2011年北京四中自主招生考试数学试卷_0

2011年北京四中自主招生考试数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）
1．（5分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°2．（5分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数
C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数
3．（5分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（）
A．﹣1B．或﹣1C．D．﹣或1 4．（5分）代数式的最小值为（）
A．12B．13C．14D．11
5．（5分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）
A．B．C．D．
6．（5分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）
A．223300B．333300C．443300D．433300
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
7．（5分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．
8．（5分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P 的个数是．
9．（5分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是．
10．（5分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=．
11．（5分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是．
12．（5分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B 为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．
三、解答题（共5小题，满分60分）
13．（12分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：
（1）两面涂有红色的小正方体的个数；
（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；
（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．14．（12分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．
15．（12分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．求：（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
（2）用k表示B点的坐标；
（3）当k取何值时，∠ABC=60°？
16．（12分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．
（1）求证：RQ是⊙O的切线；
（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；
（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．
17．（12分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．
2011年北京四中自主招生考试数学试卷
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）
1．D；2．C；3．A；4．B；5．C；6．B；
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
7．（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）；8．6；9．15°或75°；10．2008；11．2；12．9π；
三、解答题（共5小题，满分60分）
13．；14．；15．；16．；17．；。