立体几何基础题题库550-600(有详细答案)
立体几何练习题及答案
立体几何练习题及答案在学习立体几何的过程中，练习题对于巩固知识、提高应用能力起着至关重要的作用。
本文将为大家提供一些立体几何的练习题，并给出详细的答案解析，以帮助读者更好地理解和掌握立体几何的知识。
一、球的表面积和体积1. 某个球的半径为3cm，求其表面积和体积。
解析：球的表面积公式为S = 4πr²，体积公式为V = (4/3)πr³。
将半径r代入公式进行计算即可。
表面积：S = 4π(3)² = 4π(9) ≈ 113.04cm²体积：V = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27)≈ 113.04cm³因此，该球的表面积约为113.04cm²，体积约为113.04cm³。
二、立方体的表面积和体积2. 一个立方体的边长为5cm，求其表面积和体积。
解析：立方体的表面积公式为S = 6a²，体积公式为V = a³。
将边长a代入公式进行计算即可。
表面积：S = 6(5)² = 6(25) = 150cm²体积：V = (5)³ = 5(5)(5) = 125cm³因此，该立方体的表面积为150cm²，体积为125cm³。
三、圆柱的表面积和体积3. 一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm，求其表面积和体积。
解析：圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，体积公式为V = πr²h。
将底面半径r和高度h代入公式进行计算即可。
表面积：S = 2π(4)² + 2π(4)(10) = 2π(16) + 2π(40) ≈ 321.2cm²体积：V = π(4)²(10) = π(16)(10) ≈ 502.4cm³因此，该圆柱的表面积约为321.2cm²，体积约为502.4cm³。
【最新试题库含答案】立体几何练习题与答案
立体几何练习题与答案篇一：立体几何练习题多套(含答案)立几测001试一、选择题：1．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4Ｄ．无法确定 A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D．过a可以且只可以作一个平面与b平行（）M、N分别为棱AA1、BB1的中点，则异面直线CM和D1N 所成角3．在正方体ABCD?A1BC11D1中，的正弦值为 ( ) Ａ．12 Ｂ．Ｃ．934．已知平面??平面?，m是?内的一直线，n是?内的一直线，且m?n，则：①m?③m??；②n??；?或n??；④m??且n??。
这四个结论中，不正确的三个是．．．( )Ａ．①②③Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4B. 5 C. 6 D. 8 ( ) A.6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R）?2?R?RB. R C. R D.24337. 直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下列四个命题(1)?//??l?m (2)????l//m (3)l//m????(4)l?m??//? 其中正确的命题是()A. (1)与(2)B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 0????6B.?6????4C.?4????3D.?3????29．?ABC中，AB?9，AC?15，?BAC?120?，?ABC所在平面?外一点P到点A、B、C的距离都是14，则P到平面?的距离为( )Ａ．7Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．1310．在一个45?的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45?，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为( )Ａ．30?Ｂ．45? Ｃ．60? Ｄ．90?11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF;③DF⊥SE; ④EF⊥面SED,其中成立的有: ()Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6?cm,则地球仪的表面积为()A. 24?cmB. 48?cmC. 144?cmD. 288?cm2222二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 直二面角α—MN—β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC?α，AC?β，BC与β所成角的正弦值是__________。
立体几何基础题题库(600道附详细答案)
解析：∵EN//MF，∴EN与MF共面 ，（2分）又∵EF//MH，∴EF和MH共面 ．（4分）∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）∴平面 与 重合，∴点H 。（8分）同理点G ．（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面．
①若 ②若
③ ④
其中正确的命题的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
B解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b//α，或 均有 ，
故只有一个正确命题
8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为 ，底
面边长为 ，E是SA的中点，则异面直线BE与SC
所成角的大小为（）
A．90°B．60°
A．1B．2C．3D．4
只有②、⑤能判定M//N，选B
10.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1
所成的角为
（A）450（B）600
（C）900（D）1200
C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1B⊥AC1，选C。
筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所
示.他测得留在地面部分的影子长2.7m,留在墙壁部分的
影高1.2m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）
_______.
4．2米
解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高， CE= 米，树影长BE= 米，树高AB= BE= 米。
22．如图,正四面体 （空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中, 分别是棱 的中点, 则
立体几何练习题及解析
立体几何练习题及解析一、选择题1. 下列哪个是正方体？A. 圆柱体B. 球体C. 锥体D. 正四面体解析：正确答案为D。
正四面体是一个具有四个等边三角形面的多面体，也是一种立体几何体。
2. 以下哪个是圆锥体？A. 立方体B. 正方形C. 圆柱体D. 球体解析：正确答案为C。
圆柱体的两个底面都是同心圆，且高度与底面的半径相等。
3. 以下哪个不是球体的属性？A. 没有棱B. 没有边C. 没有顶点D. 没有底面解析：正确答案为D。
球体没有底面，它是由无数个相同半径的小球面组成的。
二、填空题1. 立方体有多少个面？解析：立方体有6个面。
2. 锥体有多少个顶点？解析：锥体有1个顶点。
3. 正四面体有多少个边？解析：正四面体有6个边。
三、计算题1. 一个圆柱体的底面半径为5 cm，高度为8 cm，计算其体积和表面积。
解析：圆柱体的体积公式为V = πr²h，表面积公式为S = 2πrh + 2πr²。
将底面半径r = 5 cm，高度h = 8 cm代入公式计算得：V = π(5)²(8) = 200π cm³S = 2π(5)(8) + 2π(5)² = 80π + 50π = 130π cm²2. 一个球体的半径为10 cm，计算其体积和表面积。
解析：球体的体积公式为V = (4/3)πr³，表面积公式为S = 4πr²。
将半径r = 10 cm代入公式计算得：V = (4/3)π(10)³ = 4000π/3 cm³S = 4π(10)² = 400π cm²3. 一个正方体的边长为6 cm，计算其体积和表面积。
解析：正方体的体积公式为V = a³，表面积公式为S = 6a²。
将边长a = 6 cm代入公式计算得：V = 6³ = 216 cm³S = 6(6)² = 216 cm²四、解答题1. 画出一个平行六面体，其中底面是边长为4 cm的正方形，高度为6 cm。
数学：立体几何经典基础600题(2)有详细答案
101. C B A '''∆是△ABC 在平面α上的射影，那么C B A '''∠和∠ABC 的大小关系是 ( ) (A) C B A '''∠<∠ABC (B) C B A '''∠>∠ABC(C) C B A '''∠≥∠ABC(D) 不能确定解析：D一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等．102. 已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB = 90︒, CD ⊥平面α, AD , BD 和平面α所成的角分别为30︒和45︒, CD = h , 求: D 点到直线AB 的距离。
解析：1、先找出点D 到直线AB 的距离, 即过D 点作 DE ⊥AB , 从图形以及条件可知, 若把DE 放在△ABD 中不易求解。
2、由于CD ⊥平面α, 把DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE 在平面α内的射影长。
解: 连AC , BC , 过D 作DE ⊥AB , 连CE , 则DE 为D 到直线AB 的距离。
∵CD ⊥α∴AC , BC 分别是AD , BD 在α内的射影。
