圆C:错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的左、右焦点为F1， F2,过F2的直线与圆x2＋y2＝b2相切于点A，并与椭圆C交于不同的两点P，Q，如图,若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!
解析:连接PF1，由题意知OA＝b,
∴｜PF1｜＝2b,
∴｜PF2|＝2a－2b，
∴|AF2|＝a－b.
在Rt△OAF2中有
b2＋(a－b)2＝c2，
将b2＝a2－c2代入整理得
3a2－3c2－2a错误!＝0，
即3－3e2＝21－e2，
即9e4－14e2＋5＝0，
解得e2＝错误!或e2＝1(舍去），
∴e＝错误!.故选C。

答案：C
3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为错误!，则该椭圆的标准方程为________．
解析：由条件知，2a＝20，错误!＝错误!，
∴a＝10，c＝6，b＝8，
故标准方程为
x2
100
＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1.
答案:错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1
4．（2015·高考浙江卷）椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的右焦点F(c，0）关于直线y＝错误! x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F1（－c,0），如图,连接QF1，QF，设QF与直线y＝错误!x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ。

又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，
∴F1Q⊥QF,|F1Q｜＝2｜OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝错误!＝错误!，|OF|＝c，
可解得｜OM|＝错误!，｜MF|＝错误!，
故|QF｜＝2|MF|＝2bc
a
，|QF1｜＝2|OM｜＝错误!.
由椭圆的定义得|QF｜＋｜QF1｜＝错误!＋错误!＝2a,
整理得b＝c，∴a＝错误!＝错误!c，
故e＝错误!＝错误!.
答案：错误!
5．已知F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝错误!.记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．
解析:依题知，F1P⊥F2P，所以△F1QO∽△F1F2P,因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，所以错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，设椭圆的焦距为2c，
则F1P＝错误!c,F2P＝错误!＝c,由椭圆的定义可得:错误!c＋c＝2a，所以,e＝错误!＝错误!＝错误!－1.
6。

如图,椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点．作平行四边形OCED，E恰在椭圆上．
（1)求椭圆的离心率；
(2）若平行四边形OCED的面积为6，求椭圆的方程．
解析：（1）∵焦点为F（c,0），AB斜率为错误!,
故CD方程为y＝错误!（x－c）．
与椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2＝0。

∵CD的中点为G错误!，点E的坐标为错误!,
将E错误!代入椭圆方程并整理得2c2＝a2,
∴e＝错误!＝错误!.
（2)由（1）知CD的方程为y＝错误!(x－c),b＝c，a＝错误!c。

与椭圆联立消去y得2x2－2cx－c2＝0。

∵平行四边形OCED的面积为
S＝c|y C－y D｜＝错误!c错误!
＝错误!c错误!
＝错误!c2＝错误!，
∴c＝错误!,a＝2，b＝错误!。

故椭圆方程为x2
4
＋错误!＝1。