概率统计及随机过程：3.1 二维随机变量及其分布 (2)
31二维随机变量及其分布函数PPT课件
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3.说明
几何上, z f (x, y) 表示空间的一个曲面.
f (x, y) d x d y 1,
表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f (x, y) d x d y G
P{( X ,Y ) G}的值等于以G为底 ,以曲面z f (x, y) 为顶面的柱体体积.
实际中，有些随机试验的结果要用两个或
两个以上的随机变量来描述。例如: 砖的质量
指标：抗压强度，抗折强度；儿童发育指标：
身高，体重，胸围等；衡量企业经济效益的指
标：劳动生产率，资金产值率等。 飞机的重
心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）
来确定的等等.
2
第3.1节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
则称( X ,Y )服从参数为μ1 , μ2 , σ1 , σ2 , ρ的二维
正态分布 .记为
(X
,Y
)
~
N ( μ1,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ)
34
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
记为G
(G1 e3) (1 e8) ；
G
P(XY) P(( X ,Y )G ) f ( x, y)dxdy
12
dx
概率论之二维随机变量及其分布
2
arctan
y 4
(2) P(3<<+，0<4)
=F(+，4)-F(+，0) -F(3，4) +F(3，0)
1. 16
3、二维随机变量的概率分布
1）离散型随机变量
如果二维随机变量(，)是在有限个或无限可列 个点(xi，yj)上取值（i，j=1，2，…）。则称(，)为
离散型随机变量。 并称
P{ =xi， =yj}=pij i，j=1，2，… 为二维离散型随机变量(，)的概率分布或分布律， 或称二维型离散随机变量(，)的联合分布律。
2）性质
二维分布函数F(x，y)具有下述性质：
(1) F(x，y)是x、y的单调不减函数.即对任意固定 的y，当x2>x1时，F(x2，y) ≥F(x1，y)，对任意固 定的x，当y2>y1时，F(x，y2)≥F(x，y1)；
(2)F(x，y)关于x、y均是右连续的，即
F(x，y)=F(x+0，y)，F(x，y)=F(x，y+0)；
j 1,2,
例5 一盒中装有三只正品和两只次品的某种产品， 现随机地抽取两次，每次抽取一种产品，记
1, 0,
第一次取出的是正品， 第一次取出的是次品。
1, 0,
第二次取出的是正品， 第二次取出的是次品。
试就有放回、无放回情形考察(，)的分布。
(1) 有放回情形
的分布
0
1
pi
0 22 32
2
55 55 5
xy
F ( x, y)
p(u, v)dudv
则称(，)是连续型二维随机变量，函数p(x，y)称 为二维随机变量(，)的概率密度，或称随机变量
概率论与数理统计-第五章 二维随机变量及其分布
注：满足上述性质1~4的二元函数 可作为某个二维随机变量的分布函 数。
0 x y 0 例1.1 二元函数 F ( x, y) 1 x y 0 可否为某个二维随机变量的分布函数。
解：取 1 y1 0, x2 y2 1，则 x F (0,0) 0，F (1,0) 1，F (0,1) 1，F (1,1) 1
( x2 , y1 )
x1
x2
x
3、二维随机变量的分布函数性质
性质1 F(x,y)是变量x和y的不减函数。
即x1 x2 , F ( x1 , y) F ( x2 , y) y1 y2 , F ( x, y1 ) F ( x,)
p31 P X 3, Y 1 P X 3P 1 X 3 Y
Y X 1 2 3
P{XY}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}
1
2
3
+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1}
0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0
+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}
(1)当x<0或y<0时
F ( x , y)
x x
y
y
f ( s, t )dsdt
1
(3) (2)
(5)
y
0dsdt 0
(2)当0x<1, 0y<1时
F ( x , y)
x x
(1) y
(4)
y
f ( s, t )dsdt
0
x
1
x
(1)
二维随机变量及其概率分布
定义：设Ω是某试验的样本空间，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在Ω 上的两个随机变量，称随机变量对(X,Y)为二维随机变量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关，且还依赖于 X和Y的相互关系，因此, 必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此, 首先需要引入二维随机变量(X,Y)的分布函数的概念。
因此，对任意实数x，研究形如 PX x Y y 的条件概率就很重要。
注意，对连续型r.v.,有P{Y=y}=0，上述条件概率无意义。为 此，设Y在区间(y-Δy,y)内概率不为零，此时条件概率
PX x y y Y y
便有意义,如果当Δy→0时,此条件极限
存在，则将此极限定义为 PX x Y y ,并称为X的条件分布函数。
1
2
21
22
2 j
2
p
i1
p
i2
p p
j ij
1
p
1
p
2
应用见p99例4，p102习题2
三、独立性
X Y
两个随机变量独立是指它们所代表的随机事件彼此独立。
定义：设F x , y , F x , F y 分别为X和Y的联合分布律和边缘分 布律， 如果对任意实数x , y，有 F x , y F x F y
p
P Y y P X , Y y p p
j x i ij i
j
ij
分布律及边缘分布的表格形式 →
Y X x x x p
j i 1
y p p
1
y p p
2
y p p
二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。
概率论与数理统计：c3_1 二维随机变量及其分布
例3.1.8
命题 3 .1 .1 若 X , Y ～ N 1 , 1 2 ; 2 , 2 2 ; 则
X
~
N
1
,
2 1
Y
~
N
2
,
2 2
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16
例：炮弹发射试验
炮弹在地面的命中点位置要由两个随 机变量( X , Y )来确定。
飞机在空中飞行的位置由三个随机变 量( X , Y, Z )来确定。
3 若f x , y在x , y处 连续 。 则
2Fx, y
f x, y
xy
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二维随机变量及其分布
4 若G R2 , 有
p X ,Y G f x, y dxdy
5
x
,
y的
边
缘
概
率
G
密
度
为
fX x
f x , ydy
fY y
f x , ydx
证：FX x F x ,
定义：对任意实数对 ( x , y ) ∈R2 记
{ X ≤ x , Y ≤ y } = { X ≤ x } ∩{ Y ≤ y }
称二元函数
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
为( X , Y ) 的联合分布函数.
