差分方程在概率计算中的应用

即当 n = k + 1 时 , 递推关系式也成立 。 综上所述 , 不论 n 取何值 Pn = cPn - 1 + d = c
n- 1
P1 +
1- c d 都成立 。 1- c
n- 1
上面研究的是有关一阶差分方程的推导 、得出及证明 , 下面介绍在一阶差分方程的基础上进行拓 展的 n 阶差分方程 , 并介绍另外一种解差分方程的方法 : 特征根法 。 定义 : 含有自变量 t 和两个或两个以上的函数值 yt , yt + 1 …… 的函数方程称为差分方程 。 定义 : n 阶差分方程的一般形式为 : F ( t , yt , yt + 1 …… yt + n ) = 0 。其中 F ( t , yt , yt + 1 …… yt + n ) 为 t 和 yt , yt + 1 …… yt + n 的已知函数 。 形如 yt + n + a1 yt + n - 1 + ……+ an yt = f ( t ) 称为 n 阶常系数非齐次线性差分方程 。 特别地 , 方程 yt + n + a1 yt + n - 1 + ……+ an yt = 0 称为 n 阶常系数齐次线性差分方程 。 差分方程与微分方程类似 , 它们的解分为两部分 : 特解和通解 。通解中含有任意常数 , 特解是方 程满足一定条件所得出的解 , 方程 ( 1) 的通解是方程 ( 2) 的通解再加上方程 ( 1) 的一个特解 。对 于二阶常系数 ( 非) 齐次线性方程的求解 , 可引入微分方程中特征方程求特征根的方法 , 求得齐次方 程的通解 , 然后利用试根的方法求出非齐次方程的特解 , 最后通解与特解的代数相加即为所研究的二 阶常系数非齐次差分方程的解 。
从而 P2 = 019 × 018 + 015 × ( 1 - 018) = 0182
2 2 P3 = 019 × 018 + 015 × ( 1 - 018 ) = 01756 3 3 P4 = 019 × 018 + 015 × ( 1 - 018 ) = 017048
因此 , 做了 4 次交换后 , 黑球出现在甲袋中的概率是 017048 。 解法 3 : 利用特征根法求解 对于差分方程 Pi = 018Pi - 1 + 011 用特征根方法解得 : 设非齐次方程 ( 3) 的特解为 k , 代入通解中得 : k = 015 i 从而方程 ( 3) 的通解为 : Pi = t ( 018) + 015 将 P1 = 019 代入通解中得 : t = 015
i =1
3 引入差分方程
在概率论中 , 概率以及概率的计算是十分重要的内容之一 。全概率公式又是概率论中的基本公
[ 收稿日期 ] 2005 - 09 - 01 [ 作者简介 ] 孙福杰 (1961 - ) , 女 , 吉林白城人 , 白城师范学院数学系副教授 , 从事概率论与数理统计研究 。
・4 ・
Pi = 019Pi - 1 + 011 ( 1 - Pi - 1 ) = 018Pi - 1 + 011 1 - 018 i- 1 根据递推公式得 : Pi = ( 018) P1 + 011 × 1 - 018 i- 1 = 019 × ( 018) + 015 × [ 1 i- 1
( 3)
( 018) i - 1 ]
[摘 要 ] 给出全概率公式 , 介绍差分方程的定义及解法 , 总结归纳出了全概率公式与差分方程之间
的关系 , 利用差分方程简化应用全概率公式在解决某些实际问题中的复杂繁琐性 。
[ 关键词 ] 全概率公式 ; 差分方程 ; 递推法 ; 特征根 [ 中图分类号 ] O211 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 1008 - 178X (2005) 04 - 0004205
由以上可得 : Pi (A) =
a a+ b
解法 2 : 由上述解题过程可以得出差分方程为
Pi =
a +1 a 1 a (i = 2 , 3 , … Pi - 1 + ( 1 - Pi - 1 ) = Pi - 1 + . N) a + b +1 a + b +1 a + b +1 a + b+1
