谱方法求解Allen-Cahn方程与Cahn-Hilliard方程

Key words：Spectral method
Exponential time-differencing Semi-implicit method
Allen-Cahn equation Cahn-Hilliard equation
III
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目 录
摘 要............................................................................................................... I Abstract ........................................................................................................... II 1 绪论 1.1 谱方法简介........................................................................................... (1) 1.2 国内外研究概况 .................................................................................. (2) 1.3 本文的主要研究内容 .......................................................................... (3) 2 谱方法与时间离散方法 2.1 Fourier 谱方法 ...................................................................................... (5) 2.2 Chebyshev 谱方法 ................................................................................ (9) 2.3 半隐式方法......................................................................................... (14) 2.4 指数时间差分四阶龙格-库塔（ETDRK4）方法 ........................... (16) 3 数值求解 Allen-Cahn 方程 3.1 半隐式方法解具有周期边值条件的 Allen-Cahn 方程 ................... (18) 3.2 ETDRK4 方法解具有周期边值条件的 Allen-Cahn 方程 ............... (20) 3.3 Crank-Nicolson 方法解具有 Dirichlet 边值条件的 Allen-Cahn 方程 .............................................................................................................. (22) 3.4 ETDRK4 方法解具有 Dirichlet 边值条件的 Allen-Cahn 方程 ....... (24) 3.5 Allen-Cahn 方程稳定的一阶半隐式格式......................................... (25) 3.6 ETDRK4 方法解二维的 Allen-Cahn 方程 ....................................... (28) 4 数值求解 Cahn-Hilliard 方程 4.1 半隐式方法解具有周期边值条件的 Cahn-Hilliard 方程 ................ (31) 4.2 ETDRK4 方法解具有周期边值条件的 Cahn-Hilliard 方程............ (33) 4.3 Crank-Nicolson 方法解具有齐次 Neumann 边值条件 Cahn-Hilliard 方程.................................................................................................... (35)
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摘
要
谱方法是一类求解微分方程的数值方法，广泛应用于流体动力学、量子力学、 材料科学、生态学等领域。我们在数值求解依赖于时间的偏微分方程时，一般会在 空间方向上运用谱方法，在时间方向上采用有限差分法。由于非线性项和刚性问题 的存在，时间方向上的计算大多数仅限制在二阶时间精度上，这样即使在空间方向 上能够达到谱精度，时间方向上的低阶精度也会影响数值解的整体精度。 为了提高时间方向上精度，我们将详细介绍指数时间差分四阶龙格库塔方法 （ ETDRK4 ）。这种方法能够快速而又准确地解决一些偏微分方程，并且允许我们 在实际计算中取较大的时间步长。同时，我们也将引入半隐式方法，旨在相同条件 下与 ETDRK4 方法做比较。 本文的第一章首先简要介绍谱方法，接着对谱方法，半隐式方法和指数时间差 分方法的研究现状进行了介绍，最后提出本文研究的主要内容。第二章主要回顾了 Chebyshev 谱方法和 Fourier 谱方法，涉及相应的定义、性质和微分矩阵的计算方法 等等，并介绍了时间离散格式中的半隐式方法和 ETDRK4 方法。第三章和第四章用 前面所讨论的方法对一维的 Allen-Cahn 方程和 Cahn-Hilliard 方程进行数值模拟。从 误差、时间收敛阶和 CPU 时间三个方面对不同的时间离散格式进行比较，并进行 相应的有效性分析。此外，为了能够在实际计算中取到较大的时间步长，我们引入 了 Allen-Cahn 方程和 Cahn-Hilliard 方程稳定的一阶半隐式格式，讨论了一阶半隐式 格式的稳定性及稳定性参数对解精度的影响。最后将两类谱方法从一维问题推广到 二维问题的求解中。第五章对全文所涉及的主要内容进行了总结和展望。
Spectral methods for the Allen-Cahn equation and Cahn-Hilliard equation
Candidate Major Supervisor
: Li Tingting : Computational Mathematics : Lecturer Liu Fei
关键词：谱方法 指数时间差分 半隐式方法 Allen-Cahn 方程 Cahn - Hilliard 方程
I
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Abstract
Spectral method is a kind of numerical methods for solving differential equations, which is widely used in the fields of fluid dynamics, quantum mechanics, material science, ecology etc. To obtain numerical solutions of time-dependent partial differential equations (PDEs), we generally use spectral method in space and finite difference method in time. Because of the existence of nonlinear and stiff problems, most computations have been limited to second order accuracy in time. Although the spectral accuracy is achieved in space, low order of accuracy in time will also affect the total accuracy of the numerical solution. In order to improve the accuracy in time, we will introduce the exponential time differencing fourth-order Runge-Kutta method (ETDRK4) in detail. ETDRK4 method works well for some PDEs, it is fast and accurate, and it allows us to take larger time steps in real computation. At the same time, we will also introduce the semi-implicit method so as to compare with ETDRK4 methods under the same conditions. In Chapter 1, the brief summary of spectral method is given firstly, then we introduce the research advance of spectral method, semi-implicit method and ETDRK4 method. Additionally, we put forward the main content of the dissertation. Chapter 2 mainly reviews Chebyshev spectral method and Fourier spectral method, including the corresponding definitions, properties, computation of differentiation matrix. Then we introduce two types of time discretization schemes: the semi-implicit method and the ETDRK4 method. In Chapter 3 and 4, the methods discussed above are applied to numerical simulation of Allen-Cahn equation and Cahn-Hilliard equation in one dimension. We compare different time discretization schemes from the aspects of error , convergence order in time and CPU time. The effectiveness of the corresponding schemes is analyzed. Besides, aiming at taking larger time steps in the actual calculation,
II
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we introduce first-order stabilized semi-implicit methods for Allen-Cahn equation and Cahn-Hilliard equation. We also discuss the stability of first order semi-implicit schemes and the impact of the stability parameters on the accuracy of the solution. Finally, these two types of spectral methods are extended to solve two-dimensional equations. In the last chapter, the main content of the paper is summarized文作者签名： 日期： 年 月 日
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Huazhong University of Science & Technology Wuhan 430074， P.R.China May， 2015
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分类号 学校代码 1 0 4 8 7
学号 密级
M201370007
硕士学位论文
谱方法求解 Allen-Cahn 方程与 Cahn-Hilliard 方程
学位申请人 学 科 专 业： 指 导 教 师： 答 辩 日 期：
： 李婷婷
计算数学 刘飞 讲师 2015 年 5 月 17 日
A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree for the Master of Science