∴∠DAC , ∠DBC 分别是AD 和BD 与平面α所成的角 ∴∠DAC = 30︒, ∠DBC = 45︒ 在Rt △ACD 中, ∵CD = h , ∠DAC = 30︒ ∴AC =3h在Rt △BCD 中∵CD = h , ∠DBC = 45︒∴BC = h ∵CD ⊥α, DE ⊥AB ∴CE ⊥AB 在Rt △ACB 中A B A C B C h =+=222S A C B C A B C E=⨯=1212· ∴C E A C B C A B h h h h =⨯==3232·∴在Rt △DCE 中,D E D C C E h h h =+=+=22223272()∴点D 到直线AB 的距离为72h 。
高中几何体试题及答案解析
高中几何体试题及答案解析试题一：立体几何基础题题目：已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。
解析：长方体的体积可以通过其三个维度的乘积来计算，即体积V = a × b × c。
答案：V = abc。
试题二：空间向量在立体几何中的应用题目：在空间直角坐标系中，点A(1, 0, 0)，点B(0, 1, 0)，点C(0, 0, 1)，求三角形ABC的面积。
解析：空间直角坐标系中，三角形的面积可以通过向量叉乘来求解。
设向量AB = (-1, 1, 0)，向量AC = (-1, 0, 1)，向量AB与向量AC 的叉乘结果为向量AB × AC = (1, -1, 1)。
该向量的模即为三角形ABC的面积的两倍。
答案：三角形ABC的面积为√3。
试题三：圆锥体的体积计算题目：已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。
解析：圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h来计算。
答案：V = (1/3)πr²h。
试题四：球体的表面积与体积题目：已知球体的半径为R，求球体的表面积和体积。
解析：球体的表面积可以通过公式A = 4πR²来计算，球体的体积可以通过公式V = (4/3)πR³来计算。
答案：球体的表面积A = 4πR²，球体的体积V = (4/3)πR³。
试题五：旋转体的体积题目：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。
解析：圆柱的体积可以通过公式V = πr²h来计算。
答案：V = πr²h。
结束语：通过上述试题及答案解析，我们可以看到高中几何体的计算涉及体积、面积和表面积等概念，这些计算在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。
掌握这些基础知识对于解决更复杂的几何问题至关重要。
希望这些试题和解析能够帮助学生加深对立体几何概念的理解，并在解题过程中培养空间想象能力。
立体几何基础题题库(600道附详细答案)
立体几何基础题题库（有详尽答案）1、二面角 l 是直二面角， A， B ，设直线 AB 与 、 所成的角分别为∠ 1 和∠ 2，则（ A ）∠ 1+∠ 2=90 0 （B ）∠ 1+ ∠ 2≥900（ C ）∠ 1+ ∠ 2≤ 900（D ）∠ 1+∠ 2＜900分析： CA 12B,以下图作协助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠ 1和∠2分别为直线 AB 与平面所成的角。
依据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的全部角中最小的角ABO2 Q ABO1 90o2 1 90o2. 以下各图是正方体或正四周体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面 的一个．．．图是PSPPSSPSSSSPSPQPPRRR PPQRR Q RRPQ RP QPRPRQPQQPR RS SSQQ R SQSSQRRQS SR QQQ（ A ）（ B ）（ C ）（D ）D分析： A 项：PS PQS ， PQRS 是个梯形底面对应的中线，中线平行D'SC 'PA'DAQB 项：如图B'RCBC 项：是个平行四边形D项：是异面直线。
3. 有三个平面，β，γ ，以下命题中正确的选项是（ A ）若，β，γ 两两订交，则有三条交线（B）若⊥ β，⊥ γ，则β∥γ（ C）若⊥ γ，β∩=a，β∩γ=b，则 a⊥ b（D）若∥ β，β∩γ=，则∩γ=D分析： A 项：如正方体的一个角，三个平面订交，只有一条交线。
B项：如正方体的一个角，三个平面相互垂直，却两两订交。
C项：如图4.以下图，在正方体 ABCD －A1B1C1D1的侧面 AB 1内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为A B A B A B A B D CO O O A BPP P PP D1C1A 1B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 B1A 1 B1CD' C'A' B'PD C分析： B1C1 平面 AB1B1C1 A P 点到定点 B 的距离与到定直线AB 的PB,，如图：B距离相等，成立坐标系绘图时能够以点B1B 的中点为原点成立坐标系。
数学课程立体几何基础题及答案
数学课程立体几何基础题及答案立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究三维空间中的几何图形和其属性。
本文将为您提供一些立体几何的基础题及其答案，希望能够帮助您更好地理解和掌握这一领域的知识。
1. 题目：一个直径为8 cm的圆柱体的高度为10 cm，求其体积和表面积。
解答：圆柱体的体积可以通过公式V = πr²h 计算得到，其中 r 为底面半径，h 为高度。
所以，这个圆柱体的体积为V = π(4²)(10) = 160π cm³。
圆柱体的表面积可以通过公式S = 2πrh + 2πr² 计算得到，其中 r 为底面半径，h 为高度。
所以，这个圆柱体的表面积为S = 2π(4)(10) + 2π(4²) = 80π + 32π = 112π cm²。
2. 题目：一个圆锥的底面半径为6 cm，侧面积为18π cm²，求它的体积和侧面的斜高。
解答：圆锥的体积可以通过公式V = 1/3πr²h 计算得到，其中 r 为底面半径，h 为高度。
要求的底面半径是6 cm，底面面积可以通过公式 S = πr² 计算得到，所以底面面积为S = π(6²) = 36π cm²。
侧面积为18π cm²，减去底面面积，则得到圆锥的侧面积为18π - 36π = -18π cm²（负号表示圆锥的侧面积是倒立的）。
圆锥的侧面积可以通过公式S = πrl 计算得到，其中 r 为底面半径，l 为侧面斜高。
由于侧面积为负值，所以取其绝对值进行计算，即18π 的绝对值为18π cm²。
将已知条件代入公式可得18π = π(6)(l)，解方程得到 l = 3 cm。
所以，这个圆锥的体积为V = 1/3π(6²)(3) = 36π cm³，侧面的斜高为 3 cm。
3. 题目：一个正方体的棱长为4 cm，求其表面积。
立体几何基础习题和答案
立体几何基础习题和答案立体几何基础习题和答案立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和物体。
在学习立体几何的过程中，掌握基础习题和答案是非常重要的。
本文将为大家提供一些常见的立体几何基础习题及其答案，希望能对大家的学习有所帮助。
一、体积和表面积计算1. 计算一个边长为3cm的正方体的体积和表面积。
解答：正方体的体积公式为V = a^3，表面积公式为A = 6a^2。
其中，a为正方体的边长。
将边长a = 3cm带入公式，可得正方体的体积V = 3^3 = 27cm^3，表面积A = 6 × 3^2 = 54cm^2。
2. 一个半径为4cm的球体的体积和表面积分别是多少？解答：球体的体积公式为V = (4/3)πr^3，表面积公式为A = 4πr^2。
其中，r为球体的半径。
将半径r = 4cm带入公式，可得球体的体积V = (4/3)π × 4^3 ≈ 268.08cm^3，表面积A = 4π × 4^2 = 201.06cm^2。
二、平行四边形和三角形的性质1. 一个平行四边形的两个对角线相交于点O，证明O是平行四边形的中心点。
解答：由平行四边形的性质可知，对角线互相平分。
设平行四边形的两个对角线分别为AC和BD，相交于点O。
由于AC和BD互相平分，所以AO = CO，BO = DO。
又由于平行四边形的对边相等，所以AO = CO = BO = DO。
因此，O是平行四边形的中心点。
2. 在一个等腰直角三角形ABC中，BC = AC = 5cm，求三角形的面积。
解答：由于直角三角形是等腰的，所以AB = AC = 5cm。
三角形的面积公式为S = (1/2) × AB × BC。
将AB = 5cm，BC = 5cm带入公式，可得三角形的面积S = (1/2) × 5 × 5 =12.5cm^2。
三、立体图形的相似性1. 一个正方体的边长为2cm，另一个正方体的边长为4cm，这两个正方体的体积之比是多少？解答：两个正方体的体积之比等于边长之比的立方。
立体几何练习题(含答案)
立几测001试一、选择题：1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定 3．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( )Ａ．19 Ｂ．23 Ｃ．4．已知平面α⊥平面β，m 是α内的一直线，n 是β内的一直线，且m n ⊥，则：①m β⊥；②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。
