2024年甘肃省武威市凉州区凉州区黄羊中学联片教研三模数学试题(解析版)

2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区黄羊中学联片教研
九年级数学第三次模拟考试试卷
一、选择题（共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】【分析】直接利用绝对值的性质化简，再利用相反数的性质得出答案．
【详解】解：，故的相反数是．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、相反数的性质，解题的关键是正确掌握相关性质．2. 数轴上，有理数a 、b 、-a 、c 的位置如图，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】【分析】根据数轴上a 、b 、-a 、c 的位置去掉绝对值符号，再进行运算即可．
【详解】解：由图可知，
∴，∴．故选：C ．【点睛】本题考查整式的加减，用数轴上的点表示有理数，绝对值的化简，解题关键是熟练掌握整式的加减法则和绝对值的性质．
3. 若关于x ，y 的方程组的解满足，则m 的最小整数解为（ ）A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0
2-2
-12-122
|2|2-=|2|-2-a c a b c b ++++-22a c
+22a b +22c b -0
0a b a c <<<-<000a c a b c b +>+<->，，a c a b c b
++++-a c a b c b
=+--+-22c b =-24232
x y x y m +=⎧⎨+=-+⎩32x y ->-
【答案】C
【解析】
【分析】方程组中的两个方程相减得出x -y =3m +2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，①-②得：x -y =3m +2，
∵关于x ，y 的方程组的解满足x -y ＞
-，∴3m +2＞-，解得：m ＞，∴m 的最小整数解为-1，
故选C ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．
4. 如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是( )
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知，，
A.，不可以利用证明，故选项A 符合题意；
B. ，可以利用证明，故选项B 不符合题意；
C. ，可以利用证明，故选项C 不符合题意；
24232x y x y m +⎧⎨+-+⎩
＝①＝②24232x y x y m ＝＝+⎧⎨
+-+⎩3232
76
-12∠=∠ABD ACD △≌△DB DC
=AB AC =ADB ADC ∠=∠B C
∠=∠12∠∠=AD AD =DB DC =SSA ABD ACD ≌AB AC =SAS ABD ACD ≌ADB ADC ∠∠=ASA ABD ACD ≌
D. ，可以利用证明，故选项D 不符合题意；
故选A ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
5. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，，若，，则BD 的长是（ ）
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
【答案】C
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分的性质，可得AO =6，在Rt △ABO 中，由勾股定理可求得BO 的长为10，进而可求得BD 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，，
∴，，∵，
∴在Rt △ABO 中，由勾股定理可得，
，
∴．
故选：C ．
【点睛】本题考查平行四边形对角线的性质、勾股定理等，熟练掌握平行四边形对角线的性质是解题的关键．
6. 如图，边长为2的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点的坐标是（
）
B C ∠∠=AAS ABD ACD ≌AB AC ⊥8AB =12AC =12AC =1=62
=AO AC 12BO BD =AB AC
⊥10BO ===2=20=BD BO ABCD O AB x ∥ABCD O 45︒B
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查旋转变换、正方形的性质等知识点，学会探究规律的方法是解题的关键．先确定，再求，然后归纳旋转的点坐标规律并利用规律求解即可．
【详解】解：如图：连接
∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合，
∴,
∴
∵轴，将正方形绕原点顺时针旋，每次旋转，
∴由题意旋转8次回到原来位置，，
∴将正方形绕原点O 顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点B 在y
轴的正半轴上，即
．
故选：C ．
7. 如图，是的直径，点
D ，C 在上，连接，，，如果
，那么的度数是（ ）
)1-(0,((1,1)
--()1,1B OB =OB
ABCD O ()1,1B
OB AB x ∥ABCD O 45︒)()(()()()(()12345678,1,1,0,,1,1,,1,1,,1,1,B B B B B B B B ----202382527÷= ABCD 45︒(B AB O O AD DC AC =65C ∠︒BAD ∠
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
【答案】C
【解析】【分析】连接，根据“直径所对的圆周角是直角”得出，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出，最后根据“直角三角形两个锐角互余”得出答案．
【详解】如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．
