高考数学第一轮知识点总复习 第四节 简单的三角恒等变换

由①得sinx=
1 5
-cosx,将其代入②,整理得
25cos2-x5cosx-12=0,∴cosx=-
或3 cosx=
5
,4
5
∵- ＜2 x＜0,∴
sin
x
3 5
,
cos
x
4 5
,
sinx-cosx=- .75
(2)
3sin2 x 2sin x cos x cos2 x
2
22
2
tan x cot x
3
.
2 3
考点演练
10. （2009·南通模拟）已知 1 cos 2 1, tan , 1
sin cos
3
则tan(β-2α)= .
解析: 由 1 cos 2 1 2sin2 1 tan 1
sin cos
sin cos
2
tan
2
tan
tan tan
1 tan( ) tan
2
sin
x 2
c的os 2x值 c.os2
x 2
tan x cot x
分析 由 sin x cos x2 -4ssininx xccoos sx2x知,
只需求出sin xcos x即可.
解（1）方法一：由sin x+cos x= ,15 平方得 sin2 x 2sin x cos x cos2 x 1 ,
4
（1+tan A）·(1+tan B)=2.
证明：（充分性）∵(1+tan A)(1+tanB)=2,
∴1+(tanA+tanB)+tanAtan B=2,
∴tan(A+B)（1-tanAtanB）=1-tanAtanB,
∴tan(A+B)=1,
∵0＜A＜ ,0＜B＜ ,0＜A+B＜π,∴A+B= .
第四节 简单的三角恒等变换
基础梳理
两角差的余弦公式为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
两角和的余弦公式为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
两角差的正弦公式为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;
两角和的正弦公式为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
2sin2 x sin x 1
=
sin
2 x
co=s xsin
xcos
x(2-cos
x-sin
x)
cos x sin x
=
12 25
2
1 5
108 125
.
学后反思 sin x±coΒιβλιοθήκη x,sin xcos x之间的关系为
=si1n ±x 2csosinx2
xcos x,
=si2n x， c由os 此x2 知 s三in x者 c知os x其2 一，可求其二，但需注意
3, tan 2
2 tan 1 tan2
24 1 4
3
2
3
8 3. 47
(2)由0＜β＜α＜ ,得0＜α-β＜ ,又∵cos(α-β)= ,
2
2
13 14
∴sin(α-β)=
1 cos2
1
13 14
2
33 14
,
由β=α-(α-β)得：
cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
个根，则α+β的值为( )
x的2 两3 3x 4 0
A. 或- 2
B. -
2
3
3
3
C.- 3或
2 3
D. -
3
错解 ∵tanα,tanβ是方程 x2 的3 两3x个 4根 0,
∴ tantantatnan则ta43n, 3(α, +β)=
tan tan 3. 1 tan tan
∵α,β∈ ,∴ 2α,+2 β ∈(-π,π). 在(-π,π)内，正切值等于 的角3 只有 和-3 .
1
答案： -1
11. （1）若 tan( =2,求) 2cos θ+sin θ的值;
42
(2)若2cos θ+sin θ=1,求 tan( 的值.)
解析 （1）∵
tan
4
2
4
tan
2
2, 1
4 tan
tan 2
tan
2
42
tan 1 ,2cos sin 2cos2 2sin2 2sin
3 4 3
4 3 3 48 25
43 3
11
3.
4
题型二 三角函数公式的灵活应用
【例2】化简下列各式.
(1)
1 sin10
cos130(2;)
2 sin 8 1 2 cos8 2.
分析（1）注意应用公式asinα+bcosα= as2 inb(2α+β). （2）注意1±sinθ,1±cosθ形式的转化.
cos2α= cos2 s=in(2cosα-sinα)(cosα+sinα)
=- 75(cosα+sinα)=
,
7 25
故cosα+sinα=- 15.②
由①和②得sinα= 3,cosα=- ,因4 此tanα=- , 3
5
5
4
由两角和的正切公式得,
tan
3
tan 3 1 3 tan
3 1 3
2
-
.
2
2
2
举一反三
3. 已知cosα= ,17cos(α-β)= ,且01143＜β＜α＜ .
2
(1)求tan2α的值；（2）求β.
解析：（1）由cos α= ,170＜α＜ ,得2sinα=
1 cos2
1
1 2 7
43 7
,
∴tanα=
sin 4 3 7 4
cos 7 1
解 (1)原式=
cos10 3 sin10
sin10 cos10
2sin 30 10 1 sin 20
4.
2
（2）原式=2 1 2sin 4cos 4 4cos2 4
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|. 又∵π＜4＜ π3,∴sin 4+cos 4＜0,cos 4＜0,
2
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.
证明 由已知tan(α+β)=2tan β可得
sin cos
2sin cos
,
∴sin(α+β)·cos β=2cos(α+β)·sin β…………………….4′
而sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]
=sin(α+β)·cos β+cos(α+β)·sin β
=2cos(α+β)·sin β+cos(α+β)·sin β
降幂公式：cos2α= cos2 1 cos 2 ;sin2 1 cos 2 .
2
2
典例分析
题型一 sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx三者之间的转换问题
【例1】已知- ＜x＜0,sin x+cos x= .1
2
5
(1)求sin x-cos x的值；
(2)求
3sin2
x 2
25
即2sin xcos x=- .24
25
∵ sin x c=os1x-22 sinxcosx= , 49
25
又∵- ＜ x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,sinx-cosx＜0, 2
故sinx-cosx=- 7.
