2020版高考数学二轮复习第一部分基础考点自主练透第3讲平面向量与算法学案文

第3讲平面向量与算法
平面向量的线性运算
[考法全练]
1．（一题多解)已知向量a＝(2，4)，b＝（－1，1），c＝（2，3），若a＋λb与c共线，则实数λ＝（）
A。

错误!B．－错误!
C.错误!D．－错误!
解析：选B。

法一:a＋λb＝(2－λ，4＋λ），c＝（2，3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λb＝μc,所以错误!,解得错误!。

法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ),c＝（2，3)，由a＋λb与c共线可知
错误!＝错误!，解得λ＝－错误!。

2．(一题多解）（2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC中,错误!＝错误!错误!，若错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝( ）
A。

错误!a＋错误!b B.错误!a＋错误!b
C.错误!a－错误!b
D.错误!a－错误!b
解析：
选A.通解:如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC 于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以错误!＝错误!＋错误!。

因为错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!
＋1
3错误!＝错误!a＋错误!b，故选A.
优解一：错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!）
＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b,故选A。

优解二:由错误!＝错误!错误!,得错误!－错误!＝错误!(错误!－错误!)，所以错误!＝
错误!＋错误!（错误!－错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b，故选A。

3．直线l与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M，若错误!＝2错误!，错误!＝3错误!,错误!＝λ错误!－μ错误! (λ，μ∈R），则错误!μ－λ＝（)
A．－错误!B．1
C。

错误!D．－3
解析:选A。

错误!＝λ错误!－μ错误!＝λ错误!－μ(错误!＋错误!)＝（λ－μ）错误!－μ错误!＝2（λ－μ)错误!－3μ错误!，因为E、M、F三点共线,所以2（λ－μ）＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以错误!μ－λ＝－错误!,故选A。

4．已知P为△ABC所在平面内一点,错误!＋错误!＋错误!＝0，|错误!｜＝|错误!|＝｜错误!｜＝2，则△ABC的面积等于( )
A。

错误!B．2错误!
C．3错误!D．4错误!
解析：选B。

由｜错误!|＝|错误!｜得,△PBC是等腰三角形，取BC 的中点为D，则PD⊥BC，又错误!＋错误!＋错误!＝0，所以错误!＝－（错误!＋错误!）＝－2错误!，所以PD＝错误!AB＝1，且PD∥AB,故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|错误!|＝2，|错误!｜＝1可得|错误!｜＝错误!，则|错误!｜＝2错误!，所以△ABC的面积为错误!×2×2错误!＝2错误!，故选B。

错误!
平面向量线性运算的2种技巧
(1）对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则,紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时,若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断;若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb）来判断．
平面向量的数量积
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知错误!＝(2，3），错误!＝(3，t），|错误!｜＝1，则错误!·错误!＝（）
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为错误!＝错误!－错误!＝（1,t－3）,所以｜错误!｜＝错误!＝1，解得t＝3，所以错误!＝(1，0），所以错误!·错误!＝2×1＋3×0＝2，故选C。

2．（2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b,则a与b的夹角为（)
A。

错误! B.错误!
C.2π
3
D。

错误!
解析：选B.设a与b的夹角为α，
因为（a－b)⊥b，
所以(a－b）·b＝0，
所以a·b＝b2，
所以|a｜·｜b｜cos α＝|b｜2，又|a|＝2｜b｜，
所以cos α＝错误!，因为α∈(0，π），所以α＝错误!.故选B.
3．已知a＝（1，2),b＝(－1，1)，c＝2a－b,则｜c｜＝（）A。

错误!B．3错误!
C。

错误!D。

错误!
解析：选B.法一:因为c＝2a－b＝2(1，2）－(－1，1）＝（3,3），所以｜c｜＝错误!＝3错误!。

故选B。

法二:由题设知｜a｜2＝1＋4＝5，｜b|2＝1＋1＝2，a·b＝1×(－1)＋2×1＝1，所以|c｜2＝｜2a－b｜2＝4｜a｜2＋|b｜2－4a·b＝4×5＋2－4×1＝18，所以｜c｜＝3 2.故选B.
4．(一题多解）(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC 中,∠C＝错误!，AB＝4，AC＝2，若错误!＝错误!错误!，则错误!·错误!＝（）A．－18 B．－63
C．18 D．63
解析：选C。