这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( )Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 86. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ）( ) A.R π42 B. R 3π C. R 2π D. 3R7. 直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题(1)m l ⊥⇒βα// (2)m l //⇒⊥βα (3)βα⊥⇒m l // (4)βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是( )A. (1)与(2)B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 60πα<< B.46παπ<< C.34παπ<< D.23παπ<<9．ABC ∆中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=︒，ABC ∆所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为( )Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．1310．在一个45︒的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45︒，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )Ａ．30︒ Ｂ．45︒ Ｃ．60︒ Ｄ．90︒11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF;③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: ( )Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6πcm,则地球仪的表面积为( )A. 24πcm 2B. 48πcm 2C. 144πcm 2D. 288πcm 2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 直二面角α—MN —β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成角的正弦值是46，则AB 与β所成角大小为__________。
立体几何基础题题库(240道附详细解析)
立体几何基础题题库（240道附详细解析）361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面? 解析：有5个暴露面.如下图，过V 作VS ′∥AB ，那么四边形S ′ABV 为平行四边形，有∠S ′VA=∠VAB=60°，从而ΔS ′VA 为等边三角形，同理ΔS ′VD 也是等边三角形，从而ΔS ′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以S ′与S 重合.这说明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有5个暴露面. 362. 假设四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，那么其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.此题表面上是考查锥体求积公式那个知识点，实际上要紧考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.关于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，因此V ABCD =31S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=22)21(2-=215.设N 是BC 的中点，那么MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=1415-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211， 故V ABCD =31×211×1=611.关于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，那么V=122·)441)(414)(144(-+-+-+ =122·7=1214. 363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r 2+d 2＝R 2,即122+(R-8)2＝R 2. 得R ＝13 ∴该球半径为13cm.364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如下图，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，那么Scos30°＝S ′,同时S ′＝9π，因此S ＝63π(米2)365. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，假如ΔAMD 的面积为1，试求能够放入那个棱锥的最大球的半径.解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ， ∴AB ⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面AC. 记E 是AD 的中点， 从而ME ⊥AD.∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球. 不妨设O ∈平面MEF ，因此O 是ΔMEF 的内心. 设球O 的半径为r ，那么r ＝MFEM EF S MEF++△2设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1. ∴ME ＝a2.MF ＝22)2(a a +,r ＝22)2(22aa a a +++≤2222+＝2-1当且仅当a ＝a2，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1. 366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a. (1)求证BD ⊥截面AB 1C ；(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。
数学：立体几何经典基础600题(6)有详细答案
501. 在长方体ABCD －1111D C B A 中，AB ＝2，11==B B BC ，M 、N 分别是AD 、DC 的中点． （1）证明AM ∥11C A ；（2）求异面直线MN 与1BC 所成角的余弦值．解析：（1）∵ 1AA ∥1BB ∥1CC ，1AA ＝1BB ＝1CC ，∴ C C AA 11是平行四边形，∴AC ∥11C A ，又MN ∥AC ，因此，MN ∥11C A ．（2）由（1），11A BC ∠是异面直线MN 与1BC 所成角．在△11C BA 中，21=BC ，5111==C A BA ．于是有1010cos 11=∠A BC ． 502. 在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，得到四边形EFGH ． （1）四边形EFGH 是______________；（2）当对角线AC ＝BD 时，四边形EFGH 是______________； （3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH 是矩形； （4）当对角线AC 、BD 满足条件_______时，四边形EFGH 是正方形． 解析：（1）由三角形中位线定理可知EF 21AC ，HG 21AC ，于是EF HG ，故四边形EFGH 为平行四边形；（2）当AC ＝BD 时，由EF ＝21AC ，EH ＝21BD ，得EF ＝EH ，即平行四边形EFGH 的邻边相等，故平行四边形EFGH 为菱形；（3）要使平行四边形EFGH 为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF ⊥FG ，则AC ⊥BD ； （4）要使平行四边形EFGH 为正方形，需且只须AC ⊥ BD ，且AC ＝BD ； 503. 借助两支铅笔，试研究以下问题：（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?图9－17（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?（3）在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何? 解析：（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此．（2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上（以后可知该平面与直线垂直）．（3）在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面．504. 如图9－18，已知P 为△ABC 所在平面外一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为P A 和BC 的中点．（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）EF 与PC 所成的角； （3）线段EF 的长．解析：（1）用反证法．假设EF 与PC 共面于α，则直线PE 、CF 共面α，则A ∈α，B ∈α，于是P 与A 、B 、C 共面于α，这与已知“P 是平面ABC 外一点”矛盾．故EF 与PC 是异面直线． （2）取PB 中点G ，连结EG 、FG ，由E 、F 分别是线段P A 、BC 中点，有EG21AB ，GF 21PC ∴ ∠GFE 为异面直线EF 与PC 所成的角，∠EGF 是异面直线PC 与AB 所成的角，∵ PC ⊥AB ，∴ EG ⊥GF ，即∠EGF ＝90°．∵ PC ＝AB ＝2，∴ EG ＝1，GF ＝1，故△EFG 是等腰直角三角形，∴ ∠GFE ＝45°，即EF 与PC 所成的角是45°．（3）由（2）知R t △EGF 中EG ＝1，GF ＝1，∠EGF ＝90°，∴ EF ＝2505. 如图9－19，在棱长为a 的正方体ABCD —111D C B A １中，O 是AC 、BD 的交点，E 、F 分别是AB 与AD 的中点．图9－19（1）求异面直线1OD 与11C A 所成角的大小； （2）求异面直线EF 与11C A 所成角的大小； （3）求异面直线EF 与1OD 所成角的正切值； （4）求异面直线EF 与1OD 的距离．解析：（1）∵ 11C A ∥AC ，∴ 1OD 与AC 所成的锐角或直角就是1OD 与11C A 所成的角，连结1AD 、1CD ，在△11D AA 和△11D CC ，∵ 1AA ＝1CC ，1111D C D A =，11D AA ∠11D CC ∠=90=，∴△11D AA ≌△11D CC ，∴11CD AD =．∴△C AD 1是等腰三角形．