5
方法二：联立方程
sin
x
cos①x
1
,
5
②sin2 x cos2 x 1.
= 1 13 4 3 3 3 1 ,
7 14 7 14 2
∵0＜β＜ ,∴ β= .
2
2
题型四 三角恒等式的证明
【例4】（12分）已知tan(α+β)=2tanβ. 求证：3sinα=sin(α+2β).
分析 观察条件与结论间的差异可知: (1)函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同. (2)角的差异是α+β,β;α,α+2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如 下：(α+β)-β=α;(α+β)+β=α+2β,由此可化异为同.
2 3
∴α+β= 或- . 2
3
3
错解分析
没有对条件
tan
tan进 行3深3入, 地分析，
tan tan 4,
扩大了α+β的取值范围.
事实上，由tanα+tanβ=- ＜303,tanαtanβ=4＞0, 可知tanα＜0，tanβ＜0 α,β∈(- ,0) α+β∈(-π,0).
2
正解 ∵tan α,tan β是方程
13
5
sin 5 ,cos 4 ,
13
5
sin 2 sin［ ］
sin cos cos sin
3 12 ( 4) 5 56 . 5 13 5 13 65
学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如α=(α+β)-β=
β-(β-α),α= [(α+β)1+(α-β)], =
x的2 3两3个x 根4 ，0
∴ tantantatnanta43n30α, ＜0, 0,tan β＜0.
∵α,β∈
,∴2α, 2,β ∈(- ,0)
α+β∈ (-π,0).
2
又tan(α+β)= tan tan 3,
1 tan tan
在(-π,0)内，正切值等于 的角3 只有-
,∴2α+β=-
S2
在 C中 ，令β=α,可得到cos2α= cos2,简记sin为2 .
C2
在 T中 ，令β=α,可得到tan2α=
1简2 ttaa记nn2 为 .
T2
4. 在 C中2 考虑 sin2 可cos将2 变1 形为C2
cos 2 2cos2 1，1它 2简sin记2 为 .
C2
1
5. 在 C中2 令α= β得2 cosβ=
-12=cos12 -
2
,将公2s式in2变2 形
可得C 2
1 cos 2
;S
2
1 cos . 2
6. T的 推导方法是 2
S与2
两C式2 相除，其公式为
T
2
1 cos . 1 cos
7. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：
升幂公式：1+cos2α=2cos2 ;1-cos2α= 2.sin2
∴sin(α+2β)=3sin α…………………………………………12′
学后反思 分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角， 再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明， 实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论 证.
举一反三
4. 已知A、B为锐角，求证：A+B= 的充要条件是
题型三 三角恒等变换中角的拆变
【例3】已知2
3 4
, 且cos
,求1123s,siinn 2α的 值 .
3 5
分析 抓住条件中的角“α-β”、“α+β”与结论中的角2α的关系：（α-β）
+(α+β)=2α.
解∵ ＜ ＜3 ,0 , 3 ,
2
4
4
2
又 cos 12 ,sin 3 ,
23
2
2
2
cos
2
2
1 tan2 tan
22
1 tan2
1.
(2)由2cos θ+sin θ=1,得
2
2(cos2
sin2 ) 2sin
cos
2
2
22
sin2
2
cos2
2
，整co理s2得2
0
tan 1 或tan =1,
3tan2 2tan 1 0,
2
2
23
2
tan( ) 2或tan( ) 0
学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对 于一些固定形式则套用相应的公式.
举一反三
2. 化简: tan10 3 cos10 sin 50
解析：原式=
sin10 cos10
3
cos10 sin 50
sin10 3 cos10 sin 50
2sin(10 60 ) 2. sin 50
2
2
4
(必要性)∵A+B= ,4∴tan(A+B)=tan ，4
即 1tantaAnAttaan整nBB理得1, （1+tanA）·(1+tanB)=2.
综上，若A、B为锐角，则A+B= 的充要条件是(1+tanA)·（1+tanB）=2.
4
易错警示
【例】已知α,β∈
,且2 , 2ta nα,tanβ是方程
上述公式对任意的α、β都成立.
2. 公式 T是tan (α-β)=
1t,a公ntan式 tatann
T是 tan(α+β)=
tan,它们tan成 立的
1 tan tan
条件是α≠kπ+ ,β≠kπ+ ,α±β ≠kπ+ ,k∈Z.
2
2
2
3. 在 S中，令β=α,可得到sin2α=2sin αcos α,简记为 .
角x的范围对结果的影响.
举一反三
1.
已知sin(α-
)=4
,co7 s2 2α= 10
,求sin7α及tan(α+ ). 25
3
解析: 由题设条件，应用两角差的正弦公式得，
sin(α-
)=
4
(si2n2 α-cosα)=
,
72 10
即sinα-cosα= .①7
5
由题设条件，应用二倍角余弦公式得，
=3cos(α+β)·sin β,……………………………………………7′
又sin α=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)·cos β-cos(α+β)·sin β
=2cos(α+β)·sin β-cos(α+β)·sin β
=cos(α+β)·sin β,…………………………………………….10′