一维随机变量 X、Y 的分布函数FX(x)与 FY(y)称
为( X, Y ) 的边缘分布函数。
X
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解：
fY
y
f
x,
y
dx
0 y0
1
1 y
2
x
2
dx y
0 y1
1
y
2
概率统计及随机过程：3.1 二维随机变量及其分布 (2)
例1 设
F
(x,
y)
0, 1,
x y 1 x y 1
讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布
函数？
y
解 F (2,2) F (0,2) (0,2)•
•(2,2)
F (2,0) F (0,0)
111 0 1
(0,0)•
•(2,0) x
故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数
22
解令 D (x, y) 0 x y, 0 y 1
(1) f (x, y)dxdy 1
f (x, y)dxdy 1
D
1
y
0 dy0 kxydx
k
1
0
y
y2 2
dy
k 8
k 8
y D
1
0
y=x x
23
(2) P( X Y 1)
1
y
dy 8xydx 0.5 1 y
5 6
y
1
y=x
0
0.5
x
yy 11
0.5 00
y y==x x xx
P( X 0.5)
0.5
1
0 dxx8xydy
7
16
24
(3)
F ( x,
y)
PX
x,Y
y
xy
f
(u, v)dvdu
当 x < 0 或 y < 0 时， v
F (x,y) = 0 当 0 x < 1, 0 y < x时 1
第三章 二维随机变量及其分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两 个或两个以上的随机变量来描述. 例如用温度和 风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷 量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机变量 之间的联系, 就需考虑若干个随机变量, 即多维 随机变量及其取值规律——多维分布.
107504-概率统计随机过程课件-第三章(第一,二节)
第三章二维随机变量引入二维随机变量目的、用处: 在第二章中,我们讨论了用一个随机变量描述试验结果以及随机变量的概率分布问题.但在实际和理论研究中,有许多随机试验,仅用一个随机变量描述不够用.需要引入二维、三维、n维随机变量描述其规律性.例如,对平面上的点目标进行射击,弹着点A的位置需要用横坐标X和纵坐标Y才能确定.由于X和Y 的取值都是随着试验结果而变化.因此X和Y都是随机变量, 弹着点A 的位置是)X.,(Y又如空中飞行的飞机(其重心)需要用三个随机变量Z,才能确X,Y定它的位置.等等.因此需要考虑多个随机变量及其取值规律问题.定义:设试验E 的样本空间为}{e S =,而)(e X X i i =是定义在}{e S =上的随机变量,n i ,,2,1⋅⋅⋅=,把n 个随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅构成的有序随机变量组),,,(21n X X X ⋅⋅⋅称为n 维随机变量(或n维随机向量);对任意实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，函数),,,(21nx x x F ⋅⋅⋅},,,{2211nn x X x X x X P ≤⋅⋅⋅≤≤= 称为n 维随机变量),,,(21n X X X ⋅⋅⋅的分布函数或称为n 个随机变量nX X X ,,,21⋅⋅⋅的联合分布函数.第一节 随机向量与联合分布一. 定义和基本性质定义1 设试验E 的样本空间为}{e S =,而)(),(e Y Y e X X ==是定义在}{e S =上的两个随机变量.称由这两个随机变量组成的向量),(Y X 为二维随机变量或二维随机向量.例如 掷两颗骰子,观察出现的点数.设X 为第一颗骰子出现的点数,Y 为第二颗骰子出现的点数,Y X ,为定义在}6,,2,1,|),{(⋅⋅⋅==j i j i S上的两个随机变量,),(Y X 为二维随机变量,它描述了掷两颗骰子出现的点数情况.对任意实数y x ,,随机事件})(,)(|{},{y e Y x e X S e y Y x X ≤≤∈=≤≤有概率.定义 2 设),(Y X 为二维随机变量, 对任意实数y x ,,二元函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=})(,)(|{y e Y x e X S e P ≤≤∈=,称为二维随机变量),(Y X 的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.记},|),{(y v x u v u D ≤≤=，则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=}),{(D Y X P ∈=分布函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=的性质：),(y x F 的定义域+∞<<∞-x ，+∞<<∞-y ；（1）1),(0≤≤y x F ，且},{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F x F y y ≤≤==-∞-∞→-∞→ 0)(==φP ，0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞→-∞→y Y x X P y x F y F x x 0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞-∞→-∞→-∞→-∞→y Y x X P y x F F y x y x },{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F F y x y x ≤≤==+∞+∞+∞→+∞→+∞→+∞→ 1)(==S P ；（2）),(y x F 对x 或对y 单调不减，即 ),(),(2121y x F y x F x x ≤⇒<，（由},{},{21y Y x X y Y x X ≤≤⊂≤≤及概率的单调性），),(),(2121y x F y x F y y ≤⇒<；（3）),(y x F 对x 或对y 右连续，即有),(),(lim ),(0y x F y x x F y x F x =∆+=+→∆+，),(),(lim ),(0y x F y y x F y x F y =∆+=+→∆+； （4）对任意实数2121,y y x x <<有},{02121y Y y x X x P ≤<≤<≤ ),(),(),(),(12211122y x F y x F y x F y x F --+=， 事实上},{2121y Y y x X x ≤<≤<},{22y Y x X ≤≤= },({21y Y x X ≤≤-}),{121y Y x X x ≤≤<+，},{2121y Y y x X x P ≤<≤< },{22y Y x X P ≤≤= },{(21y Y x X P ≤≤-}),{121y Y x X x P ≤≤<+ )),(),((),(),(11122122y x F y x F y x F y x F ---= ),(),(),(),(12211122y x F y x F y x F y x F --+=.