∵ O 是底边AC 的中点，∴ AC OD ⊥1，故1OD 与11C A 所成的角是90°．（2）∵ E 、F 分别是AB 、AD 中点，∴ EF ∥BD ，又∵ 11C A ∥AC ，∴ AC 与BD 所成的锐角或直角就是EF 与11C A 所成的角．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，∴ EF 与11C A 所成的角为90°（3）∵ EF ∥BD ，∴901=∠OD D 为异面直线EF 与1OD 所成的角．∵ 四边形D D BB 11是正方形，∴901=∠DO D ，∴ 在Rt △OD D 1中，a DD =1，DO ＝BD 21＝2221AD AB +a a a 222122=+=，∴ 222t a n 11==∠a aOD D D OD D ，即EF 与1OD 所成角的正切值为2．（4）∵ EF ∥BD ，BD ⊥AC ，∴ EF ⊥AC ，设交点为G ．∵ 1OD ⊥AC （由（1）知）于O ，则AC 是异面直线EF 与1OD 的公垂线，OG 的长即为EF 与1OD 间的距离，由于G 是OA 中点，O 是AC 中点，且a a a BC AB AC 22222=+=+=，∴ a AC OA OG 42412===，即EF 与1OD 间的距离为a 42． 506. 在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________． （把符合要求的命题序号都填上）解析：②．①的逆命题为：空间四点中若任何三点都不共线，则这四点不共面．此命题是假命题．平行四边形的四个顶点是其反例．②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，可知此命题为真命题． 507. 下列命题中是真命题的是( ) A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥D.正四面体是正三棱锥解析： 解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A 、B 不正确，C 中的各三角形没有指明共顶点，C 也不正确，D 是真命题，所以选D. 508. 三棱锥A —BCD 中，AC=BD,AD=BC,AB=CD ，三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、γ，则cos α+cos β+cos γ= .解析：如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c 由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形. 记为S ，侧面在底面的射影分别为S 1、S 2、S 3则SS 1=cos α, S S2=cos β, S S 3=cos γcos α+cos β+cos γ=S S S S 321++=SS=1509. 已知三棱锥S —ABC 的底面面积是a ，三棱锥的高是h ，M 、N 、P 、Q 分别是SB 、SC 、AC 、AB 的中点，求五面体MN —PQBC 的体积解析： 如图，过M 作MD ∥BA 交SA 于D ，则D 是SA 的中点，连结ND ，则ND ∥AC 所求五面体MN —PQBC 的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA —MQPN 的体积之差而V S —ABC =31ah ， V S —DMN =31·41a ·2h =241ah ，V 三棱主柱DMN —APQ =S △AQP ·21h=81ah ，∴V MN —PQBC =V S —ABC -V SA —MQPN=31ah-(241ah+81ah) =61ah 510. 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比. 解析：设棱锥的高为h ，它被截成的三部分自上而下设为h 1，h 2，h 3，则有 (h h 1)3=31,(123h h h +)3=2,(h h h 3-)3=32.所以h 1=393h,h 2=(32-1)h 1=393(32-1)h ，h 3=31833-h.所以h 1∶h 2∶h 3=1∶(32-1)∶(33-32).说明 求体积之比或面积之比常用相似比.511. 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为6的正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA=8，M 是SA 的中点，过M 和BC 作截面交SD 于N.(1)求证：截面MBCN 是梯形，并求截面的面积； (2)求截面MBCN 与底面ABCD 的夹角α.解析：(1)先证MN ∥BC 且MN ≠BC.因为BC ∥AD ，所以AD ∥截面MBCN ，从而 AD ∥MN ，BC ∥MN. 又MN=21AD=21BC ，所以MN ≠BC.于是MN 和BC 平行但不相等，故MBCN 是梯形.再求截面的面积：SA ⊥平面ABCD.易证MN 和BC 都垂直于平面ABS.所以MB ⊥MN ，MB ⊥BC ，故 S 截=21(MN+BC)·MB =21(3+6)1636 =913. (2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明，知∠MBA 的是截面与底面所成二面角的平面角，即∠MBA=α.于是tan α=AB MA =64=32∴α=arctan 32512. 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.解析：因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比，故只须求出对应边的比.∵B 1D 1＝32EF ＝31BD ， ∴BD D B 11＝31.同理，AB B A 11＝AC C A 11＝AD D A 11＝BC C B 11＝CD D C 11＝31，故ABCD 和A ′B ′C ′D ′是相似多面体，其表面积的比为1∶9.513. 如图，四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都是45°，求此棱锥的全面积.解析：由面面垂直的性质可证得VD ⊥底面，因为S ΔVDA ＝S ΔVDC ，∠ADC ＝120°，DB 是其平分线，而S ΔVBC ＝S ΔVAB ，所以全面积不难求得.解 由已知条件可得VD ⊥底面ABCD ，VD ⊥DA ，VD ⊥DC ，∴∠ADC ＝120°. ∵ABCD 为菱形，∴BD 是∠ADC 的平分线.ΔADB 和ΔDBC 是全等的等边三角形，取BC 的中点E ， 连DE ，BC ⊥DE ，BC ⊥VE ，∴∠VED ＝45°. 在直角ΔDEC 中，EC ＝DE ·ctg60°＝33h,BC ＝332h,VE ＝2h. ∴S 底＝BC ·DE ＝332h ·h ＝332h 2, S ΔVBC ＝S ΔV AB ＝21·332h ·2h ＝36h 2, S ΔV AD ＝S ΔVDC ＝21h ·332h ＝33h 2. ∴S 全＝332h 2+362h 2+332h 2 ＝32(23+6)h 2 评析：本题的关键是侧面VDA 和侧面VDC 都垂直于底面，则它们的交线VD ⊥底面ABCD ，从而∠ADC ＝120°.514. 已知三棱锥各侧面与底面成60°角.底面三角形的各角成等差数列，且最大边与最小边是方程3x 2-21x+13＝0的两根.求此三棱锥的侧面积和体积.解析： 如图，设底面三角形的边长为a 、b 、c.则由条件知∠B ＝60°，a+c ＝7,ac ＝313，得b 2＝a 2+c 2-2accosB ＝(a+c)2-2ac(1+cosB)＝72-2·313(1+21)＝36 b ＝6,由三角形面积公式，得21acsinB ＝pr(其中p 为半周长，r 为内切圆半径)，求得r ＝63. 由于各侧面与底面成的角相等，∴顶点在底面上的射影是三角形的内心，且各侧面上的高相等，∴h ＝rtg60°＝63·3＝21，h 侧＝︒60cos r ＝33.故S 侧＝21(7+6)×33＝6133 (平方单位)，V ＝31·21acsinBh ＝61×313×23×21＝72133 (立方单位).515. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.解析：(1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF 在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF ＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为411a.(2)如图2，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG ⊥EF.∴BG ＝22EG BE -＝22)83(a a -＝855a ∴S ΔBEF ＝21·EF ·BG ＝21·43a ·855a ＝64553a 2. (3)∵V A-BCD ＝V B-ACD ，而三棱锥B —AEF ，三棱锥B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即CADB AEF B V V --＝ACD AEF S S △△＝22CD EF ＝169 评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.516. 在三棱锥A —BCD 中，ΔABC 和ΔBCD 都是边长为a 的正三角形，二面角A —BC —D ＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。
(完整版)《立体几何初步》测试题和答案
《立体几何初步》测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =⋂，则c a ,的位置关系是（ ）A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°的等腰三角形D ．其他等腰三角形4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）A 48B 64C 96D 1925. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对6. 已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）A 22 B233 C 423D 4337. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°9. 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.010. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2．12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形（3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。