由上面的计算过程 , 可以得到递推公式为 :
4 实际应用 ( 2) ( 1)
例1 甲袋中有 9 只白球和 1 只黑球 , 乙袋中有 10 只白球 。每次从甲乙两袋中随机各取一球交换 放入另一袋中 , 这样做了 4 次 , 求黑球出现在甲袋中的概率 。 解法 1 : 用全概率公式求解 设 Ai 表示 “第 i 次交换后黑球出现在甲袋中” , 则表示 “第 A i 次交换后黑球出现在乙袋中” , i=
2 n- 1 Pn = cPn - 1 + d = c ( cPn - 2 + d) + d = c Pn - 2 + ( c + 1) d = ……= c P1 +
1- c d 1- c
n- 1
(3)
下面用数学归纳法证明上式 : ( 1) 假设 P1 = p 已知 , 当 n = 2 时 , P2 = cP1 + d 而c
・5 ・
= 0182 × 019 + 0118 × 011 = 01756 P (A4 ) = P (A3 ) P (A4 | A3 ) + P ( A 3 ) P (A4 | A 3 ) = 01756 × 019 + 01244 × 011 = 017048
所以 , 做了 4 次交换后 , 黑球出现在甲袋中的概率是 017048 。 解法 2 : 利用递推公式 ( 3 ) 求解 由上面的计算过程 , 可以得到差分方程为 :
1 , 2 , 3 , 4。 9 由题意可得 : P (A1 ) = = 019 10 P ( A ) = 011
再根据全概率公式得 : P (A2 ) = P (A1 ) P (A2 | A1 ) + P ( A 1 ) P (A2 | A 1 )
= 019 × 019 + 011 × 011 = 0182 P (A3 ) = P (A2 ) P (A3 | A2 ) + P ( A 2 ) P (A3 | A 2 )
第 24 卷第 4 期
Vol124 No14
长春师范学院学报 ( 自然科学版)
Journal of Chang Chun Teachers College (Natural Science)
2005 年 10 月 Oct12005
差分方程在概率计算中的应用
孙福杰 , 张金萍 , 王亚玲
( 白城师范学院数学系 , 吉林白城 137000)
对于解差分方程引入了递推法并介绍另外一种方法特征根法进一步简化了计算过程并且可以直接求出任意的全概率公式的提出及证明在概率论中应用全概率公式计算复杂的概率是一种常用且重要的方法其依据就是把一个复杂事件分解成若干个互不相容的简单事件然后再通过对这些简单事件的概率计算利用条件概率公式和概率加法公式最终求出复杂事件的概率
( 1) A1 , A2 , ……, An 是两两互不相容的事件 , 且Ρ (Ai ) > 0 ( i = 1 , 2 , ……, n) ( 2) ∑ P (Ai ) =Ω ( 必然事件)
i =1 n
Ρ (Ai ) P (B| Ai ) 则对任一事件 B , 有 P (B) = ∑ i =1 Ω = B (A1 ∪ 证明 : 显然 : B = B A2 ∪……∪ An ) = BA1 ∪ BA2 ∪……∪ BAn 由于 A1 , A2 , ……, An 两两互不相容 , 从而 BA1 , BA2 , ……, BAn 也两两互不相容 。 根据概率的有限可加性和概率乘法公式得 :
式 , 在概率的计算中占据举足轻重的地位 。利用全概率公式列出差分方程 , 通过解差分方程来求得概 率是一种非常简捷的变通方法 , 从而简化了应用全概率公式求解某些概率问题的复杂繁琐性 。 解差分方程一般通过逐次递推 , 最后由初值得出差分方程的解 , 进而也就求得了问题的结果 , 这 就是上面所提到的用递推法解差分方程 。 一阶差分方程递推公式 :
1 引言
Байду номын сангаас