可以证明:凡满足上述性质)4(~)1(的二元函数),(y x F 必定是某个二维随机变量的分布函数.例1 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为)2arctan )(arctan (),(y c x b a y x F ++=, (1) 确定常数c b a ,,;(2) 求}0,0{>>Y X P .解(1) 利用分布函数的性质)2)(2(),(1ππ++=+∞+∞=c b a F , )2)(arctan (),(0π-+=-∞=c x b a x F ,由x 的任意性得,0)2(=-πc , 2π=c , )2arctan )(2(),(0y c b a y F +-=-∞=π,由y 的任意性得,0)2(=-πb , ,2π=b 从而21π=a ,2π=b ;(2) }0,0{}0,0{+∞<<+∞<<=>>Y X P Y X P)0,(),0()0,0(),(+∞-+∞-++∞+∞=F F F F4121212211222=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+=πππππππππ. 例2设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧>>--=--其它,00,0),)((),(2y x e b e a y x F y x , (1) 确定常数b a ,;(2) 求}2,0{≤>Y X P .解 (1) 利用分布函数的性质b a F ⋅=+∞+∞=),(1,))(1(),(lim ),0(00y x e b a y x F y F -→--===+, 由0>y 的任意性,得 1,01==-a a ,所以 1,1==b a ;(2)}2,0{}2,0{≤<-∞+∞<<=≤>Y X P Y X P),()2,0(),0()2,(-∞+∞---∞++∞=F F F F000)1(12----⋅=-e 21--=e .二. 二维离散型随机变量定义 3 若二维随机变量()Y X ,的所有取值为有限对或可列对⋅⋅⋅=,2,1,),,(j i y x j i ,则称()Y X ,是离散型随机变量.记{},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ijj i 称它为二维离散型随机变量()Y X ,的(概率)分布律,或称为X 和Y 的联合(概率)分布律.分布律的表示法:(1)公式法,(2)列表法.例如 随机变量()Y X ,的分布律为二维离散型随机变量()Y X ,的(概率)分布律具有下列基本性质:(1){},,2,1,,0, =≥===j i y Y x X P p ji ij (2)1,=∑j i ijp .利用分布律可计算概率定理 设()Y X ,的分布律为{},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij j i则随机点()Y X ,落在平面上任一区域D 内的概率为∑∈=∈D y x ijj i p D Y X P ),(}),{(, 其中和式是对所有使D y x ji ∈),(的j i ,求和;特别有},{),(y Y x X P y x F ≤≤= }),{(D Y X P ∈=∑∈=D y x ijj i p ),(∑≤≤=y y x x ij j i p.例1 甲、乙两盒内均有3只晶体管,其中甲盒内有1只正品,2只次品; 乙盒内有2只正品,1只次品.第一次从甲盒内随机取出2只管子放入乙盒内; 第二次从乙盒内随机取出2只管子.以Y X ,分别表示第一、二次取出的正品管子的数目. 试求),(Y X 的分布律以及},),{(D Y X P ∈其中}2|),{(:22≥+y x y x D .解 根据题意知,X 的可能取值为0,1;Y 的可能取值为0,1,2.因此, ),(Y X 的可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2).),(Y X 是离散型随机变量.}0{=X 表示从甲盒内取出2只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有2只正品,3只次品,利用乘法公式可得}0|0{}0{}0,0{==⋅====X Y P X P Y X P30325232322=⋅=C C C C , }0|1{}0{}1,0{==⋅====X Y P X P Y X P3062513122322=⋅=C C C C C , }0|2{}0{}2,0{==⋅====X Y P X P Y X P30125222322=⋅=C C C C , }1{=X 表示从甲盒内取出1只正品和1只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有3只正品,2只次品,利用乘法公式可得}1|0{}1{}0,1{==⋅====X Y P X P Y X P3022522231211=⋅=C C C C C , }1|1{}1{}1,1{==⋅====X Y P X P Y X P3012251312231211=⋅=C C C C C C , }1|2{}1{}2,1{==⋅====X Y P X P Y X P3062523231211=⋅=C C C C C , 于是得),(Y X 的分布律为}),{(D Y X P ∈}2,0{===Y X P}2,1{}1,1{==+==+Y X P Y X P30193063012301=++= . 例2 某射手在射击中,每次击中目标的概率为)10(<<p p ,射击进行到第二次击中目标为止,X 表示第一次击中目标时所进行的射击次数, Y 表示第二次击中目标时所进行的射击次数,试求二维随机变量),(Y X 的分布律.