甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文
（含解析）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的)
1.命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A. 不存在x 0∈R,2x 0>0 B. 存在x 0∈R,2x 0≥0 C. 对任意的x ∈R,2x
≤0 D. 对任意的x ∈R,2x
>0
【答案】D 【解析】
命题“存在x 0∈R,2x 0≤0是特称命题，特称命题的否定是全称命题；特称命题的条件的否定是;x R ∀∈结论的否定是20;x
>故选D 【此处有视频，请去附件查看】
2.设R α∈，则“1sin 2α=”是“6
π
α=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】由1sin 2α=
，可知522k Z 66
k k ππ
αππ=++
∈或，． ∴“1sin 2α=
”是“6
π
α=”的必要不充分条件． 故选B ．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．
3.已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋
2π
，则f '()2
π等于( )
A. －1＋2
π B.
2
π
＋1 C. 1
D. －1
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的导数，计算导函数的值即可． 【详解】由
()sin cos 2
f x x x π
=++
得
()cos sin f x x x '=-，所以
cos sin 1222f πππ⎛⎫
'=-=- ⎪⎝⎭
.
故选：D.
【点睛】本题考查了导数的应用，考查函数求值问题，属于基础题.
4.关于命题p ：若0a b ⋅>r r ，则a r 与b r
的夹角为锐角；命题q ：存在x ∈R ,使得sin x ＋cos x ＝
3
2
.下列说法中正确的是( ) A. “p ∨q ”是真命题 B. “p ∧q ”是假命题 C. p ⌝为假命题 D. q ⌝为假命题
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断命题p ，q 的真假，利用复合命题与简单命题之间的关系进行判断.
【详解】若0a b ⋅>r r
，则cos ,0a b a b a b ⋅〈〉=>⋅r r
r r r r ，当cos ,1a b 〈〉=r r 时，,0a b 〈〉=r r ，满足条件，
但此时a r 与b r
的夹角为0，所以命题p 为假命题；
因()sin cos x x x ϕ+=+，而()sin 1x ϕ+≤
(
)3
2
x ϕ+≤<
，即不存在x ∈R ，使得3
sin cos 2
x x
+=
，所以命题q 为假命题； 所以，复合命题：“p q ∨”为假命题，“p q ∧”为假命题，“p ⌝”为真命题，“q ⌝”为真命题. 故选：B.
【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件确定命题p，q的真假是解决本题的关键，属于基础题.
5.椭圆
22
1
4
x y
m
+=的焦距是2，则m的值是（）
A. 5
B. 5或8
C. 3或5
D. 20
【答案】C
【解析】
试题分析：因为焦距是2，所以1
c=，当焦点在x轴时，22222
,4,41
a m
b
c a b m
==∴=-=-=解得：5
m=，当焦点在y轴时，22222
4,,41
a b m c a b m
==∴=-=-=解得：3
m=，故选择C．
考点：椭圆简单的几何性质．
6.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
【
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7.已知函数f(x)＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是( ) A. 极大值为
，极小值为0
B. 极大值为0，极小值为
C. 极大值为0，极小值为－
D. 极大值为－，极小值为0
【答案】A 【解析】
【详解】由题意，得f(1)＝0，∴p＋q ＝1 ①
f′(1)＝3－2p －q ＝0，∴2p＋q ＝3 ② 由①②得p ＝2，q ＝－1. ∴f′(x)＝x 3－2x 2＋x ，f′(x)＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，
令f′(x)＝0，得x ＝
或x ＝1，
＝
，f(1)＝0，故选A.
8.若双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为( )
A.
73
B.
54
C.
43
D.
53
【答案】D 【解析】
因为双曲线22
221x y a b -=的一条渐近线经过点（3，-4），
2225
349163
c b a c a a e a ∴=∴-=∴=
=，（），． 故选D.
考点：双曲线简单性质
【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形
结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线22
221x y a b -=共渐近线的可
设为2222(0)x y a b λλ-=≠；（2）若渐近线方程为b y x a =±，则可设为22
22(0)x y a b
λλ-=≠；
（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；（4）22
221(0.0)x y a b a b
-=>>的一条
渐近线的斜率为b a ==可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.
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9.若直线y ＝2x 与双曲线22
221x y a b
-= (a ＞0，b ＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范
围为( )
A. (1
C. (1
【答案】B 【解析】 【分析】
求得双曲线的渐近线方程,由双曲线与直线2y x =有交点，应有渐近线的斜率
2b
a
> ,再由
离心率c e a ==. 【详解】双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为b
y x a
=， 由双曲线与直线2y x =有交点知，应有
2b
a
>，
故c e a ===> B. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、双曲线的离心率、渐近线以及直线与双曲线的位
置关系，属于中档题.