全概率公式是概率论中一个最基本 、最常用 、最重要的公式 。应用全概率公式计算概率问题也是 十分常见的概率问题之一 。在利用全概率公式解决一些复杂问题时 , 解题过程和步骤相当麻烦 , 但其 中却是有规律可寻的 , 即用差分方程来解决 、表达这类繁琐问题 。对于解差分方程 , 引入了递推法 , 并介绍另外一种方法 — 特征根法 , 进一步简化了计算过程并且可以直接求出任意的 n 所对应的概率 Ρ
H2 表示 “从第一个袋子中取出的是白球” A 表示 “从最后一个袋子中取出的是黑球”
a a+ b a a +1 b a ・ + ・ a + b a + b +1 a + b a + b +1 a a +1 a a ) ・ ・ + (1 a + b a + b +1 a+ b a + b+1 a +1 a a + ( 1 - P1 (A) ) ・ = a + b+1 a + b+1 a + b
(An ) 。 2 全概率公式的提出及证明
在概率论中应用全概率公式计算复杂的概率是一种常用且重要的方法 , 其依据就是把一个复杂事 件分解成若干个互不相容的简单事件 , 然后再通过对这些简单事件的概率计算 , 利用条件概率公式和 概率加法公式最终求出复杂事件的概率 。下面给出全概率公式 , 并进行证明 。 定理 : 若事件组 A1 , A2 , ……, An 满足下面条件 :
n- 1
P1 +
1- c d = cP1 + d 从而当 n = 2 时上式成立 。 1- c 1- c d 成立 。 1- c
k k- 1
n- 1
( 2) 假设当 n = k 时 , 递推关系式 Pk = cPk - 1 + d = ck - 1 P1 +
k- 1
1- c 1- c k- 1 k 则 Pk + 1 = cPk + d = c ( c P1 + d) + d = c P1 + d 成立 。 1- c 1- c
Pi = 1
a + b +1
Pi - 1 + 1
a 1 1 a ( ) = Pi - 2 + a + b +1 a + b +1 a + b +1 a + b +1
+
由古典概率可知 : P1 (A) =
由全概率公式得 : P2 (A) = P ( H1 ) P (A| H1 ) + P ( H2 ) P (A| H2 )
= =
= P1 (A) ・
・6 ・
a +1 a a 同理可得 : P3 (A) = P2 (A) ・ + ( 1 - P2 (A) ) ・ = a + b +1 a + b +1 a + b
i 因此方程的解为 : Pi = 015 × ( 018) + 015
故 P2 = 015 × 018 + 015 = 0182
2 3 4
P3 = 015 × 018 + 015 = 01756 P4 = 015 × 018 + 015 = 017048
故做了 4 次交换后 , 黑球出现在甲袋中的概率是 017048 。 在解决本例题或与之类似的摸球试验中 , 利用全概率公式按部就班的当然可以求解 , 但其中的弊 端在于反复应用全概率公式 , 计算量大 , 计算过程麻烦 , 每求解一步概率必须得用到前一步的结果 。 引入差分方程后 , 通过解差分方程来求得概率就使问题大大的简化了 , 计算过程和步骤相对而言 也简单了 。但通过解题比较出了用递推法和特征根法解差分方程的差异 。用递推法解差分方程的最后 结果计算起来较麻烦 , 且包含乘法和分式的计算 。而用特征根法解差分方程巧妙的解决了复杂的问 题 , 计算方法简单易懂 , 计算量小 , 计算过程简便 , 为计算求解复杂的概率问题提供了一个新的方 法。 例 2 : 设有 N 个袋子 , 每个袋子中装有 a 只黑球 , b 只白球 , 从第一个袋子中取出一球放入第二 个袋子中 , 然后从第二个袋子中取出一球放入第三个袋子中 , 如此下去 , 问从最后一个袋子中取出一 球而为黑球的概率是多少 ? 解法 1 : 设 H1 表示 “从第一个袋子中取出的是黑球”
P (B) = P (BA1 ∪ BA2 ∪……∪ BAn ) = P (BA1 ) + P (BA2 ) + ……+ P (BAn ) = P (A1 ) P (B| A1 ) + P (A2 ) P (B| A2 ) + ……+ P (An ) P (B| An )
n
n
Ρ (Ai ) P (B| Ai ) = ∑