解 设=kA 第k 次射击时击中目标, 根据题意,p A P k=)(,⋅⋅⋅=,2,1k , 且⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21kA A A 相互独立, jj i i i A A A A A A j Y i X 1111},{-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅===, 所以),(Y X 的分布律为},{j Y i X P ==)()()()()()(1111j j i i i A P A P A P A P A P A P -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=22)1(--=j p p ,1,,2,1-⋅⋅⋅=j i ;⋅⋅⋅=,3,2j .例 3 接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现点数大于2为止, 以X 表示掷骰子的次数.以Y 表示最后一次掷出的点数.求二维随机变量),(Y X 的分布律.解 依题意知,X 的可能取值为⋅⋅⋅,3,2,1;Y 的可能取值为3,4,5,6 设=kB 第k 次掷时出1点或2点,=kj A 第k 次掷时出j 点, 则62)(=kB P ,61)(=kj A P , S A A A A B k k k k k =++++6543,===},{j Y i X “掷骰子i 次,最后一次掷出j 点,前)1(-i 次掷出1点或2点”ij i A B B 11-⋅⋅⋅=,(各次掷骰子出现的点数相互独立)于是),(Y X 的分布律为11)31(6161)62(},{--⋅=⋅===i i j Y i X P , ⋅⋅⋅=,2,1i ,6,5,4,3=j .(例如11)31(6161)62(}3,{--⋅=⋅===i j Y i X P )三. 二维连续型随机变量定义 4 设二维随机变量()Y X ,的分布函数为()y x F ,,若有非负可积函数()y x f ,,使得对任意实数y x ,,恒有()dudv v u f y x F y x⎰⎰∞-∞-=,),( ⎰⎰≤≤=yv x u dudv v u f ),( ,则称()Y X ,是二维连续型随机变量,称函数()y x f ,为连续型随机变量()Y X ,的概率密度, 或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度.()Y X ,的概率密度()y x f ,具有下列基本性质:(1) ()0,≥y x f , +∞<<∞-y x , ;(2) ()1),(,=+∞+∞=⎰⎰+∞∞-+∞∞-F dxdy y x f . 反之,可以证明,若二元函数()y x f ,满足上面两条基本性质,那么它一定是某个二维随机变量()Y X ,的概率密度.显然,如果概率密度()y x f ,在点()y x ,处连续,则有()y x f y x F ,2=∂∂∂ . 利用概率密度计算概率定理 设()Y X ,的概率密度为()y x f ,,则有(1)⎰⎰=≤<≤<b a d cdydx y x f d Y c b X a P ),(},{,(2)设D 为平面上任一区域, ⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{( .例 3 设二维随机变量()Y X ,具有概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它,00,20,),(2y x ae y x f y, (1)确定常数a ;(2)求分布函数),(y x F ;(3)求}{X Y P ≤解（1）由概率密度的性质()dy ae dx dxdy y x f y⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞-+∞∞-==0220,1a a e a y =⋅=-=∞+-212|)21(202， 即得1=a ；（2）()dudv v u f y x F y x⎰⎰∞-∞-=,),( ， （A ）当0,20>≤≤y x 时，dv e du y x F y vx ⎰⎰-=020),()1(2|)21(202yy v e x e x ---=-= ， （B ）当0,2>>y x 时dv e du y x F y v⎰⎰-=0220),( )1(|)21(2202yy v e e ---=-=， （C ）当0<x 或0≤y 时，对y v x u ≤≤,有0),(=v u f ，()0,),(==⎰⎰∞-∞-dudv v u f y x F y x于是得所求分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->≤≤-=--其它,00,2),1(0,20),1(2),(22y x e y x e x y x F yy ；（3）设}|),{(x y y x D ≤=，}0,20|),{(1x y x y x D ≤≤≤≤=， }),{(}{D Y X P X Y P ∈=≤⎰⎰=D dxdy y x f ),(⎰⎰=1),(D dxdy y x f dx e dy e dx xx y )1(212200220---==⎰⎰⎰ )21212(21|)21(214202-+=+=--e e x x )3(414-+=e . 四. 常用的二维连续型随机变量有下面两种:(1)均匀分布若随机变量()Y X ,概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1,D y x A y x f ,其中A 为有界区域D 的面积.则称()Y X ,在区域D 上服从均匀分布. 记为())(~,D U Y X .(2)二维正态分布若随机变量()Y X ,概率密度为),(y x f 221121ρσπσ-=2112[)1(21exp{⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅σμρx 22112σμσμρ---y x ]}222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+σμy 其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且 +∞<<∞-1μ,+∞<<∞-2μ 1||,0,021<>>ρσσ,则称随机变量()Y X ,服从参数为ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布,记作 );,;,(~),(222211ρσμσμN Y X . 