8. 如图，点D 、E 分别在上，，，（ ）
A. B. C. D. 【答案】
A BD 90AD
B ∠=︒65A B D
C ∠=∠=︒B
D AB O 90ADB ∠=︒65C =︒∠65ABD ∠=︒906525BAD ∠=︒-︒=︒,AB AC AED B ∠=∠2BC D
E =:ABC CEDB S S =△四边形3:4
1:42:31:2
【解析】
【分析】根据
，可得，即可求解．详解】解：∵，，
∴，∴，∵，∴，∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9. 如图，已知点，过点P 作轴于点M ，轴于点N ，反比例函数的图象 交于点A ，交于点B ．若四边形的面积为12，则k 的值为（ ）
A. 6
B. C. 12 D. 【答案】A
【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题．根据反比例函数系数k 的几何意义，利用，即可解决问题．
【详解】解： 轴于点M ，轴于点N ，
四边形是矩形，
又【ADE ACB △△∽2
ADE ABC S DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
△△AED B ∠=∠A A ∠=∠ADE ACB △△∽2
ADE ABC S DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
△△2BC DE =21124
ADE ABC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△:3:4ABC CEDB S S =△四边形()6,3P PM x ⊥PN y ⊥k y x =PM PN OAPB 6-1
-OMA ONB OAPB OMPN S S S S =-- 四边形四边形PM x ⊥ PN y ⊥∴OMPN ()
6,3P 3,6
PM PN ∴==
点A 、B 在反比例函数
的图象上，即，
，
故选：A
10. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】C
【解析】【分析】结合作图方法可知
是的中垂线，结合矩形的性质易证四边形是菱形，，利用等积法可知③错误；利用含角的直角三角形的性质易证④错误．
【详解】解：设交于点由作图知，垂直平分在矩形中，
18
OMPN S PM PN ∴=⋅=矩形 k y x
=12
ONB OMA S S k ∴== 12
OMA ONB OAPB OMPN S S S S =--= 四边形四边形1812k -=0
k > 6k ∴=ABCD AB BC <AC A C 12
AC M N MN AD BC E F AECF 2AFB ACB ∠=∠AC EF CF CD ⋅=⋅AF BAC ∠CF =EF AC AECF 2AFB ACB ∠=∠30︒EF AC ，O
EF AC
90AO CO AOE COF ∴=∠=∠=︒
，ABCD
四边形是菱形
∴①正确
四边形是菱形
∴②正确
∴③错误
平分∴④错误．
故选C ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的作法及菱形的性质，熟练掌握垂直平分线的作法，矩形AD BC
∥AEO CFO
\Ð=ÐAEO CFO
∴ ≌OF OE
∴=∴AECF AECF FAC FCA
∴∠=∠2AFB FAC FCA ACB
∴∠=∠+∠=∠CD AE EF AC
⊥⊥ ，11222
S AC EO AC EF CF CD ∴=⨯⋅⋅=⋅⋅=⋅菱形A E C F AF BAC
∠BAF CAF ACB
∴∠=∠=∠190303
BAF ∴∠=⨯︒=
︒BA AF ∴=CF AF
=
CF AB ∴=
和菱形的性质是解决本题的关键．
二、填空题（共24分）
11. _______．
【答案】【解析】
【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角．设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13. 如图，在中，是对角线，，E 是的中点，平分，连接，．若，，，则的长为_______．
【答案】
##3.5【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，交于点H ，由“”可证，
23-=9
-239-=-9-n 360︒n n 2180()n -⨯︒(2)1803602n -⨯︒=︒⨯6n =∴ABCD Y AC =90ACD ∠︒BC AF BAC ∠CF EF CF AF ⊥5AB =13BC =EF 72
AB CF ASA AFH AFC △≌△
可得，，由三角形中位线定理可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点H ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵E 是中点，∴
．故答案为：．14. 如图，在中，，，，将以B 为中心逆时针方向旋转，得到，当点C 的对应点E 落在边AB 上时，线段AD 的长度值是______．的12AC AH ==HF CF =AB CF ABCD AB CD 90ACD BAC ∠=∠=︒12AC ===AF BAC ∠45BAF CAF ∠=∠=︒AFH AFC △90HAF CAF AF AF
AFH AFC ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
()ASA AFH AFC ≌12AC AH ==HF CF =7BH AH AB =-=BC HF CF
=1722
EF BH ==72
Rt ABC △90C ∠=︒3AC =4BC =ABC BDE
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算出,根据旋转的性质求得，从而计算出，最后根据勾股定理即可计算出．
【详解】解：∵，
∴，
根据旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的相关知识．
15. 如图，在中，是直径，，＝，，那么
的长等于_____________.
