角的平分线的性质(一)2

角的平分线的性质（一）

个性化补充数学教研组主备人：覃萍备课组：全体数学教研组成员

教学目标

1、知识与技能：

应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．会用尺规作一个已知角的平

分线．

2.过程与方法：

通过动手，利用直尺和圆规作一个角的平分线。

3.情感态度与价值观：

培养学生实际动手的能力和协作精神。

教学重点

利用尺规作已知角的平分线．

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段．

问题2：你能作出这些线段吗？

Ⅱ．导入新课

在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥

OB．MC与NC交于C点．

求证：∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB

的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N

作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么

OC就是∠AOB的平分线了．

思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，

AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB

了．

看看条件够不够．

AB AD

BC DC

AC AC

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪=

⎩

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

1

2

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB

于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

议一议：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

1

2

MN的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？总结：

1．去掉“大于1

2

MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找

不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于1

2

MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在

∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB

•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•

个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

探索活动

按以下步骤折纸

1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A

得这个角的两边重合。2、在折痕（即平分线）上任意找一点C，

3、过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA 交点，即垂足。

4、将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

求证：OE=OD。

Ⅲ．随堂练习

课本练习．

练后总结：

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD

CD与AB•也垂直．

Ⅳ．课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•

操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．

Ⅴ．课后作业课本习题＜＜新课堂＞＞

思考

1．在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题

目的图形如图所示，•图中的BD是∠ABC的平分线，

§13．3 角的平分线的性质

一、角平分线仪器的操作原理

二、角平分线的尺规画法：

1．以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

2．分别以M、N为圆心，大于1

2

MN长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于C

点．

3．连接OC，射线OC即为所求．三、角平分线的性质．