通解：由∠C＝错误!，AB＝4，AC＝2，得CB＝2错误!，错误!·错误!＝0.错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝错误!·错误!＋错误! AB，→·错误!＝错误!（错误!－错误!)·错误!＝错误!错误!2＝18，故选C.
优解一:如图，以C为坐标原点，CA,CB所在的直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系，则C（0，0）,A(2，0），B（0,2错误!）．由题意得∠CBA＝错误!，又错误!＝错误!错误!，所以D＝（－1,3错误!),则CD，→·错误!＝(－1，3错误!)·（0，2错误!）＝18，故选C.
优解二：因为∠C＝π
2
，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2错误!，所以错误!在错误!上的投影为2错误!，又错误!＝错误!错误!，所以错误!在错误!上的投影为3
2
×2错误!＝3错误!，则错误!在错误!上的投影为3错误!，所以错误!·错误!＝|错误!｜·｜错误!|cos错误!，错误!＝2错误!×3错误!＝18，故选C.
5．(一题多解）已知平面向量a，b满足｜a｜＝1，|b｜＝2,｜a ＋b｜＝错误!，则a在b方向上的投影等于________．
解析：法一:因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝错误!，所以(a＋b）2＝|a|2＋|b｜2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，所以a·b＝－1,所以a在b方
向上的投影为错误!＝－错误!.
法二:记a＝错误!，a＋b＝错误!,则b＝错误!，由题意知｜错误!|＝1，｜
错误!｜＝错误!，|错误!｜＝2，则｜错误!｜2＋|错误!｜2＝|错误!|2，△AOB是直角三角形，且∠OAB＝错误!，所以a在b方向上的投影为｜错误!|cos
错误!＝1×错误!＝－错误!.
答案：－错误!
求向量a,b的数量积a·b有三种方法：①若两向量的夹角直接可得，则根据定义即可求得数量积;②根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b,然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解；③若图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．[注意] 求解两个非零向量的夹角问题时,要注意两向量夹角的范围是[0，π]，不是(0，π)，其中θ＝0表示两向量同向共线，θ＝π表示两向量反向共线．
程序框图
[考法全练]
1．（2019·济南市模拟考试）执行如图所示的程序框图,若输入
的x值为2 019，则输出的y值为( ）
A。

错误!B。

错误! C.错误!D．1
解析：选C.运行程序，输入的x＝2 019，则x＝2 019－4＝2 015，满足x≥0,2 015－4＝2 011，满足x≥0;…；x＝3,满足x≥0;x＝－1，
不满足x≥0。

故输出y＝2－1＝1 2 .
2．（2019·高考北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析:选B.k＝1，s＝1；第一次循环:s＝2，判断k<3，k＝2;第二次循环：s＝2，判断k〈3，k＝3；第三次循环:s＝2，判断k＝3，故
输出2。

故选B.
3．（一题多解）（2019·高考全国卷Ⅰ）如图是求错误!的程序框图,图中空白框中应填入（)
A．A＝错误!B．A＝2＋错误!
C．A＝错误!D．A＝1＋错误!
解析:选A.法一：依次检验四个选项．第一次循环：A。

A＝错误!；
B.A＝2＋2;
C.A＝错误!；D。

A＝2。

分析知只有A符合题意．故选A.
法二：分析知，错误!与错误!一致的结构为错误!,故可设A＝错误!,检验知符合题意，故选A.
4．(2019·武汉部分学校调研)执行如图所示的程序框图,若输入的n的值为6,则输出的S的值为( ）
A．21 B．23
C．37 D．44
解析：选C。

第1次循环得到t＝1，S＝1,i＝2;第2次循环得到t＝4，S＝5，i＝3；第3次循环得到t＝3，S＝8,i＝4；第4次循环得到t＝8,S＝16，i＝5;第5次循环得到t＝5,S＝21,i＝6；第6次循环得到t＝16，S＝37，i＝7，7>6，跳出循环．故S＝37，选C.
错误!
程序框图的解题策略
（1)要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体．
(2)要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量的值发生的变化．
（3)要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
［注意］要注意各个框的顺序，在给出程序框图,求解输出结果的试题中要按照程序框图规定的运算顺序逐次计算，直到达到输出条件．
一、选择题
1．(一题多解)(2019·贵州省适应性考试)设向量a＝（1，－2)，b＝（0，1)，向量λa＋b与向量a＋3b垂直,则实数λ＝( )
A.错误!B．1
C．－1 D．－错误!
解析：选B。