【答案】【解析】
AB ,DE BE AE AD 222AB BC AC =+5AB =4,3BE BC DE AC ====541AE AB BE =-=-=90BED C ∠=∠=︒90AED ∠=︒222AD AE DE =+AD ==O AB CD AB ⊥ACD ∠60︒2OD =DC
【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到，，，利用圆周角定理求出求出，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，勾股定理即可得，垂径定理即可求得的长．
【详解】解：如图所示，设交于点，
是直径，丄，
，，， ，
，
，
，
，
故答案为：
16. 如图，点D 、E 是边 上的点，，连接，交点为F ，，那么的值是___________．【答案】
##【解析】【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，
CE DE = BD
BC =90DEO AEC ∠=∠=︒260DOE A ∠=∠=︒30ODE ∠=︒1OE =DE DC ,AB CD E AB CD AB CE DE ∴= BD
BC =90DEO AEC ∠=∠=︒ACD ∠ =60︒30A ∴∠=︒260DOE A ∴∠=∠=︒30ODE ∴∠=︒∴112
OE OD ==DE ∴=2CD DE ∴==ABC BC AC 、:2:5BD CD =AD BE 、:1:4DF AF =CE AE
78
0.875D DG BE ∥AC G ::BD CD EG GC =
，进而可得的值．【详解】解：如图所示，过作，交于，
则，即：，，，即：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17. 如图，将圆形纸片折叠使弧经过圆心O ，过点O 作半径于点E ，点P 为圆上一点，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，折叠的性质，根据题意可得，解得到，则由圆周角定理可得．【详解】解：如图所示，连接，::DF AF EG AE =CE AE
D DG B
E ∥AC G ::2:5BD CD EG GC ==52CG EG =72
EC CG EG EG =+=::1:4DF AF EG AE ==4AE EG =77248
EG CE AE EG ==78
AB OC AB ⊥APC ∠30︒301122OE OC OA =
=Rt AOE △60AOE =︒∠12
30AOE APC ∠=︒=
OA
∵将圆形纸片折叠使弧经过圆心O ，
∴，在中，，∴，
∴，故答案：．
18. 如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的侧面积是________．
【答案】36
【解析】
【分析】根据三视图判断出该几何体是直三棱柱，再利用已知各棱长即可求出该几何体的侧面积．
【详解】这个几何体是直三棱柱，
4×3×3＝36（），
故这个几何体的侧面积是36，
故答案为：36．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体的形状，正确得出物体的形状是解题的关键．
三、计算题（共8分）
19. （1
；（2）先化简，再求值：，其中
为AB 1122
OE OC OA ==Rt AOE △1cos 2OE AOE OA ∠=
=60AOE =︒∠12
30AOE APC ∠=︒=∠30︒2cm 2cm 2cm ()0
11
(1tan602π-++-︒2223339
x x x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭x =
【答案】（1）3；（2
）
【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值以及实数的混合运算：
（1）本题涉及了负整数指数幂、二次根式的化简、零指数幂以及特殊角的三角函数值，计算时针对每个考点依次计算；
（2）先把原式化简，化为最简后，再把x 的值代入，注意计算出x 的值．
【详解】解：（
1；
（2）；当
．四、作图题（共4分）
20. 如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，
．
5
3,5x x
--()0
11
(1tan602π-++-︒21=++-3=2223339
x x x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭()()
()()2
22333339
x x x x x x x x ++-=÷+--()()22
253339
x x x x x x -=÷+--()()()()()2
533333x x x x x x x -+-=
⋅+-53x x -=x =5==-ABC ()1,2A -()3,3B -()3,1C -
（1）画出关于原点O 成中心对称的；
（2）以A 为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．
（1）作出点A 、B 、C 关于原点的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）以A 为位似中心，作出点B 、C 的位似点，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形．
【小问2详解】
解：如图，与即为所求作的三角形．
五、解答题（共54分）
21. 已知：如图，点D 在△ABC 的BC 边上，AC ∥BE ，BC=BE ，∠ABC=∠E ，求证：AB=DE.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：先利用平行线的性质得到∠C =∠DBE ，再根据“ASA”可证明△ABC ≌△DEB ，然后根据全等三角形的性质即可得到结论
．
ABC 111A B C △ADE V ADE V ABC 4:11A 1B 1C 111A B C △11AD E △22AD E V
试题解析：证明：∵AC ∥BE ，∴∠C =∠DBE ．
在△ABC 和△DEB 中，∵∠C =∠DBE ，BC =EB ，∠ABC =∠E ，∴△ABC ≌△DEB ，∴AB =DE ．
22. 如图，在四边形中，，过点D 作的角平分线交于点E ，连接交于点O ，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析
（2）96【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边得到，进而利用菱形的判定定理即可证得结论；