10.定义在R 上的可导函数 f(x)=x 2
+ 2xf′(2)+15，在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,
则m 的取值范围是( ) A. m≥2 B. 2≤m≤4
C. m≥4
D.
4≤m≤8 【答案】D 【解析】
【详解】试题分析：由题可得()()'22'2f x x f =+，则()()'242'2f f =+，
()'24f =-，故()2815f x x x =-+，
()()()41,0815f f f =-==,由二次函数的最值可得[]4,8m ∈.
11.设函数()2
19ln 2
f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减,则实数a 的取值范围是（ ） A. (]
1,2 B. ()1,3
C. ()1,2
D. (]1,3
【答案】A 【解析】
由()219ln 2f x x x =-，则()299
x f x x x x
='-=-，
当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，
又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以10
13a a ->⎧⎨+≤⎩
，解得12a <≤，故选A ．
点睛：本题主要考查了函数的单调性的应用，利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：
22
22
1(0) x y
a b
a b
+=
>>的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
【答案】A
【解析】
试题分析：如图取P与M重合，则由
2
(,0),(,)
b
A a M c
a
--⇒直线2
2
:()(0,)
b
b
a
AM y x a E
c a a c
=+⇒
-+-
同理由2222
21
(,0),(,)(0,)3
3
b b b b
B a M c G a c e
a a c a c a c
-⇒⇒=⇒=⇒=
+-+
,故选A.
考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.
【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P与M重合，则由
2
(,0),(,)
b
A a M c
a
--⇒直线
2
2
:()(0,)
b
b
a
AM y x a E
c a a c
=+⇒
-+-
同理由
2
(,0),(,)(0,
b
B a M c G
a
-⇒
222
21
)3
3
b b b
a c e
a c a c a c
⇒=⇒=⇒=
+-+
.
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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13.已知函数
的图象在点M （1 , f （1））处的切线方程是3y x =+2,
则(1)(1)f f '+的值等于 【答案】8 【解析】
试题分析：由M （1,f （1））处的切线方程是3y x =+2,可得：(1)3,(1)5f f '==则：
(1)(1)8f f '+=．
考点：导数的几何意义与切线.
14.已知双曲线E ：2
2x a
–22y b =1（a>0，b>0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点
为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是_______． 【答案】2 【解析】
试题分析：不妨设22(,),(,)b b A c B c a a -，所以2
2,2b AB BC c a ==，由23AB BC =及
2
2
2
c a b =+，得：
224()
6c a c a
-=，两边同除以a ，则有2320e e --=，解方程得，1
22
e e ==
或（舍去），所以应该填2． 考点：双曲线的简单几何性质． 【此处有视频，请去附件查看】
15.已知函数f(x)=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k 的取值范围是____________ 【答案】1(0,]3
. 【解析】
分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.
详解：因为2
()36(1)0(0,4)f x kx k x x =+-∈'=， ，所以2(1)
k x
k
-= 因为函数f(x)=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0)在（0,4）上是减函数， 所以
2(1)1
400.3
k k k k -≥>∴<≤Q 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.
16.如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2
－2
3
y ＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限
的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是________．
【答案】
23
【解析】 【
分析】
利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．
【详解】由双曲线2
2
1:13
y C x -=可得11a =，13b =，2c =，
12122F A F A a -==……①，
椭圆2C 中，122F A F A a +=……②， 由①②得1222F A a =+， 又12124F F F A c ===，
2422a ∴⨯=+，即3a =，
所以椭圆2C 的离心率为2
3
c e a ==. 故答案为：
23
. 【点睛】本题考查了双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式，属于基础题． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知命题p ：2
lg(22)0x x --≥；命题q ：112
x
-<.若p 是真命题，且q 是假命题，求实数x 的取值范围. 【答案】4x ≥或1x ≤- 【解析】
【详解】p 为真:等价于不等式2221x x --≥ q 为假等价于不等式112
x
-
≥的解．然后这两个不等式的解集求并集即是所求x 的取值范围．由2
lg(22)0x x --≥得：2221x x --≥，解得31x x ≥≤-或 由112
x
-
<得：04x << 因为 p 为真命题，q 为假命题，则31{40
x x x x ≥≤-≥≤或或
所以4x ≥或1x ≤-
18.设函数()
2x
f x e x =--， （1）求()f x 的单调区间； （2）当
时，求函数的最值．
【答案】（1）单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞；（2） 最大值为24e -，最小值为31e -+． 【解析】
试题分析：（1）先求导，然后由()0f x '>与()0f x '<求得单调区间；（2）先由导数与极值的关系求得极值，再与两端点值比较求得最值．
试题解析：（1）()
1x
f x e ='-， 令() 10x
f x e -'=>，即 1x e >，∴0x >；
令() 10x f x e -'=<，即 1x e <，∴0x <．
∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞．
（2）∵当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，
∴()0
0?021f e =--=-为函数的极小值， 又()333?321f e e ---=+-=+，()22
2?224f e e =--=- 比较可知，当时，()f x 的最大值为24e -，最小值为31e -+．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、导数与函数极值的关系；3、函数的最值．
【方法点睛】求函数()f x 在某闭区间[,]a b 上的最值，首先需求函数()f x 在开区间(,)a b 内的极值，然后，将()f x 的各个极值与()f x 在闭区间上的端点的函数值()f a 、()f b 比较，才能得出函数()f x 在[,]a b 上的最值．
19.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M (4,1)，N (2,2).