法一:因为a＝（1，－2），b＝（0，1），所以λa＋b＝（λ，－2λ＋1），a＋3b＝(1，1),由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0,所以λ－2λ＋1＝0,解得λ＝1，故选B.
法二：因为向量λa＋b与向量a＋3b垂直，所以(λa＋b）·（a ＋3b）＝0，所以λ|a|2＋（3λ＋1）a·b＋3|b|2＝0，因为a＝(1,－2)，b＝（0，1)，
所以|a|2＝5，｜b|2＝1，a·b＝－2，所以5λ－2（3λ＋1）＋3×1＝0，解得λ＝1,故选B.
2．(2019·湖南省湘东六校联考）已知向量错误!＝(1，2）,错误!＝(－1，2），则△ABC的面积为（)
A。

错误!B．4
C.错误!D．2
解析：选D。

由题意，得|错误!|＝错误!,|错误!｜＝错误!。

设向量错误!，
错误!的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!,所以sin θ＝错误!，所以S△ABC＝错误!｜错误!｜｜错误!|sin θ＝错误!×错误!×错误!×错误!＝2，故选D。

3．（2019·高考天津卷)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，
输出S的值为( ）
A．5 B．8
C．24 D．29
解析：选B.i＝1，S＝0,i不是偶数；第一次循环：S＝1，i＝2〈4；第二次循环：i是偶数，j＝1,S＝5,i＝3〈4；第三次循环：i不是偶数,S ＝8，i＝4，满足i≥4,输出S，结果为8.故选B。

4．（一题多解)（2019·合肥市第一次质检）设向量a＝（－3,4），
向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为（) A。

错误!B．（－6，8）
C.错误!D．（6，－8)
解析：选D.法一：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t,－4t)（t〉0），又｜b|＝10，则9t2＋16t2＝100,解得t＝2，或t＝－2（舍去），所以b＝(6，－8)，故选D.
法二：与a方向相反的单位向量为错误!，令b＝t错误!(t〉0），由|b｜＝10，得t＝10,所以b＝（6，－8)，故选D。

5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时,条件框内应填写（)
A．i>3？B．i〈5?
C．i〉4? D．i〈4?
解析:选D。

由程序框图可知，S＝10，i＝1;S＝8,i＝2；S＝4,i＝3；S＝－4,i＝4。

由于输出的S＝－4.故应跳出循环,故选D.
6．在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点，BE与AC的交
点为F ，若错误!＝a ，错误!＝b ，则向量错误!＝( ）
A 。

错误!a ＋错误!b
B ．－错误!a －错误!b
C ．－13a ＋错误!b D.错误!a －错误!b
解析：选C.错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!错误!＝错误!－错误!(错误!＋错误!）＝－错误!a ＋错误!b .
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝－1，n ＝1,则输出x ，y 的值满足( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝－3x
C ．y ＝－4x
D ．y ＝－8x
解析:选C.初始值x ＝0，y ＝－1，n ＝1,x ＝0，y ＝－1，x 2＋y 2<36,n ＝2，x ＝错误!，y ＝－2,x 2＋y 2<36，n ＝3，x ＝错误!,y ＝－6，x 2＋y 2〉36，退出循环，输出x ＝错误!，y ＝－6，此时x ，y 满足y ＝－4x ，故选C.
8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°,AD 是边BC 上的高，则错误!·错误!的值等于( ）
A．0 B．4
C．8 D．－4
解析：选B.因为AB＝BC＝4，∠ABC＝30°,AD是边BC上的高，
所以AD＝4sin 30°＝2.
所以错误!·错误!＝错误!·(错误!＋错误!)＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝
错误!·错误!＝2×4×错误!＝4.
9．在△ABC中，AB＝10，BC＝6，CA＝8，且O是△ABC的外心，则错误!·错误!＝( )
A．16 B．32
C．－16 D．－32
解析：选D.通解：由题意得AB2＝BC2＋CA2，所以△ABC为直角三角形，则点O为斜边AB的中点，所以错误!·错误!＝－错误!·错误!＝－|错误!|·|错误!｜cos∠BAC＝－|错误!｜·错误!|错误!|·错误!＝－错误!｜
错误!|2＝－32，故选D。

