高中数学破题致胜微方法(双曲线进阶性质)：双曲线的焦半径

1
由双曲线上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦点半径，简称焦半径。

双曲线的焦半径是一个非常重要的几何量，从双曲线的第二定义可以推导出双曲线的焦半径公式。

在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，常利用焦半径公式把问题转化，简化运算过程。

先看例题：
例：已知点P (x 0，y 0)在双曲线22a x －22
b
y = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点。

若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a ) ，| PF 2| =－(e x 0－a )，其中e 是双曲线的离心率。

证明： 双曲线22a x －22
b
y = 1 (a ＞0，b ＞0)上的两焦点F c F c 1200()()-，、，，相应的准线方程分别是x a c x a c
=-=22
和
2
双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于双曲线的离心率， 若点P 在右半支上， 则122200|PF ||PF |e e a a x x c c
==+-，。

化简得1020|PF |a ex |PF |ex a =+=-，。

同理可证若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a ) ，| PF 2| =－(e x 0－a )。

注意：
（1）||||PF PF 12、都是双曲线上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径;
（2）若点P 在左半支上,也可以根据点P 在右半支上的焦半径公式和双曲线的第一定义推导出点P 在左半支上的焦半径公式。

整理：
已知点P (x 0，y 0)在双曲线22a x －22
b
y = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。

3
若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；
若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a ) ，| PF 2| =－(e x 0－a )，
其中e 是双曲线的离心率。

焦点在y 轴上的双曲线类似处理。

再看一个例题，加深印象
例点A (x 0,y 0)在双曲线2x 4－2
y 32
= 1 的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0=________.
解：设点A 到右准线的距离等于d ,
0062||()223
==⨯-=AF ed x x 得02=x 。

练习：
1.设F 1、F 2是双曲线22a x －22
b
y = 1 (a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，l 为左准线，离心率e =23，P(－3
28,m )是左支上一点，P 到l 的距离为d ，且d ，| PF 1|，| PF 2|成等差数列，求
4
此双曲线方程。

2.双曲线92x －16
2
y =1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若P F 1⊥P F 2，则点P 到x 轴的距离为_____________.
3.已知双曲线252x －144
2
y = 1的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ．能否在双曲线的左支上找到一点P ，使| PF 1|是P 到l 的距离与| PF 2|的等比中项？若能，试求出P 点坐标；若不能，请说明理由．
4. 已知双曲线2
2
12y x -=的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=,则点M 到x 轴的距离为( ) A.
43 B.53
C.3
答案：
1.
分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数. 解：由双曲线的第二定义知：d =
3
2| PF 1|，又| PF 1| =－(e x 0+ a) = 14－a , | PF 2| =－(e x 0－a ) = 14＋a ,由已知得：d ＋| PF 2| = 2| PF 1|，即32(14－a )＋(14＋a )=28－2a 得：a = 2， c =3，b =5，故双曲线的方程为42x －5
2
y =1。

2.
分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P 点纵坐标即可。

解：不妨设P在双曲线上右支上，设P(x
0，y
)，
则| PF
1| =e x0+ a = 3＋
3
5
x
，| PF
2
| =e x0－a =
3
5
x
－3，
则| PF
1
|2＋| PF
2
|2= |F
1
F
2
|2，即：(3＋
3
5
x
)2＋(
3
5
x
－3) 2=100，
所以2
x=
25
369
，又
9
2
x
－
16
2
y
=1，所以2
y=
25
256
，所以点P到x轴的距离为
5
16。

3.
分析；此题为探索题目，一般可设存在点P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。

4.
5。