上述五个参数的意义将在第五章中说明.第二节 边沿分布函数(或边缘分布函数)概念:设随机变量()Y X ,的分布函数为),(y x F ,分量X 的分布函数记为)(x F X ,称)(x F X 为()Y X ,关于X 的边沿分布函数; 分量Y 的分布函数记为)(y F Y , 称)(y F Y 为()Y X ,关于Y 的边沿分布函数.边沿分布函数的计算公式:},{}{)(+∞<≤=≤=Y x X P x X P x F X},{lim y Y x X P y ≤≤=+∞→ ),(lim y x F y +∞→=),(+∞=x F , },{}{)(y Y X P y Y P y F Y≤+∞<=≤= },{lim y Y x X P x ≤≤=+∞→),(lim y x F x +∞→= ),(y F +∞=.已知联合分布函数),(y x F ,可以计算出边沿分布函数)(),(y F x F Y X ;但由Y X ,的分布函数)(),(y F x F YX ,一般无法确定联合分布函数),(y x F .例1设二维随机变量()Y X ,的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->≤≤-=--其它,00,2),1(0,20),1(2),(22y x e y x e xy x F yy , 求()Y X ,关于X 和关于Y 的边沿分布函数.解 ()Y X ,关于X 的边沿分布函数)(x F X ),(lim ),(y x F x F y +∞→=+∞= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-≤≤=-<==-+∞→-+∞→+∞→2,1)1(lim 20,2)1(2lim 0,00lim 22x e x x e x x yy y y y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,2,0x x x x ;()Y X ,关于Y 的边沿分布函数)(y F Y ),(lim ),(y x F y F x +∞→=+∞= ⎩⎨⎧>-=-≤==--+∞→+∞→0,1)1(lim 0,00lim 22y e e y y y x x ⎩⎨⎧>-≤=-0,10,02y e y y.。
大学课程概率论与数理统计3.1二维随机变量及其分布课件
x2
,
y
2
y 1
x
0
x2
x1
（图2）
•事实上，由图2可看出关系式
X
x2,Y
y 2
x1
X
x2,
y Y 1
y 2
X
x2,Y
y 1
X
x1,Y
y 2
X
x1,Y
y 1
则
P
X
x2 ,Y
y 2
P
x1
X
x2 ,
y Y 1
y 2
P
X
x2,Y
பைடு நூலகம்
y 1
P
X
x1,Y
y 2
P
X
x1,Y
46
3
解：P(0 X π , π Y π )
Y
46
3
3
F( π , π ) F( π , π ) F(0, π ) F(0, π )
6
43 ππ
46 ππ
3 π
6 π0
X
4
sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin
43 46
3
6
1 ( 6 2) 4
引例二
0
炮弹命中点的平面位 置要由水平距离X和 垂直距离Y来确定， 则炮弹命中点的平面 Y 位置（X,Y)也是二维 随机变量.
x, y X
引例三
•一炉钢的综合质量至少要由钢的硬 度(X),含碳量(Y),含硫量(Z)等多个 变量来描述，则一炉钢的综合质量 至少要用三维随机变量（X,Y,Z）来 表示.
F (1,1) F(1,1) F (1,1) F (1,1)
111 0 1 矛盾
《概率论与数理统计》第一节二维随机变量及其分布
( x，y)
Ae (2 x3 y) ,
0,
x 0, 其它.
y
ห้องสมุดไป่ตู้
0，
求：(1)常数A；(2) (X, Y)的分布函数F(x, y)； (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2x+3y6内的概率.
解：(1)
f ( x, y)dxdy
Ae (2 x3 y)dxdy
00
A
e2 xdx
0
e3 ydy
0
A 3
e2xdx
0
A 3
(
1 2
e
2
x
)
0
A， 6
A 6
1，
A
6.
(2) ( X ,Y )的分布函数为：
F(x, y)
x
y
f
(u,
v
)dudv
x y 6e(2u3v)dudv,
00
0,
x 0, y 0, 其它.
(1
e2 0,
x
)(1
e3
注： P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F( x2，y2 ) F( x1，y2 ) F( x2，y1 ) F( x1，y1 ).
3. 分布函数F(x, y)的性质：
(1)非负规范： 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, 且
F (, ) lim F ( x, y) 1，F (, ) lim F ( x, y) 0，
XY 0 1
0 0.3 0.3
1 0.3 0.1 若把不放回改为有放回的摸球，则( X ,Y )的分布律为：
XY 0 1
0 0.36 0.24
1 0.24 0.16
概率论与数理统计— 二维随机变量及边缘分布
4
42
6
7 3
42
7
3
1
7
边缘分布
三、连续型随机变量的边缘分布
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f ( x, y), 由于
x
FX ( x) F ( x,)
[ f ( x, y)d y]d x,
记
fX ( x)
f (x, y)d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。07:4 0:0407: 40:0407 :4012/ 13/2020 7:40:04 AM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 307:40: 0407:4 0Dec-20 13-Dec-20
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
p11 p21 pi1
p12 p22 pi 2
p1 j p2 j pij
例1 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一
3. 二维连续型随机变量的概率密度
yx
F ( x, y)
f (u,v) dudv.