（2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得，进而利用勾股定理求得即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，的周长为36，
∴，则，在中，
，
ABCD AB CD ∥ADC ∠AB AC DE AD CE ∥AECD 10AD =ACD AECD ADE AED ∠=∠AD AE =AC DE AB CD ∥AD CE ∥AECD CDE AED ∠=∠DE ADC ∠CDE ADE ∠=∠ADE AED ∠=∠AD AE =AECD AECD AD CD =AC DE ⊥OA OC =OD OE =10AD =ACD 3621016AC =-⨯=182OC OA AC ==
=Rt AOD
6OD ===
∴，
∴菱形
的面积为．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
23. 如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，．
（1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若
的半径．【答案】（1）见解析 （2）【解析】
【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，根据等边对等角，结合等角的余角相等，得到，即可得出结果；
（2）连接，先证明，得到，根据，设，勾股定理得到，进而得到，在，利用勾股定理求出的值，进一步求解即可．
【小问1详解】
解：直线与相切，
证明：如图3，连接．
212DE OD ==AECD 1662
9112⨯⨯=O ABC AB O D AC BD O E F BD DCF ABC ∠=∠CF O 3,,4
AC BE
CE BD BC ===O 54OC 90ACB ∠=︒90DCB ∠=︒90OCF ∠=︒AE (ASA)AEB AED ≌△△AB AD =34AC BC =3,4AC x BC x ==5AB x =5AD x =Rt DCB △x CF O OC
∵是的直径，
∴，
∵点是延长线上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切．
【小问2详解】
如图4，连接，
∵，．
∵是的直径，
∴，
∵
，
AB O 90ACB ∠=︒D AC 90DCB ∠=︒90DCF BCF ∠+∠=︒OC OB =OCB OBC ∠=∠DCF ABC ∠=∠DCF OCB ∠=∠90OCB BCF ∠+∠=︒90OCF ∠=︒OC CF ⊥OC O CF O AE BE
CE =BAE DAE ∴∠=∠AB O 90AEB AED ∠=∠=︒AE AE =
∴，
∴，
在中，，设，则，∴，
∴在中，，即，
解得：，∴
，∴的半径为
．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24. 为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位：元）与其种植面积x （单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元．（1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w 最小？
（2）学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a 为何值时，2026年的总种植成本为28920元？
【答案】（1）当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w 最小
（2）当a 为20时，2026年的总种植成本为28920元
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是用待定系数法正确求出函数关系式，正确列出一元二次方程．
（1）根据当时，，由二次函数(ASA)AEB AED ≌△△AB AD =Rt ACB △34
AC BC =3,4AC x BC x ==5AB x =
==5,532AD AB x DC AD AC x x x ===-=-=Rt DCB △222CD BC BD +=222(2)(4)x x +=12
x =552
AB x ==O 5421000m 2/m 2m 11020
y x =+200600x ≤≤2/m 21000m 10%%a 2400m 2600m 200600x ≤≤()()2111050100400420002020w x x x x ⎛⎫=++-=-+ ⎪⎝⎭
的性质得当时，w 有最小值，再根据土地总面积为解答即可．
（2）根据2026年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．
【小问1详解】
当时，
∵，∴抛物线开口向上．
∴当时，w 有最小值，．
∴，
∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w 最小．
【小问2详解】
由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元，
乙种蔬菜的种植成本是（元），
甲种蔬菜的种植成本是（元），
，
设，则，
解得：，（舍去），
∴．
∴．
答：当a 为20时，2026年的总种植成本为28920元．
25. 如图，在中，，点是上任意一点，连接，将绕着点逆时针旋转，点的对应点是点，连接，．
（1）求的度数．
400x =21000m 200600x ≤≤()()2111050100400420002020w x x x x ⎛⎫=++-=-+ ⎪⎝⎭
1020
>400x =42000w =最小值10001000400600x -=-=2400m 2600m 5060030000⨯=420003000012000-=()()22110%120001%3000028920a -⨯+-⨯=%a m =()210.64m -=10.2m =2 1.8m =%20%a =20a =Rt ACB △AC BC =D AB CD CD C 90︒D E BE DE ABE ∠
（2）在旋转过程中，如果，，求的值．
【答案】（1）
（2
【解析】
【分析】（1）本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质与判定，根据旋转的性质确定，从而确定，再根据，结合题干条件即可解题．