立体几何经典习题集(含答案)
立体几何基础A 组题一、选择题：1．下列命题中正确命题的个数是 （ ） ⑴ 三点确定一个平面⑵ 若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内 ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2D.3答案：A2．已知异面直线a 和b 所成的角为︒50，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是︒30的直线条数有且仅有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案：B 3．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是 （ ） (1) 若βα//，则m l ⊥ (2) 若βα⊥，则m l // (3) 若m l //，则βα⊥ (4) 若 m l ⊥，则βα//A.(3)与（4）B.（1）与（3）C.（2）与（4）D.（1）与（2）答案：B4．已知m 、n 为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l （ ） A.与m 、n 都相交 B.与m 、n 中至少一条相交 C.与m 、n 都不相交 D.至多与m 、n 中的一条相交答案：B5．设集合A={直线}，B={平面}，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，则下列命题中的真命题是 （ ）A. c a b a b c ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// B.c a c b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ C.c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ D. c a b c b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//答案：A6．已知a 、b 为异面直线，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AC=AD ，BC=BD ，则直线a 、b 所成的角为 （ ） A. ︒90 B. ︒60 C. ︒45 D. ︒30答案：A7．下列四个命题中正确命题的个数是 （ ） 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A.1个B.2个C.3个D.0个答案：D8．设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这些集合之间关系是 （ ） A.Q M N P B.Q M N P C.Q N M P D.Q N M P答案：B9．正四棱锥P —ABCD 中，高PO 的长是底面长的21，且它的体积等于334cm ，则棱AB 与侧面PCD 之间的距离是 （ ） A.cm 2 B. cm 2 C. cm 1 D.cm 22答案：A10．纬度为α的纬圈上有A 、B 两点，弧在纬圈上，弧AB 的长为απcos R （R 为球半径），则A 、B 两点间的球面距离为 （ ）A. R πB. R )(απ-C. R )2(απ-D. R )2(απ-答案：D11．长方体三边的和为14，对角线长为8，那么 （ ） A.它的全面积是66 B.它的全面积是132C.它的全面积不能确定D.这样的长方体不存在答案：D12．正四棱锥P —ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于（ ）A.21B. 22C. 32D. 33答案：D13．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是 （ ）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形答案：B二、填空题：14．正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的重点，则EF 与BG 所成角的余弦值为________________________答案：510 15．二面角βα--a 内一点P 到两个半平面所在平面的距离分别为22和4，到棱a 的距离为24，则这个二面角的大小为__________________答案：︒︒16575或16.四边形ABCD 是边长为a 的菱形，︒=∠60BAD ，沿对角线BD 折成︒120的二面角A —BD —C 后，AC 与BD 的距离为_________________________答案：a 43 17．P 为︒120的二面角βα--a 内一点，P 到α、β的距离为10，则P 到棱a 的距离是_________________答案：3320 18．如图：正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成︒60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是______________________答案：4219．已知三棱锥P —ABC 中，三侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos _______________答案：1 20．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____________（只需写出一个可能的值）。
立体几何基础题(有详细答案)
立体几何基础题题库（六）（有详细答案）251. 已知点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，PD ⊥面AC ，PD=AD=l ，设点C 到面PAB 的距离为d1，点B 到平面PAC 的距离为d2，则（ ）（A ）l <d1 <d2（B ）d1< d2<l （C ）d1<l < d2（D ）d2<d1<l解析：ld 221=，ld 332=，故d2<d1<l ，选D 。
252.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<<a （1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小； （3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。
解析：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。
∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴2==BF AC ,21,21a BQ a CP==, 即2a BQ CP ==,∴=+-==22)1(BQCP PQ MN )20(21)22()2()21(222<<+-=+-a a a a（2）由（1）知:2222==MN a 时，当，的中点时，分别移动到即BF AC N M ,,22的长最小，最小值为MN(3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，∴∠AGB 即为二面角α的平面角。
又46==BG AG ，所以由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=∙∙-+=α。
故所求二面角)31arccos(-=α。
253. 如图，边长均为a 的正方形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为)20(πθθ<<。
高中立体几何基础题题库()551-600
立体几何基础题题库551-600（有详细答案）551. 已知：正三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AB ′⊥BC ′，BC ＝2，求：线段AB ′在侧面C C BB ''上的射影长.解析：如图，取BC 的中点D.∵AD ⊥BC ，侧面''B BCC ⊥底面ABC ，∴AD ⊥侧面''B BCC D B '是斜线AB ′在侧面的射影.又∵AB ′⊥BC ′，∴D B '⊥BC ′.设BB ′＝x ，在Rt ΔBD B '中，BE ∶BD ＝'BB ，D B '＝21x +. ∵E 是ΔBB ′C 的重心.∴BE ＝31BC ′＝3124x +∴x ＝3121x +·42+x ，解得：x ＝2.∴线段AB ′在侧面的射影长为2.552.ΔABC 在平面α内的射影是ΔA ′B ′C ′，它们的面积分别是S 、S ′，若ΔABC 所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S ′＝S ·cos θ. 证法一 如图(1)，当BC 在平面α内，过A ′作A ′D ⊥BC ，垂足为D.∵AA ′⊥平面α，AD 在平面α内的射影A ′D 垂直BC. ∴AD ⊥BC.∴∠ADA ′＝θ.又S ′＝21A ′D ·BC ，S ＝21AD ·BC ，cos θ＝ADD A ',∴S ′＝S ·cosθ.证法二 如图(2)，当B 、C 两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S ′＝S ·cos θ.553. 求证：端点分别在两条异面直线a 和b 上的动线段AB 的中点共面.证明 如图，设异面直线a 、b 的公垂线段是PQ ，PQ 的中点是M ，过M 作平面α，使PQ ⊥平面α，且和AB 交于R ，连结AQ ，交平面α于N.连结MN 、NR.∵PQ ⊥平面α，MN ⊂α，∴PQ ⊥MN.