【适应】高考数学适应性月考试题八理新人教A版

【关键字】适应
云南师大附中2013届高考数学适应性月考试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
参考公式： 样本数据12,,
,n x x x 的标准差
(n s x x =
++-其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
锥体体积公式 13
V Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
球的表面积，体积公式
24R S π=，33
4R V π=
其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（是虚数单位）化简的结果是
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知集合，，则＝
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知两条直线和平面，且在内，在外，则“∥”是“∥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条
件
4．已知等差数列中，，则数列的前17项和＝
A ．102
B ．36
C ．48
D ．51 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的的值是
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知随机变量，则随机变量的方差＝
A ．
B ．
C ．
D ．25 7．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设变量满足约束条件目标函数，则的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递加，已知是锐角三角形的两个内角，比较，的大小的结果是
A ．
B ．
C ．
D ．以上情况均有可能
10．已知方程（为实常数）有两个不等实根，则实数的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
11．在平面直角坐标系中，定义为两点，间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆； ③到，两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是． 其中，正确的命题有
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
12．已知点在圆上，点在双曲线的右支上，是双曲线的左焦点，则的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．已知，且，则＝ ．
14．已知向量与的夹角为30°，且，则的最小值是 ．
15．已知函数，令，当，且时，满足条件的所有的值的和为 ．
16．以为直径的圆有一内接梯形，且∥．以、为焦点的椭圆恰好过、两点，当梯形的周长最大时，此椭圆的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，点在直线上． （1）求数列的通项；
（2）令，试求数列的前项和． 18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，且，、分别为、的中点．
（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；
（2）当2AB 时，求点E 到平面1B AF 的距离．
19．（本小题满分12分）近年空气质量逐渐恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染会引起多种心肺疾病．空气质量指数（AQI ）是国际上常用来衡量空气质量的一种指标，空气质量指数在(0,50)为优良，在(50,100)为中等，在(100,150)为轻度污染，在(150,200)为中度污染，……．某城市2012年度的空气质量指数为110（全年平均值），对市民的身心健康产生了极大影响，该市政府为了改善空气质量，组织环保等有关部门经过
大量调研，准备采用两种方案中的一种治理大气污染，以提高空气质量．根据发达国家以往的经验，若实施方案一，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.6的概率分别为0.5，0.3，0.2，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.6，0.4；若实施方案二，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.5的概率分别为0.6，0.3，0.1，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.5，0.5．实施每种方案，第一年与第二年相互独立，设i ξ（1,2i =）表示方案i 实施两年后该市的空气质量指数（AQI ）．
（1）分别写出1ξ，2ξ的分布列（要有计算过程）；
（2）实施哪种方案，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大？
20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点
(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于
点M ，N ．
（1）求抛物线的方程及12y y 的值；
（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：
1
2
k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||
1()2x m g x -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，其中m R ∈且0m ≠．
（1）判断函数()f x 的单调性；
（2）当2m <-时，求函数()()()F x f x g x =+在区间[]2,2-上的最值； （3）设函数(),2,
()(),2,f x x h x g x x ≥⎧=⎨
<⎩
当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的
()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作
答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆O
点P ，F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,G H （1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；
（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222
12
3cos 4sin ρθθ
=
+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程为2,2,2
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）．
（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．
24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】 4．11717917()
172
a a S a +=
=，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选D ． 5．依题意，知11,2,0,12
i n S ===+
⨯ 112,3,,1223
i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334
i n S ===
++⨯⨯⨯ ……
111112013
2013,2014,1122334
2013201420142014
i n S ===
++++
=-=
⨯⨯⨯⨯. 故选B ． 6．随机变量ξ服从二项分布，所以方差1125
()(1)301666
D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选C ．
7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知， 5,22AB BC ==， 6PB =，故选D ．
8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，
用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8
,
39
z ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．故选A ． 9．22
(2)()2(1)()
f x f x f x f x +=-
=-=+-
，周期2T =，因为()f x 在区间(2013,2014)上单
调递增，所以()f x 在区间(1,0)-上单调递增，又()f x 在R 上是偶函数，所以()f x 在区间(0,1)上单调递减．因为,αβ是锐角三角形的两个内角，有π
2
αβ+>，即ππ022βα<
-<<，πsin sin cos 2αββ⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，从而，(sin )(cos )f f αβ<．故选A ． 10．ln (2)2=0ln =(2)+2x a x e x a x e ---⇔-，
令12ln ,(2)2y x y a x e ==-+，直线2(2)2y a x e =-+过定点(2,2)e ， 设直线2(2)2y a x e =-+与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11
y x
'=， 所以，切线斜率0000000ln 211,ln 32,,2x a x x x e x e a x x e e
-=
=-=-==-∴， 当1,a e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，直线2(2)2y a x e =-+与1y 的图象有2个交点．
11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，
其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．
12．设双曲线22
152
x y -=的右焦点为F '，则(7,0),(7,0)F F '-，由双曲线定义知
||||25QF QF '=+， ||||||||25QF PQ QF PQ '+=++，
图1
图2
当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=， min (||||)325QF PQ +=+∴．故选B ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 42
9
- 3
54
31-
【解析】
14．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），
当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．
15．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+……
2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，
所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 16．不妨设||2AB =，圆心为O ，π0,2BOC θθ⎛⎫
⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
则||2cos ,||22cos CD BC θθ==-，
梯形ABCD 的周长为22cos 222cos L θθ=++-22212sin 4sin 22θθ⎛
⎫=+-+ ⎪⎝
⎭
2
14sin 522θ⎛⎫
=--+ ⎪⎝
⎭，
当1π
sin
,223
θ
θ==时，梯形ABCD 的周长最大，此时，||1,||3AD BD ==， 椭圆的离心率2||2
312||||31
c AB e a DB DA ====-++．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，
图3
所以数列{}n a 为等比数列，公比3
2
