高中数学 1.3第9课时 函数的单调性课时作业 新人教A版

课时作业(九) 函数的单调性
A 组 基础巩固
1．下列结论中，正确的是( )
A ．函数y ＝kx (k 为常数，且k ＜0)在R 上是增函数
B ．函数y ＝x 2
在R 上是增函数
C ．函数y ＝1
x
在定义域内是减函数
D ．y ＝1
x
在(－∞，0)上是减函数
解析：A 不正确，当k ＞0时，函数y ＝kx 在R 上是增函数．B 不正确，函数y ＝x 2
在(0，＋∞)上是增函数．C 不正确，如－1＜1，但f (－1)＜f (1)．D 正确．
答案：D
2．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )
A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝1x
C ．f (x )＝|x |
D ．f (x )＝2x ＋1
解析：由题意可知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，结合四个选项可知B 正确． 答案：B
3．函数y ＝－x 2
＋2x －2的单调递减区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞)
解析：∵y ＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2
－1， ∴函数的单调递减区间是[1，＋∞)． 答案：B 4.
2014·济南高一检测若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝
a
x ＋1
在区间[1,2]上都是减函
数，则a 的取值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1]
B ．(－1,0)∪(0,1)
C ．(0,1)
D ．(0,1]
解析：f (x )＝－(x －a )2
＋a 2
，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝
a
x ＋1
，当a
＞0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0＜a ≤1.
答案：D 5．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞) C ．(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，所以2m ＞－m ＋9，即m ＞3.
答案：C
6.2014·洛阳高一检测函数f (x )＝4x 2
－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( )
A ．f (1)≥25 B．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D．f (1)＞25
解析：因为函数f (x )的对称轴为x ＝m
8
，
所以f (x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫m
8，＋∞上是增函数．
所以m
8
≤－2，∴m ≤－16.
则f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25. 答案：A
7．已知函数y ＝ax 和y ＝－b x
在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )
A ．减函数且f (0)＜0
B ．增函数且f (0)＜0
C ．减函数且f (0)＞0
D ．增函数且f (0)＞0
解析：∵y ＝ax 和y ＝－b x
在(0，＋∞)都是减函数，∴a ＜0，b ＜0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a ＜0，故选A.
答案：A
8．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，则x 的取值范围为__________．
解析：∵f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，∴x －2＜1－x ，∴x ＜3
2
，
即x 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，32. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，32 9．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为__________．
解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋3x ，x ＞0，x 2
－3x ，x ≤0，
作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32 10.2014·深圳高一检测证明：函数f (x )＝x ＋1
x
在(0,1)上为减函数．
证明：设0＜x 1＜x 2＜1，则
f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x 2
＝(x 1－x 2)＋
x 2－x 1x 1x 2
＝(x 1－x 2)⎝
⎛⎭⎪⎫
1－
1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－1x 1x 2
，
∵0＜x 1＜x 2＜1，
∴x 1x 2－1＜0，x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0. 即f (x 1)－f (x 2)＞0，f (x 1)＞f (x 2)．
∴f (x )＝x ＋1
x
在(0,1)上为减函数．
B 组 能力提升
11．下列关于函数单调性的说法，不正确的是( )
A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数
B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数
C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数
D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数
解析：∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定．例如f (x )
＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x
2
＋2为增函数；当g (x )＝－
3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数，∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性，故选C.
答案：C
12.2014·安庆高一检测若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝__________.
解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋a ，x ≥－a
2
，－2x －a ，x ＜－a
2
.
∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－a
2，＋∞，
∴－a
2
＝3，a ＝－6.
答案：－6
13．已知函数f (x )＝x 2
－2ax －3a 的取值范围．
解析：函数f (x )＝x 2
－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如右图所示．
由于图象可知函数在(－∞，a ]和(a ，＋∞)上分别单调，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上单调，只需a ≤1或a ≥2(其中当a ≤1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增；当a ≥2时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减)，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
14.2014·烟台高一检测作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．
解析：当x －2≥0，即x ≥2时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2
－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；
当x －2＜0，即x ＜2时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2
＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94
.
所以y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
－94
，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋94
，x ＜2.
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12，[2，
＋∞)是函数的单调增区间；⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2是函数的单调减区间． 15.附加题·选做
已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.
(1)求f (2)的值；
(2)解不等式f (m －2)≤3.
解析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.
(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数． ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m －2≥2，m －2＞0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。