在平面APQ 内，PQ ⊥a,PQ ⊥MN,∴MN ∥a,a ∥α，又∵PM ＝MQ ，∴AN ＝NQ ，同理可证NR ∥b,RA ＝RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.554. 如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M.解析：不难看出B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影.欲证A 1M ⊥AB 1，只要能证A 1M ⊥AC 1就可以了.证：连AC 1，在直角ΔABC 中，BC ＝1，∠BAC ＝30°，∴ AC ＝A 1C 1＝3.设∠AC 1A 1＝α，∠MA 1C 1＝β∴ tan α＝111C A AA ＝36＝2,tg β＝111C A MC ＝326＝22.∵cot(α+β)＝βαβαtan tan tan tan 1+-＝22211+-＝0,∴α+β＝90° 即AC 1⊥A 1M. ∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1， AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影. ∵AC 1⊥A 1M ，∴由三垂线定理得A 1M ⊥AB 1.评注：本题在证AC 1⊥A 1M 时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同.555. 矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影恰好落在AD 上.(1)求证：CD ⊥AB ； (2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，∵CM ⊥面ABD ，AD ⊥AB ， ∴CD ⊥AB(2)解：∵CM ⊥面ABD∴∠CDM 为CD 与平面ABD 所成的角， cos ∠CDM ＝CDDM作CN ⊥BD 于N ，连接MN ，则MN ⊥BD.在折叠前的矩形ABCD 图上可得 DM ∶CD ＝CD ∶CA ＝AB ∶AD ＝2∶3. ∴CD 与平面ABD 所成角的余弦值为32556. 空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∠PBA ＝45°，∠PBC ＝60°，M 为AB 的中点.(1)求BC 与平面PAB 所成的角；(2)求证：AB ⊥平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA ⊥AB ，∴∠APB ＝90°在Rt ΔAPB 中，∵∠ABP ＝45°，设PA ＝a ， 则PB ＝a,AB ＝2a,∵PB ⊥PC ，在Rt ΔPBC 中， ∵∠PBC ＝60°,PB ＝a.∴BC ＝2a,PC ＝3a. ∵AP ⊥PC ∴在Rt ΔAPC 中，AC ＝22PCPA +＝22)3(a a +＝2a(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面PAB ， ∴BC 在平面PBC 上的射影是BP. ∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角∵∠PBC ＝60°，∴BC 与平面PBA 的角为60°. (2)由上知，PA ＝PB ＝a,AC ＝BC ＝2a. ∴M 为AB 的中点，则AB ⊥PM ，AB ⊥CM. ∴AB ⊥平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.557. 在空间四边形ABCP 中，PA ⊥PC ，PB ⊥BC ，AC ⊥BC.PA 、PB 与平面ABC 所成角分别为30°和45°。
立体几何基础选择题(附答案)
立体几何基础选择题1：设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A 、若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B 、若l α⊥，l m ∥，则m α⊥C 、若l α∥，m α⊂，则l m ∥D 、若l α∥，m α∥，则l m ∥2：在空间，下列命题正确的是 ( )A 、平行于同一平面的两条直线平行B 、平行于同一直线的两个平面平行C 、垂直于同一平面的两个平面平行D 、垂直于同一平面的两条直线平行3：用a 、b 、c 表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题正确的有： ( )①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .A. ①②B. ②③C . ①④ D.③④4：给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 （ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④5：设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若,l ααβ∥∥，则l β⊂C ．若,l ααβ⊥∥，则l β⊥D ．若,l ααβ⊥∥，则l β⊥6：已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若∥∥则∥B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则∥C ．,,m m αβαβ若∥∥则∥D ．若,m n αα⊥⊥，则m n ∥7：设有直线,m n 和平面,αβ.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD .若αβ⊥，m β⊥，m α⊄,则m α∥8：已知直线,m n 与平面,αβ，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则m n ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥．其中真命题的个数是 ()A ．0B ．1C ．2D ．39：在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下列不成立．．．的是（ ） A 、BC//平面PDFB 、DF ⊥平面PA EC 、平面PDF ⊥平面ABCD 、平面PAE ⊥平面 ABC10：若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥11：设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A 、若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B 、若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C 、若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D 、若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 12：设n m ,是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //；③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ；④αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂；其中正确的命题是（）Ａ．①④； Ｂ．②③； Ｃ．①③； Ｄ．②④；13：已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是 （ ）A 、①③B 、②④C 、.③④D 、①14：直线PA 垂直于圆O 所在的平面，ABC ∆内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题：①BC PC ⊥；②//OM APC 平面；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中真命题的个数为（ ）A 、3B 、2C 、1D 、015：已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下命题不正确的是（ ）A 、若m n ∥, m α⊥, 则n α⊥B 、若m α⊥,m β⊥, 则αβ∥C 、若m α⊥,m n ∥, n β⊂,则αβ⊥D 、若m α∥,n αβ=，则m n ∥16：设α、β、γ是三个不同的平面，,a b 是两条不同的直线，给出下列4个命题：①若a α∥，b α∥，则a b ∥；②若a α∥，b β∥，a b ∥，则αβ∥；③若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则α⊥β；④若,a b 在平面α内的射影互相垂直，则a b ⊥.其中正确命题是 （ ）A 、 ③B 、 ④C 、 ①③D 、 ②④17：已知直线,m l ,平面,αβ，且m α⊥,l β⊂，给出下列命题：①若αβ∥，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则m l ∥；③若m l ⊥,则αβ∥； ④若m l ∥,则αβ⊥.其中正确命题的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、418：直线,m l 与平面γβα,,，满足l βγ=,l α∥,α⊂m ,γ⊥m ,则必有 （ ）A 、 γα⊥且m β∥B 、 γα⊥且m l ⊥C 、 m β∥且m l ⊥D 、αβ∥且γα⊥19：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α内任意一条直线m//平面β，则平面α//平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线⊥n 直线m ，则直线⊥n 平面α； ④若点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。
数学：立体几何经典基础600题(5)有详细答案
