概率统计及随机过程：3.1 二维随机变量及其分布 (2)

对每个变量右连续

F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0) F (x0 , y0) = F (x0, y0 + 0 )

d

c

对于任意的a < b , c < d

a

b

F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0

事实上 F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) = P (a < X b , c < Y d)
y (x, y)
x
4

联合分布函数的性质 0 F(x, y) 1 F(,) 1
F(,) 0
(,)

y

(,)

x
y (x, y)
x
5

F (x,) 0 F(, ) 0

F (, y) 0

-

F(, ) 0

y
x

y
x
6

对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x,y1) F (x,y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2,y)
取值为有限多个或无穷可列多个, 则 称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量.
要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与 每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布 和边缘概率分布
10

联合概率分布

设( X ,Y )的所有可能的取值为

则称

(xi , y j ), i, j 1,2,

P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
(1) ( X , Y ) 的联合分布律； (2) P (X = Y ), P (Y > X );
解 联合分布律的求法：利用乘法公式
P( X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y yj X xi )
或
P(Y y j )P( X xi Y y j) 常用列表的方法给出
13

(1) 本例中，

P( X i,Y j) P( X i)P(Y j X i)



C3i



1 3

i



2 3

3i



Cj 3i



1 2



j

1



1 2

3i




j

j 0,,3 i; i 0,1,2,3; 其联合分布如下表所示

14

pij X 0 1 2 3

Y

111 1

0

27 9 9 27

1

1 21 0

999

2

11 00

解 P( X i,Y j) P( X i)P(Y j X i)



C3i

1 3

i




2 3

3i




C3j



13

j

1



1

3


3

j

见下表

i, j 0,1,2,3

17

pij X 0 Y

123

0

8 8 4 8 2 8 1 8 27 27 9 27 9 27 27 27

1

8 4 44 24 1 4
二维随机变量及其分布函数
定义 设为随机试验的样本空间，
一定法则 X (),Y() R2
则称二维向量( X , Y )为二维随机变量 或二维随机向量
讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性 其中每一个随机变量的概率特性与整体的 概率特性之间的关系
2

二维随机变量的联合分布函数
定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何 一对实数( x , y ), 事件

27 9 9 9 9 9 27 9

2

8 2 42 22 1 2

27 9 9 9 9 9 27 9

3

8 1 4 1 2 1 1 1

27 9 9 27 9 27 27 27

18

二维连续型随机变量及其联合概率特性 定义 设二维随机变量( X ,Y )的分布函数为
7

例1 设

F

(x,

y)



0, 1,

x y 1 x y 1

讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布

函数？

y

解 F (2,2) F (0,2) (0,2)•
Baidu Nhomakorabea
•(2,2)

F (2,0) F (0,0)

111 0 1

(0,0)•

•(2,0) x

故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数
8

注意 对于二维随机变量

PX a,Y c 1 F(a,c)

(a,+)

PX a,Y c

y

P(a X ,c Y )

1 F (,c) F (a,) F (a,c)

c (a,c) a

(+,+)
(+,c)
x

9

二维离散型随机变量及其概率特性 定义 若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的
第三章 二维随机变量及其分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两 个或两个以上的随机变量来描述. 例如用温度和 风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷 量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机变量 之间的联系, 就需考虑若干个随机变量, 即多维 随机变量及其取值规律——多维分布.
1

§3.1 二维随机变量及其分布

为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布或联合 分布律，也简称概率分布或分布律

显然， pij 0, i, j 1,2,

pij 1
i1 j1
11

二维离散型随机变量的联合分布函数
F(x, y) pij , xi x y j y x , y
已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律
(X x) (Y y) (记为 X x,Y y) 的概率 PX x,Y y 定义了一个
二元实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，即
F(x, y) PX x,Y y
3

分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量
(X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的角形区域的概率
P( X xi ,Y y j ) F (xi , y j ) F (xi , y j 0) F (xi 0, y j ) F (xi 0, y j 0)
i, j, 1,2,
12

例3 把三个球等可能地放入编号为1，2，3 的 三个盒子中，每盒容纳的球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数，Y 为落入 2 号盒的 球数，求

99

3

1 00 0

27

15

(2) 由表可知 P(Y X ) 7 27 P(Y X ) 10 27
16

例4 把3 个红球和3 个白球等可能地放入编号为 1，2，3 的三个盒子中, 每盒容纳的球数无 限, 记 X 为落入1号盒的白球数, Y 为落入 1 号盒的红球数. 求( X ,Y )的联合分布律.