（2）本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，根据确定的长度，再根据勾股定理确定的长度，最后再次利用勾股定理即可求得的值．
【小问1详解】
解：根据旋转的性质可知：，，
，
，
，
又，，
，
，
又，，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，°，
在中：
．
26. 如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结．
3AD =5
CD =BD 90
︒
ACD BCE ≌CAD CBE ∠=∠ABE ABC CBE ∠=∠+∠ACD BCE ≌BE DE BD CD CE =90DCE ∠=︒90ACB DEC ∠=∠=︒ ACB BCD DEC BCD ∴∠-∠=∠-∠ACD BCE ∠∠∴=CA CB = CD CE =()ACD BCE SAS ∴ ≌CAD CBE ∴∠=∠90ACB ∠=︒ CA CB =45BAC ABC ∴∠=∠=︒90ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒ACD BCE ≌3AD =3BE AD ∴==5CD CE == 90DCE ∠=DE ∴==Rt DBE BD ===O CD AB CD ⊥E ,AC AD
（1）求证：．
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；
（2），见解析．
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理，得，由圆周角定理推论知，，所以．
（2）如图，连接，，由圆周角定理可推出，根据弧长公式计算求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是直径，弦，
∴．∴．
又∵．
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接，，则
，
C BA
D ∠=∠30,3C OC ∠=︒= AB 2πCB AD BD
=BCD ACD ∠=∠BCD BAD ∠=∠ACD BAD ∠=∠OA OB 2120AOB ACB ∠=∠=︒CB CD AB CD ⊥ AD BD
=BCD ACD ∠=∠BCD BAD ∠=∠ACD BAD ∠=∠OA OB 2AOB ACB ∠=∠
而，
∴∴的长度． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，弧长计算；连接辅助线，
从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键．
27. 如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；
（3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
【答案】（1） （2）3
（3），【解析】
【分析】（1）用待定系数法直接求解即可；
（2）根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”得出当抛物线向左平移个单位时，
，再把代入，求解即可；（3）先由勾股定理的逆定理得出，从而由三角形面积公式得，再用待定系数法求在260ACB ACD ∠=∠=︒120AOB ∠=︒
AB 1202321803
r πππ==´=23y ax bx =++y A ()1,2B -()3,0C ()0m m >B m P 2ABC ACP S S =△△P 211322y x x =-
++()11,3P ()
22,2P m 2
1125228y x m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭
()1,2B -90BAC ∠=︒3ABC S =
得直线解析式：，然后设，则，，所以，根据，得，求解即可．【小问1详解】
解：把点代入抛物线，得解得：，．【小问2详解】
解：
，当抛物线向左平移个单位时，，把代入得，解得：（舍），，
．【小问3详解】
解：如图，过点作轴，交于点，
AC 3y x =-+211,322P t t t ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭
(),3E t t -+21322PE t t =-+2211339322244ACP S t t t t ⎛⎫=⨯⨯-+=-+ ⎪⎝⎭ 2ABC ACP S S = 239234
4t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()()1230B C -，
，，329330
a b a b -+=⎧⎨++=⎩1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
211322
y x x ∴=-++2
2111125322228
y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∴m 21125228y x m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭
()1,2B -2
112512228m ⎛⎫---++= ⎪⎝⎭
10m =23m =3m ∴=P PE x ⊥AC E
，，
，
，
，设直线解析式解析式为，
把分别代入，得
，解得：，直线解析式：，
设
，则，，，，
，解得：，，
，．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象平移，抛物线与一次函数的图象性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理．此题属二次函数面积类综合题目，是中考试常考题目．的AB =
Q
AC =BC =222AB AC BC ∴+=90BAC ∴∠=︒132
ABC S ∴== AC y kx n =+()()0,3,3,0A C 330n k n =⎧⎨+=⎩31n k =⎧⎨=-⎩
∴AC 3y x =-+211,322P t t t ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭
(),3E t t -+21322
PE t t ∴=-+2211339322
244ACP S t t t t ⎛⎫∴=⨯⨯-+=-+ ⎪⎝⎭ 2ABC ACP S S = 239234
4t t ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭11t =22t =()11
3P ∴，()22,2P。