第二节 边缘分布
一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
概率论与数理统计 二维随机变量及其分布PPT课件
1
y
kxydxdy 0 dy0 kxydx
D
1 y2
k
k 0 y 2 dy 8 1
第14页/共40页
0
k 8
y= x
x
(2) P( 1)
8xydxdy x y1
1
y
dy 8xydx
0.5
1 y
y 5/6.
yy
11
0.5 00
y =yx= x xx
1
y=x
P( 0.5)
0
0.5
（2）fξ(x) （3）fη(y) 解： （2）
f (x)
f (x, y)dy
x
1dy
0
x
0 其他
x
1
2x 0
0 x 1 其他
back
第30页/共40页
例题7 1.(ξη)～U(G) ，G＝{0<x<1,|y|<x}, 求（1）f(x,y)
（2）fξ(x) （3）fη(y) 解： （3）
f ( y)
xy
F (x, y) f (u,v)dvdu
第10页/共40页
联合密度函数性质
二、联合密度函数性质
(1) f (x, y) 0
(2)
f (x, y)dxdy 1
(3)P(( ,) D) f (x, y)dxdy
D
(4)F (x, y)为连续函数，且在f (x, y)的边续点处有
求（1）(ξ,η)的分布律
（2）P(ξ≥ξη)η 1
2
解: (2)
1
0
1/3
P(ξ≥η) 2
1/3 1/3
=P(ξ=1,η=1)+P(ξ=2,η=1)+ P(ξ=2,η=2)bac=k2/3
概率论与数理统计 二维随机变量及其分布 课件
即得 X 和 Y 的联合分布律为
P { X m , Y n} p q
2 n2
( n 2)个
,
其中q 1 p, n 2,3,; m 1,2,, n 1. 现在求条件分布律。
P { X m Y n }, P {Y n X m },
由于
P{ X m }
8 3 , 2 14 8 1 , 2 28 8 9 , 2 28 8 3 . 2 28
故所求分布律为
X
0 1 2
Y
0
3 28
9 28
3 281 23 14Fra bibliotek1 28
3 14
0
0
0
3.2.2 边缘分布律与条件分布律
4 7
3 7
注意
联合分布
边缘分布
2. 条件分布律
二维离散型随机变量中一个随机变量取值 受另一个随机变量影响的概率分布规律称为条 件分布律。 如果p· j>0,考虑条件概率
P{ X xi Y y j } P { X xi ,Y y j } P {Y y j } p ij p j
设(X,Y)的密度函数为f(x,y)，那么对任意 实数a,b(a<b)，总有
P {a X b} P {a X b , Y }
[
a
b
f ( x , y ) d y]d x ,
且
f ( x, y)d y 0
， f ( x , y ) d y 1,
P {Y y j }
i
p i j p j , j 1, 2 ,
概率论与数理统计：二维随机变量
二维随机变量一、 二维随机变量及分布函数1定义:由随机变量,X Y 构成的有序数),(Y X ，称),(Y X 为二维随机变量或二维随机向量.注：(),X Y 在几何上，二维随机变量可看作平面上的随机点的坐标． 2定义:设),(Y X 是二维随机变量, 对任意实数y x ,, 二元函数称为二维随机变量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数. 3二元分布函数的几何意义4随机点(,)X Y 落在矩形区域: 1212,x X x y Y y <≤<≤内的概率为1212{,}P x X x y Y y <≤<≤＝22122111(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y --+ 5分布函数(,)F x y 的性质:（1） ,1),(0≤≤y x F 且对任意固定的,y ,0),(=-∞y F 对任意固定的,0),(,=-∞x F x(2) ),(y x F 关于x 和y 均为单调不减函数, 即对任意固定的,y 当),,(),(,1212y x F y x F x x ≥>对任意固定的,x 当);,(),(,1212y x F y x F y y ≥>(3) ),(y x F 关于x 和y 均为右连续, 即 ).0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F4（）对任意的 11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<有注：上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数。
具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数．破坏之一，则不是。
二、 二维离散型随机变量及其概率分布1定义：若二维随机变量),(Y X 只取有限对或可数对值, 则称),(Y X 为二维离散型随机变量.结论：),(Y X 为二维离散型随机变量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量. 2定义：若二维离散型随机变量),(Y X 所有可能的取值为),(j i y x ,,2,1, =j i 则称 为二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布(分布律), 或Y X 与的联合概率分布(分布律).有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 3二维离散型随机变量联合分布律的性质：1)()()12i j i j =对任意的，，，，，{}0ij i j p P X x Y y ===≥，2)1ij i j p =∑，4二维离散型随机变量的联合分布函数设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为()12ij p i j =，，，于是，(,)X Y 的联合分布函数为(,){, }F x y P X x Y y =≤≤=注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定),(Y X 取值于任何区域D 上的概率，即∑∈=∈D y x ijj i p D Y X P ),(}),{(,特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数:例1:从一只装有3只黑球和2只白球的口袋中取球两次，每次任取一只，不放回，令0,1, ,X ⎧=⎨⎩第一次取出白球第一次取出黑球, 0,1, ,Y ⎧=⎨⎩第二次取出白球第二次取出黑球求),(Y X 的概率分布．解 ),(Y X 的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),例2：设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量k X 定义如下：0,(1,2)1,k Y k X k Y k ≤⎧==⎨>⎩求12X X 和的联合概率分布.解：Y 的分布函数为1,0()0,0y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩ 所以12,X X 的联合概率分布为三、二维连续型随机变量及其概率密度1定义：设),(Y X 为二维随机变量,),(y x F 为其分布函数, 若存在一个非负的二元函数),(y x f , 使对任意实数),(y x , 有 (,)(,),yx F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰则称),(Y X 为二维连续型随机变量, 并称),(y x f 为),(Y X 的概率密度(密度函数), 或Y X ,的联合概率密度(联合密度函数). 2概率密度函数),(y x f 的性质:(3) 设G 是xOy 平面上的区域,点),(Y X 落入G 内的概率为(4) 若),(y x f 在点),(y x 连续, 则有 ).,(),(2y x f yx y x F =∂∂∂ 3在几何上(,)z f x y =表示空间的一个曲面，{(,)}P x y G ∈的值等于以 G 为底，以曲面(,)z f x y =为顶的柱体体积四、二维均匀分布设G 是平面上的有界区域,其面积为A .若二维随机变量),(Y X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1),(G y x A y x f ，则称),(Y X 在G 上服从均匀分布. 例3：设二维随机变量),(Y X 的密度函数为()200,0x yke x y f x y --⎧>>=⎨⎩，其它⑴求常数k ；(2)分布函数(),F x y (3){}11P X Y ><， {}(4)0102P X Y <<<<求， (5) {}P X Y <解：（1）()1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，200x y k e dxdy +∞+∞--=⎰⎰ (){}(2)F x y P X x Y y =≤≤，，, ()000x y F x y ≤≤=当或时，，。
统计学4二维随机变量及其分布公式整理
密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。 分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
（1） f(x,y)≥0;
（2） f (x, y)dxdy 1.