优解：由题意得AB2＝BC2＋CA2，所以△ABC为直角三角形，则点O为斜边AB的中点，所以错误!在错误!上的投影为4，则错误!·错误!
＝－错误!·错误!＝－4|错误!｜＝－32，故选D.
10．已知a〉1，b〉1，且log a b＋log b a＝错误!，a b＝b a,则执行如图所示的程序框图，输出的S＝( )
A。

错误!B．2
C。

3 D．3
解析：选C.由log a b＋log b a＝错误!，得(log a b)2－错误!log a b＋1＝0,即3（log a b)2－10log a b＋3＝0,解得log a b＝3或log a b＝错误!.由a b＝b a，两边同时取以a为底的对数，得b＝a log a b，log a b＝错误!.当log a b＝3时，得a3＝b，且错误!＝3.解得a＝错误!，b＝3错误!;当log a b＝错误!时，得a＝b3,且错误!＝错误!，解得a＝3错误!，b＝错误!。

又程序框图的功能是“取较小值"，即输出a与b中较小的那一个，所以输出的S＝错误!.
11．在△ABC中，｜AB→＋错误!｜＝错误!|错误!－错误!|，|错误!|＝｜错误! |＝3，则错误!·错误!＝( ）
A．3 B．－3
C.错误!D．－错误!
解析：选C。

对|错误!＋错误!｜＝错误!|错误!－错误!|两边平方，得错误!
2＋错误!2＋2错误!·错误!＝3(错误!2＋错误!2－2错误!·错误!)，即8错误!·错误!＝2
2＋2错误!2＝2×32＋2×32＝36,所以错误!·错误!＝错误!.所以错误!·错误!＝错误!
(错误!＋错误!)·错误!＝错误!2＋错误!·错误!＝错误!2－错误!·错误!＝9－错误!＝错误!，故选C。

12．(一题多解)(2019·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则错误!·错误!的最小值为( )
A．－错误!B．0
C．4 D．－1
解析：
选A。

通解:因为BC＝2,AC＝4，∠C＝90°,所以AC的中线BD ＝2错误!，且∠CBD＝45°。

因为点P在边AC的中线BD上，所以设错误!＝λ错误!（0≤λ≤1)，如图所示，所以错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝（错误!＋λ错误!）·λ错误!＝λ错误!·错误!＋λ2·错误!2＝λ｜错误!｜·｜错误!|cos 135°＋λ2×（2错误!）2＝8λ2－4λ＝8（λ－错误!)2－错误!，当λ＝错误!时，错误!·错误!取得最小值－错误!，故选A。

优解:依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，2）,D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以CP，→＝（t，2－t)，错误!＝（t，－t)，所以错误!·错误!＝t2－t（2－t)＝2t2－2t＝2(t－错误!）2－错误!，当t ＝错误!时，错误!·错误!取得最小值－错误!，故选A。

二、填空题
13．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2），b＝（2，－2）,c ＝(1,λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
解析：2a＋b＝（4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥（2a＋b）,所以1×2＝4λ，即λ＝错误!.
答案：错误!
14．若输入n＝4，执行如图所示的程序框图，则输出的s＝________．
解析:第一次循环，s ＝4，i ＝2，第二次循环,s ＝10，i ＝3,第三次循环，s ＝16，i ＝4,第四次循环，s ＝20,i ＝5，结束循环，输出s ＝20。

答案:20
15．（2019·郑州市第一次质量预测）已知e 1，e 2为单位向量且夹角为错误!，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2,则a 在b 方向上的投影为________．
解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝（3e 1＋2e 2）·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 2，2＝9×1×1×cos 错误!＋6＝错误!,又｜b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为错误!＝错误!＝错误!。

答案：12
16．(一题多解）已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为（－2，0），O 为原点，则错误!·错误!的最大值为________．
解析:法一：由题意知，错误!＝（2，0），令P (cos α,sin α)，则错误!＝（cos α＋2，sin α)，错误!·错误!＝（2，0）·（cos α＋2,sin α）＝2cos α
＋4≤6，故错误!·错误!的最大值为6。

法二:由题意知，错误!＝（2，0），令P(x，y)，－1≤x≤1，则错误!·错误!＝（2，0）·(x＋2,y）＝2x＋4≤6,故错误!·错误!的最大值为6.
答案：6。