数学：立体几何经典基础600题(5)有详细答案401. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A―CD―B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?解析：设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A―CD―B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝bsin??acos??(asin??bcos?)＝a?b?absin?≥a?b?ab.2222222222∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为a?b?ab. 22402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.已知：从二面角α―AB―β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，∵PC⊥α，PD⊥β ∴PC⊥AB，PD⊥AB∴CE⊥AB，DE⊥AB又∵CE?α，DE?β，∴∠CED是二面角α―AB―β的平面角. 在四边形PCED内：∠C ＝90°，∠D＝90°∴∠CPD和二面角α―AB―β的平面∠CBD互补.403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.已知：二面角α―ED―β，平面?过ED，A∈?，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C. 求证：AB∶AC＝k(k为常数)证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.∠BFA，∠AFC分别为二面角α―DE―?，?―DE―β的平面角，它们为定值. 在RtΔABF中，AB＝AF・sin∠AFB. 在RtΔAFC中，AC＝AF・sin∠A FC，得：ABACAFsin?AFBAFsin?AFC＝＝定值.______________________________________________________ __404. 如果直线l、m与平面α、β、?满足l＝β∩?，l∥α,m?α和m⊥?.那么必有( ) A.α⊥?且l⊥m B.α⊥?且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥? 解析：∵m?α,m⊥?. ∴α⊥?. 又∵m⊥?,β∩?＝l. ∴m⊥l.∴应选A.说明本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.405. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝?2，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin55，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P―CD―A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中. ∵∠ADC＝arcsin55CD?CD,即⊥D′DC＝arcsin55，∴sin∠CDD′＝＝55∴CD＝5a ∴D′D＝2a ∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC 又在RtΔABC中，AC＝AB?BC22＝2a,∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB. 在RtΔPAB中，可得PB＝2a.22在RtΔPAC中，可得PC＝PA?AC＝3a.22在RtΔPAD中，PD＝a?(3a)＝10a.22222∵PC+CD＝(3a)+(5a)＝8a＜(10a)∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P―CD―A的平面角.______________________________________________________ __在RtΔAED中∠ADE＝arcsin5555，AD＝3a.∴AE＝AD・sin∠ADE＝3a・＝355a.在RtΔPAE中，tan∠PEA＝PAAE＝a355a＝53.∴∠AEP＝arctan53，即二面角P―CD―A的大小为arctan53.(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB. ∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC. AH为点A到平面PBC的距离. 在RtΔPAB中，AH＝PA?ABPB＝a?a2a＝22a.即A到平面PBC的距离为22a.说明 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.406. 如图，在二面角α―l―β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.(1)求二面角α―l―β的大小； (2)求证：MN⊥AB；(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l.∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α―l―β的平面角.∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α―l―β的大小为45°. (2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角.______________________________________________________ __407. 如图，在三棱柱ABC―A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.(1)求证：平面CA′B⊥平面A′AB； (2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′与平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函数表示)解析：(1)∵在三棱柱ABC―A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB?平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB(2)由四边形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，连AB′，可知ΔABB′是正三角形.取 B B′中点H，连结AH，则AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面C′B′BC，而AH垂直于两平面交线BB′，∴AH⊥平面C′B′BC.连结C′H，则∠AC′H为AC′与平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝23，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，2352525sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin3,∴直线AC′与平面BCC′B′所成的角是arcsin3.408. 已知四棱锥P―ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点.(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD； (2)求点E到平面PBC的距离； (3)求二面角A―BE―D的大小.(1)证明: 在四棱锥P―ABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点. 又E为AD的中点，∴EF∥PC又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF?平面EBD. ∴平面EBD⊥平面ABCD. (2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离过F作FH⊥BC交BC于H，∵PC⊥平面ABCD，FH?平面ABCD ∴PC⊥FH.又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离. ∵∠FCH＝30°，CF＝32a.______________________________________________________ __∴FH＝12CF＝34a.(3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，∴AF⊥平面BDC. ∵BF＝EF＝a2，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE，∴∠FGA为二面角D―BE―A的平面角. FG＝a2×22＝AFFG24a,AF＝32a.∴tg∠FGA＝＝6,∠FAG＝arctg6即二面角A―BE―D的大小为arctg6409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).(1)证明：∵AA1∩BB1＝O, ∴AA1、BB1确定平面BAO，∵A、A1、B、B1都在平面ABO内，∴AB?平面ABO；A1B1?平面ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上. 证明：如图，设AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵ BC?面ABC；B1C1?面A1B1C1，且BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR, 即 P、R、Q 在同一直线上.410. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.______________________________________________________ __感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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立体几何基础题题库550-600（有详细答案）551. 