（2）二维 随机变量 的本质 （3）联合 分布函数
( X x,Y y) (X x Y y)
2 分布满足可加性：设
Yi 2 (ni ),
则
k
Z Yi ~ 2 (n1 n2 nk ). i 1
t 分布 F 分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且
X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n),
可以证明函数
T X Y /n
的概率密度为
f (t)
n
2
1
n
n 2
X 的边缘分布密度为
f X (x)
f (x, y)dy；
Y 的边缘分布密度为
fY ( y)
f (x, y)dx.
（ 6 ） 条 件 离散型 分布
在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为
P(Y
yj
|
X
xi )
pij pi
；
在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为
P(X
xi
F (x, y) F (x 0, y), F (x, y) F (x, y 0);
（4） F (,) F (, y) F (x,) 0, F (,) 1.
（5）对于 x1 x2，y1 y2，
F (x2，y2 ) F (x2，y1 ) F (x1，y2 ) F (x1，y1 ) 0 .
|Y
yj)
pij p j
,
连续型
概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的概念
联合分布函数F(x,y)有如下的性质：
1. 0 F ( x , y) 1
2. F ( x , y) 关于x、关于y单调不减；
3. F ( x , y) 关于x、关于y右连续
F ( x , y ) 0 lim F ( x , y ) 0 F ( x , y ) 0 , lim F ( x , y ) 1 ylim 4. xlim x x
f ( x, y)dx e x y dx e y
0
一、二维连续型随机变量概念
(4)
f ( x, y ) f X Y ( x y) fY ( y )
f ( x, y ) fY X ( y x ) f X ( x)
=
e x
e y
=
(5)
f ( x, y) e x y f X ( x) fY ( y)
定义8 称
f X ( x) f ( x , y)dy ( x )
为X的边缘密度函数。
称
f Y ( y) f ( x , y)dx ( y )
为Y的边缘密度函数。
一、二维连续型随机变量概念
定义9 度,称 称
f X Y ( x y) f ( x, y ) fY ( y )
的分布函数。
FZ1 ( z)
FY ( z)
三、常见的二维连续型随机变量 的联合分布
1.二维均匀分布 如果(X,Y)的联合密度函数为
1 ， （x , y ) G; f ( x , y ) G的面积 0 ， 其他，
其中G是平面上某个区域，则称二维随机变量(X,Y)服从 区域G上的均匀分布,记为 ( X , Y ) ~ U (G)
概率论与数理统计-第3章-第2讲-二维离散型随机变量及其分布
02 联合分布律 已知联合分布律可以求概率
P X ,Y G pij xi , y j G
y
G
0
x
8
本讲内容
01 二维离散型随机变量 02 联合分布律 03 二维离散型随机变量的边缘分布律
9
03 二维离散型随机变量的边缘分布律 3.二维离散型随机变量的边缘分布律
记作
P( X xi ) pij pi•, i 1, 2, j
Y
X
0
100
100
0.20 0.10
250
0.05 0.15
求概率
200 求边缘
X--车险的免赔额
0.20
Y--财险的免赔额
0.30
求概率
P{Y 100} 0.75.
P{X 100,Y 100} P{X 100,Y 200} P{X 250,Y 100} P{X 250,Y 200}
P{X Y 300} 0.55.
P{X 100,Y 0} P{X 100,Y 100} P{X 100,Y 200} P{X 250,Y 0}
12
03 二维离散型随机变量的边缘分布律
求边缘
Y
X
0
100
200
pi•
100
0.20
0.10
0.20
0.50
250
0.05
0.15
0.30
由此得 X , Y 的联合分布律为
X Y
0
1
0
0
0
6
1
0
35
1
6
2
35
35
2
3
3
2
35
35
12
3.1二维随机变量的概率分布
定 义 2 对 于 二 维 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 分 布 函 数 F ( x ,y ) , 如 果 存 在 非 负 函 数 f ( x ,y ) 使 对 于 任 意 x ,y 有
yx
F (x ,y ) f(x ,y )d x d y
P { x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 }
y1 O x1
x2 X
F(x2,y2)F(x1,y2) F(x2, y1)F(x1, y1)
P{Xx2,Yy2}
F ( x 2 , y 2 ) F ( x 2 0 , y 2 ) F ( x 2 , y 2 0 ) F ( x 2 0 , y 2 0 )
(X,Y)在D上取值且在D上分布均匀 (即密度为常数)，则称 (X,Y)在D上服从均匀分布.