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于不同的两点，且点M 到直线l 2，求直线l 的方程.
【答案】(1) 22
205
x y + ＝1,(2) x －y －1＝0 【解析】
【分析】
（1）设椭圆C 的方程为()22
10,0,mx ny m n m n +=>>≠，由椭圆经过点()4,1M ，()2,2N ，利用待定系数法即可得到椭圆C 的方程；
（2）设直线l 方程为：y x m =+，联立22420x y y x m
⎧+=⎨=+⎩，得22584200x mx m ++-=，由点到直线的距离公式即可得到直线l 的方程.
【详解】(1)设椭圆C 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，由题意得161441
m n m n +=⎧⎨+=⎩ 解得12015m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22
205
x y + ＝1. (2)由题意可设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，将其代入椭圆方程,
得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0.
则Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－20)＝－16m 2＋400＞0，
∴－5＜m ＜5.
又点M (4,1)到直线l
=
∴m ＝－1或m ＝－5(舍去).
∴直线l 的方程为x －y －1＝0.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要注意待定系数法和点到直线的距离公式的合理运用，属于基础题． 20.设函数32()f x ax bx cx =++在1x =和1x =-处有极值，且(1)1f =-，求,,a b c 的值，
并求出相应的极值.
【答案】（1）13,0,22a b c =
==-；极大值为()11f -=，极小值(1)1f =-. 【解析】
【分析】
先求导函数，再利用函数32()f x ax bx cx =++在1x =和1x =-处有极值，且(1)1f =-，
可得方程组，从而可求,,a b c 的值，考虑函数的单调性，即可确定函数的极值. 详解】2
()32f x ax bx c '=++， ∵()f x 在1x =和1x =-处有极值，且(1)1f =-，
∴()()()10 1011f f f ⎧'-=⎪'=⎨⎪=-⎩，∴320 3201a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，∴12 032a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩
，
∴()()()2333222
11f x x x x '=+=--， ∴函数在()1-∞-，，()1+∞，上，()0f x >′，函数为增函数；
函数在()11-，上，()0f x <′，函数为减函数，
∴当1x =-时，()f x 有极大值()11f -=；
当1x =时，()f x 有极小值11f =-（）
． 【点睛】本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与单调性，解题的关键是正确运用极值条件，属于中档题.
21.已知Rt△AOB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y
，△AOB 的面积为
【答案】y 2＝3x 或y 2＝－3x.
【解析】
∵OA⊥OB，且OA 所在直线的方程为y
，OB 所在直线的方程为y
，
由22{y px y ＝，，得A
点坐标为23p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，由22{3
y px y x -＝，＝，得B 点坐标为(6p ，－
， ∴OA＝43|p|，OB ＝
|p|，又S △OAB
p 2＝
32. ∴该抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x.
22.设函数f(x)＝(x ＋2)2－2ln(x ＋2)．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ)若关于x 的方程f(x)＝x 2＋3x ＋a 在区间[－1，1]上只有一个实数根，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞,()f x 的单调递减区间是(2,1)--;（Ⅱ）{}(523,3]422ln ln -⋃-
【解析】
【详解】解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(2,)-+∞，因为12(1)(3)()2[(2)]22
x x f x x x x ++=-'+=++， 所以当21x -<<-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>.
故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞；()f x 的单调递减区间是(2,1)--.（注： -1处写成“闭
的”亦可）
（Ⅱ）由2()3f x x x a =++得：42(2)0x a ln x -+-+=，
令()42(2)g x x a ln x =-+-+，则2()122
x g x x x ==+'-+， 所以10x -<<时，()0g x '<，01x <<时，()0g x '>，
故()g x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，
要使方程2
()3f x x x a =++在区间[1,1]-上只有一个实数根，则必须且只需 (1)0,(1)0,(0)0,{{(1)0,(1)0.
g g g g g -<-≥=≥<或或解之得422,(523,3].a ln a ln =-∈-或 所以实数a 的取值范围{}(523,3]422ln ln -⋃-．。