已知：正三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AB ′⊥BC ′，BC ＝2，求：线段AB ′在侧面C C BB ''上的射影长.解析：如图，取BC 的中点D.∵AD ⊥BC ，侧面''B BCC ⊥底面ABC ，∴AD ⊥侧面''B BCC D B '是斜线AB ′在侧面的射影.又∵AB ′⊥BC ′，∴D B '⊥BC ′. 设BB ′＝x ，在Rt ΔBD B '中，BE ∶BD ＝'BB ，D B '＝21x +. ∵E 是ΔBB ′C 的重心.∴BE ＝31BC ′＝3124x +∴x ＝3121x +·42+x ，解得：x ＝2.∴线段AB ′在侧面的射影长为2. 552.ΔABC 在平面α内的射影是ΔA ′B ′C ′，它们的面积分别是S 、S ′，若ΔABC 所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S ′＝S ·cos θ. 证法一 如图(1)，当BC 在平面α内，过A ′作A ′D ⊥BC ，垂足为D.∵AA ′⊥平面α，AD 在平面α内的射影A ′D 垂直BC. ∴AD ⊥BC.∴∠ADA ′＝θ.又S ′＝21A ′D ·BC ，S ＝21AD ·BC ，cos θ＝AD D A ',∴S ′＝S ·cosθ.证法二 如图(2)，当B 、C 两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S ′＝S ·cos θ.553. 求证：端点分别在两条异面直线a 和b 上的动线段AB 的中点共面.证明 如图，设异面直线a 、b 的公垂线段是PQ ，PQ 的中点是M ，过M 作平面α，使PQ ⊥平面α，且和AB 交于R ，连结AQ ，交平面α于N.连结MN 、NR.∵PQ ⊥平面α，MN ⊂α，∴PQ ⊥MN.在平面APQ 内，PQ ⊥a,PQ ⊥MN,∴MN ∥a,a ∥α，又∵PM ＝MQ ，∴AN ＝NQ ，同理可证NR ∥b,RA ＝RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.554. 如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M.解析：不难看出B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影.欲证A 1M ⊥AB 1，只要能证A 1M ⊥AC 1就可以了.证：连AC 1，在直角ΔABC 中，BC ＝1，∠BAC ＝30°，∴ AC ＝A 1C 1＝3.设∠AC 1A 1＝α，∠MA 1C 1＝β∴ tan α＝111C A AA ＝36＝2,tg β＝111C A MC ＝326＝22.∵cot(α+β)＝βαβαtan tan tan tan 1+-＝22211+-＝0,∴α+β＝90° 即AC 1⊥A 1M. ∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1， AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影. ∵AC 1⊥A 1M ，∴由三垂线定理得A 1M ⊥AB 1.评注：本题在证AC 1⊥A 1M 时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同.555. 矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影恰好落在AD 上.(1)求证：CD ⊥AB ； (2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，∵CM ⊥面ABD ，AD ⊥AB ， ∴CD ⊥AB(2)解：∵CM ⊥面ABD∴∠CDM 为CD 与平面ABD 所成的角， cos ∠CDM ＝CDDM作CN ⊥BD 于N ，连接MN ，则MN ⊥BD.在折叠前的矩形ABCD 图上可得 DM ∶CD ＝CD ∶CA ＝AB ∶AD ＝2∶3. ∴CD 与平面ABD 所成角的余弦值为32556. 空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∠PBA ＝45°，∠PBC ＝60°，M 为AB 的中点.(1)求BC 与平面PAB 所成的角；(2)求证：AB ⊥平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA ⊥AB ，∴∠APB ＝90°在Rt ΔAPB 中，∵∠ABP ＝45°，设PA ＝a ， 则PB ＝a,AB ＝2a,∵PB ⊥PC ，在Rt ΔPBC 中， ∵∠PBC ＝60°,PB ＝a.∴BC ＝2a,PC ＝3a.∵AP ⊥PC ∴在Rt ΔAPC 中，AC ＝22PC PA +＝22)3(a a +＝2a(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面PAB ， ∴BC 在平面PBC 上的射影是BP. ∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角∵∠PBC ＝60°，∴BC 与平面PBA 的角为60°. (2)由上知，PA ＝PB ＝a,AC ＝BC ＝2a. ∴M 为AB 的中点，则AB ⊥PM ，AB ⊥CM. ∴AB ⊥平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.557. 在空间四边形ABCP 中，PA ⊥PC ，PB ⊥BC ，AC ⊥BC.PA 、PB 与平面ABC 所成角分别为30°和45°。
(1)直线PC 与AB 能否垂直?证明你的结论；(2)若点P 到平面ABC 的距离为h ，求点P 到直线AB 的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)AB 与PC 不能垂直，证明如下：假设PC ⊥AB ，作PH ⊥平面ABC 于H ，则HC 是PC 在平面ABC 的射影，∴HC ⊥AB ，∵PA 、PB 在平面ABC 的射影分别为HB 、HA ，PB ⊥BC ，PA ⊥PC. ∴BH ⊥BC ，AH ⊥AC∵AC ⊥BC ，∴平行四边形ACBH 为矩形. ∵HC ⊥AB ，∴ACBH 为正方形. ∴HB ＝HA∵PH ⊥平面ACBH.∴ΔPHB ≌ΔPHA.∴∠PBH ＝∠PAH ，且PB ，PA 与平面ABC 所成角分别为∠PBH ，∠PAH.由已知∠PBH ＝45°，∠PAH ＝30°，与∠PBH ＝∠PAH 矛盾. ∴PC 不垂直于AB.(2)由已知有PH ＝h,∴∠PBH ＝45° ∴BH ＝PH ＝h.∵∠PAH ＝30°，∴HA ＝3h.∴矩形ACBH 中，AB ＝22HA BH +＝22)3(h h +＝2h.作HE ⊥AB 于E ，∴HE ＝AB HA HB ⋅＝hh h 23⋅＝23h. ∵PH ⊥平面ACBH ，HE ⊥AB ，由三垂线定理有PE ⊥AB ，∴PE 是点P 到AB 的距离. 在Rt ΔPHE 中，PE ＝22HE PH +＝22)23(h h +＝27h.即点P 到AB 距离为27h. 评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.558. 如图，在棱长为a 的正方体AC 1中，M 是CC 1的中点，点E 在AD 上，且AE ＝31AD ，F 在AB 上，且AF ＝31AB ，求点B 到平面MEF 的距离.解法一：设AC 与BD 交于O 点，EF 与AC 交于R 点，由于EF ∥BD 所以将B 点到面MEF 的距离转化为O 点到面MEF 的距离，面MRC ⊥面MEF ，而MR 是交线，所以作OH ⊥MR ，即OH ⊥面MEF ，OH 即为所求. ∵OH ·MR ＝OR ·MC ， ∴OH ＝59118a. 解法二：考察三棱锥B —MEF ，由V B-MEF ＝V M-BEF 可得h. 点评 求点面的距离一般有三种方法： ①利用垂直面；②转化为线面距离再用垂直面；③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.559． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1C 1和平面AB 1C 间的距离. 解法1 如图所示，A 1C 1∥平面AB 1C ，又平面BB 1DD 1⊥平面AB 1C. 故若过O 1作O 1E ⊥OB 1于E ，则OE 1⊥平面AB 1C ，O 1E 为所求的距离 由O 1E ·OB 1＝O 1B 1·OO 1， 可得：O 1E ＝33a解法2：转化为求C 1到平面AB 1C 的距离，也就是求三棱锥C 1—AB 1C 的高h. 由 V C AB C 11-＝V 11CC B A -，可得h ＝33a. 解法3 因平面AB 1C ∥平面C 1DA 1，它们间的距离即为所求，连BD 1，分别交B 1O 、DO 1与F 、G(图中未画出)。
易证BD 1垂直于上述两个平面，故FG 长即为所求，易求得 FG ＝33a . 点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.560. 在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 上的点，MB AM ＝NC AN ＝21.沿MN 把ΔAMN 到ΔA ′MN 的位置，二面角A ′—MN —B 为60°，求证：平面A ′MN ⊥平面A ′BC.解析：作AD ⊥BC 于D ，设AD ∩MN ＝P ，∠A ′PD ＝60°，可证A ′P ⊥平面A ′BC.561. 四面体的四个顶点到平面M 的距离之比为1∶1∶1∶3，则平面M 的个数应有多少个? 解 这样的平面应分4种情况讨论：(1)4个顶点都在平面M 的同侧，则有C 41·1＝4个(平面)；(2)距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有C 41·1＝4个(平面)；(3)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有C 31·C 41·1＝12个(平面)(4)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的2个同侧，则有C 32·C 41·1＝12个(平面)； ∴ 一共应有4+4+12+12＝32个(平面) 562. 斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形A 、 0个B 、1个C 、2个D 、3个解析：C 。