q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故1
1
132()2n n n a a q n --⎛⎫==-∈ ⎪
⎝⎭
*N ． ……………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++
++
23
2
1
3333321234(1)22222n n n n --⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
，① 234
1
33333332234(1)22
22222n n
n T n n -⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
，② ①-②得231
1
3333321+222222n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-⨯=-+++
+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
， ………（8分）
23
1
3333341+22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+++
+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥
⎣
⎦
31332444(2)8()32212
n
n n
n n n ⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设
1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒， 11||BC B C ==∴，
∵E 、F 分别为
BC 、1CC 的中点，
2
2222
2113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴， 2
22222
13||||||44EF EC CF a a
⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭
， 222222111119
||||||244B F B C C F a a a =+=+=，
有22222211339
||||||244
B E EF a a a B F +=+==，
1B E EF ⊥∴，
又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，
1B E ⊥∴平面AEF ．
……………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：由条件知，
1||||||||AE B E EF AF ====
11||||3AB B F ==，
………………………………………………………（8分）
AE EF ⊥∵，11
||||22
AEF S AE EF =⋅==△∴， 在
1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠=∠=
，
11111
||||sin 322
AB F S AB AF B AF =∠=⨯=△∴，
………………（10分）
设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S ⋅=⋅△△，
所以213
d =
=，
即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，1ξ的可能取值为：39.6,46.2,52.8,53.9,61.6； …………（1分） 因为第一年与第二年相互独立，
所以1(39.6)0.20.40.08P ξ==⨯=，1(46.2)0.20.60.30.40.24P ξ==⨯+⨯=， 1(52.8)0.50.40.20P ξ==⨯=，1(53.9)0.30.60.18P ξ==⨯=， 1(61.6)0.50.60.30P ξ==⨯=．
…………………………………………………（3分）
所以，1ξ的分布列为：
………………………………………………………………………（4分）
2ξ的可能取值为：33,38.5,46.2,52.8,53.9,61.6；
…………………………（5分）
2(33)0.10.50.05P ξ==⨯=，2(38.5)0.10.50.05P ξ==⨯= ，
2(46.2)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(52.8)0.60.50.30P ξ==⨯= ，
2(53.9)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(61.6)0.60.50.30P ξ==⨯=， …………………（7分）
所以，2ξ的分布列为：
…………………………………………………………………………（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(50)0.080.240.32P ξ=+=≤， 2(50)0.050.050.150.25P ξ=++=≤， 12(50)(50)P P ξξ>≤≤，
所以，实施方案一，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大． …………（12分） 20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12
p
x =
=，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．
………………………………………………（2分）
设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．
………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，
则2234
3434
1121222
12212343412
4444
y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y -
-+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）
设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-，
消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．
………………………………………………………………（10分）
故3411221212124444182
y y k y y k y y y y y y --+
+--=====++-，为定值． …………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，22222
(4)(2)(2)()4(4)4(4)
m x m x x f x x x --+'==++， 当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，
所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（4分） （Ⅱ）当2,22m x <--≤≤时， ||
111()2222x m x m
x
m
g x --⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
===⋅ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
在[2,2]-上单调递减．
由（Ⅰ）知，()f x 在(2,2)-上单调递减，
所以2
1()()()24162x
m mx F x f x g x x ⎛⎫
=+=+ ⎪+⎝⎭
在(2,2)-上单调递减． 2max ()(2)4221616
m m m m
F x F +=-=⨯-=-∴； 2min ()(2)216
m m F x F -==+
． ………………………………………………………（8分）
（Ⅲ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，1
1121()()416
mx h x f x x ==+，
由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
； ……………………………………（9分）
当2m ≥，22x <时，22
2||
22111()()2222x m m x m
x h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
====⋅ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，在(,2)-∞上单调递增，
从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫
⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
……………………………（10分）
对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需2
1162m m -⎛⎫< ⎪
⎝⎭
，即2
10162m m -⎛⎫-< ⎪
⎝⎭
成立即可．
记函数2
1()162m m H m -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭，易知2
1()162m m H m -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
在[2,)+∞上单调递增，且
(4)0H =，
所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】
（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．
在HGF △和AGP △中，,
,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分） ∴GH GP GF GA =． 又∵GC GD GF GA =，
∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，
∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）
∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=， ∴63
29
GP GH GC GD ⨯=
==， ∴4PC =．
∵PA 是⊙O 的切线，
∴2PA PC PD =，PA =．
………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）
由22222
12
3(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ
=
⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
所以223412x y +=，即22143x y +=，
故椭圆C 的直角坐标方程为22
143
x y +=．
……………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -， 点1(1,0)F -到直线l
的距离1d ==
， 点2(1,0)F 到直线l
的距离2d =
=
，
12d d +=12,F F 到直线l
的距离之和为
…………………（10分）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．
1,15,5,
|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩
≤≥或或
111
22
x x ⇒<>或，
所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛
⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
． ……………………………（5分）
（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．
由62,1,
|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪
-+-=⎨⎪->⎩
≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，
故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥． ……………（10分）
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