显然在D上服从均匀分 布的二维随机变量(X,Y)的 密度函数（如图）为
f
(x,
y)
1 A
,
(x, y)D
D
0 , 其它
例 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔
的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔
数和红笔数,求( X,Y )的分布律.
解 ( X,Y ) 所取的可能值是
(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,2),( 2 , 0 )
故所求分布律为
P{Xi,Yj}
C
i 3
C
j 2
C
2 3
i
பைடு நூலகம்
j
C
2 8
(ij2 ,i,j0 ,1 ,2 )
XY 0 1 2
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99
3
1 00 0
27
15
(2) 由表可知 P(Y X ) 7 27 P(Y X ) 10 27
16
例4 把3 个红球和3 个白球等可能地放入编号为 1，2，3 的三个盒子中, 每盒容纳的球数无 限, 记 X 为落入1号盒的白球数, Y 为落入 1 号盒的红球数. 求( X ,Y )的联合分布律.
8
注意 对于二维随机变量
PX a,Y c 1 F(a,c)
(a,+)
PX a,Y c
y
P(a X ,c Y )
1 F (,c) F (a,) F (a,c)
c (a,c) a
(+,+)
(+,c)
x
9
二维离散型随机变量及其概率特性 定义 若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的
解 P( X i,Y j) P( X i)P(Y j X i)
C3i
1 3
i
2 3
3i
C3j
13
j
1
1
3
3
j
见下表
i, j 0,1,2,3
17
pij X 0 Y
123
0
8 8 4 8 2 8 1 8 27 27 9 27 9 27 27 27
1
8 4 44 24 1 4
P( X xi ,Y y j ) F (xi , y j ) F (xi , y j 0) F (xi 0, y j ) F (xi 0, y j 0)
i, j, 1,2,
12
例3 把三个球等可能地放入编号为1，2，3 的 三个盒子中，每盒容纳的球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数，Y 为落入 2 号盒的 球数，求
y (x, y)
x
4
联合分布函数的性质 0 F(x, y) 1 F(,) 1
F(,) 0
(,)
y
(,)
x
y (x, y)
x5Βιβλιοθήκη F (x,) 0 F(, ) 0
F (, y) 0
-
F(, ) 0
y
x
y
x
6
对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x,y1) F (x,y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2,y)
取值为有限多个或无穷可列多个, 则 称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量.
要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与 每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布 和边缘概率分布
10
联合概率分布
设( X ,Y )的所有可能的取值为
则称
(xi , y j ), i, j 1,2,
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
二维随机变量及其分布函数
定义 设为随机试验的样本空间，
一定法则 X (),Y() R2
则称二维向量( X , Y )为二维随机变量 或二维随机向量
讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性 其中每一个随机变量的概率特性与整体的 概率特性之间的关系
2
二维随机变量的联合分布函数
定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何 一对实数( x , y ), 事件
(X x) (Y y) (记为 X x,Y y) 的概率 PX x,Y y 定义了一个
二元实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，即
F(x, y) PX x,Y y
3
分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量
(X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的角形区域的概率
P( X i,Y j) P( X i)P(Y j X i)
C3i
1 3
i
2 3
3i
Cj 3i
1 2
j
1
1 2
3i
j
j 0,,3 i; i 0,1,2,3; 其联合分布如下表所示
14
pij X 0 1 2 3
Y
111 1
0
27 9 9 27
1
1 21 0
999
2
11 00
对每个变量右连续
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0) F (x0 , y0) = F (x0, y0 + 0 )
d
c
对于任意的a < b , c < d
a
b
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
事实上 F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) = P (a < X b , c < Y d)
为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布或联合 分布律，也简称概率分布或分布律
显然， pij 0, i, j 1,2,
pij 1
i1 j1
11
二维离散型随机变量的联合分布函数
F(x, y) pij , xi x y j y x , y
已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律
第三章 二维随机变量及其分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两 个或两个以上的随机变量来描述. 例如用温度和 风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷 量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机变量 之间的联系, 就需考虑若干个随机变量, 即多维 随机变量及其取值规律——多维分布.
1
§3.1 二维随机变量及其分布
27 9 9 9 9 9 27 9
2
8 2 42 22 1 2
27 9 9 9 9 9 27 9
3
8 1 4 1 2 1 1 1
27 9 9 27 9 27 27 27
18
二维连续型随机变量及其联合概率特性 定义 设二维随机变量( X ,Y )的分布函数为
7
例1 设
F
(x,
y)
0, 1,
x y 1 x y 1
讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布
函数？
y
解 F (2,2) F (0,2) (0,2)•
•(2,2)
F (2,0) F (0,0)
111 0 1
(0,0)•
•(2,0) x
故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数
(1) ( X , Y ) 的联合分布律； (2) P (X = Y ), P (Y > X );
解 联合分布律的求法：利用乘法公式
P( X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y yj X xi )
或
P(Y y j )P( X xi Y y j) 常用列表的方法给出
13
(1) 本例中，