人教版高中数学课件-平面几何中的向量方法

＋y1y2＝0 .
明目标、知重点
(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos θ＝|aa|·|bb|
＝
x1x2＋y1y2
.
x21＋y21 x22＋y22
(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、
向量模的公式：|a|＝ x2＋y2 .
明目标、知重点
2.直線的方向向量和法向量 (1)直線y＝kx＋b的方向向量為 (1，k)，法向量為 (k，－1) . (2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為(B，－A，) 法向量為(A，B) .
明目标、知重点
探要點·究所然 情境導學 向量的概念和運算都有著明確的物理背景和幾何背景，當向 量和平面坐標系結合後，向量的運算就完全可以轉化為代數 運算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方 便.本節專門研究平面幾何中的向量方法.
明目标、知重点
探究點一 直線的方向向量與兩直線的夾角
思考1 直線y＝kx＋b的方向向量是如何定義的？如何求？ 答 如果向量v與直線l共線，則稱向量v為直線l的方向向量.
明目标、知重点
思考3 請用向量法給出上述結論的證明. 答 證明：在平行四邊形ABCD中， A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C2＝(A→B＋A→D)2＝A→B2＋A→D2＋2A→B·A→D； B→D2＝(A→D－A→B)2＝A→D2＋A→B2－2A→B·A→D.
∴A→C2＋B→D2＝2A→B2＋2A→D2. 即|A→C|2＋|B→D|2＝2(|A→B|2＋|A→D|2).
→
→
又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4).
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程.
明目标、知重点
反思與感悟 (1)利用向量法來解決解析幾何問題，首先要將線 段看成向量，再把座標利用向量法則進行運算. (2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為v＝(B，－A)，法向量 n＝(A，B).這兩個概念在求直線方程、判斷兩條直線位置關係、 求兩條直線的夾角時非常有用.
整理得：2m2－3m－2＝0，
解得：m＝2 或 m＝－12.
明目标、知重点
呈重點、現規律
1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距 離等問題.利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思 路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是 建立坐標系，求出題目中涉及到的向量的座標.這兩種思路都是 通過向量的計算獲得幾何命題的證明.
对于任意一条直线 l：y＝kx＋b，在它上面任取两点 A(x0，y0)，
→
→
B(x，y)，则向量AB＝(x－x0，y－y0)与直线 l 共线，即AB为直线
l 的方向向量.由于(x－x0，y－y0)＝x－1x0·(1，yx－ －yx00)＝x－1x0(1，k)，
所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)共线，从而向量(1，k)是直
明目标、知重点
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4.已知直線l1：3x＋y－2＝0與直線l2：mx－y＋1＝0的夾角為45°， 求實數m的值.
解 設直線l1，l2的法向量為n1，n2，
則n1＝(3,1)，n2＝(m，－1).
由题意：cos 45°＝|n|n11|··n|n22||＝
|3m－1| ＝
10· 1＋m2
22.
化簡得x2＋y2＋x－3y＝0.
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明目标、知重点
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2.如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點.過點O的 直線分別交直線AB、AC於不同的兩點M、N，若
A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，則m＋n的值為____2____.
解析 ∵O 是 BC 的中点，∴A→O＝12(A→B＋A→C). 又∵A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，∴A→O＝m2 A→M＋n2A→N. ∵M，O，N 三点共线，∴m2 ＋n2＝1.则 m＋n＝2.
明目标、知重点
例1 已知△ABC的三個頂點A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點D、 E、F分別為邊BC、CA、AB的中點. (1)求直線DE、EF、FD的方程； 解 由已知得点 D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设 M(x，y) 是直线 DE 上任意一点，则D→M∥D→E. D→M＝(x＋1，y－1)，D→E＝(－2，－2).
明目标、知重点
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0為直線DE的方程. 同理可求，直線EF，FD的方程分別為 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
明目标、知重点
(2)求AB邊上的高線CH所在直線方程.
解 設點N(x，y)是CH所在直線上任意一點， 则C→N⊥A→B.
∴C→N·A→B＝0.
明目标、知重点
探究點三 平面向量在幾何中的應用
用向量法處理有關直線平行、垂直、線段相等、點共線、線共點
以及角度等問題時有獨到之處，且解法思路清晰、簡潔直觀.其
基本方法是： (1)要证明线段
AB＝CD，可转化为证明|A→B|＝|C→D|.
(2)要证明 AB∥CD，只需证明存在一个不为零实数 λ，使得A→B＝
第二章 平面向量
§2.5 平面向量應用舉例
內容 索引
01 明目標
知重點
填要點 記疑點
02
03
探要點 究所然
當堂測 查疑缺
04
明目标、知重点
明目標、知重點
1.經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及 其它一些實際問題的過程. 2.體會向量是一種處理幾何問題的有力工具. 3.培養運算能力、分析和解決實際問題的能力.
明目标、知重点
填要點·記疑點
1.向量方法在幾何中的應用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的
等價條件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0 .
(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向 量垂直的等價條件：非零向量a，b，a⊥b⇔ a·b＝0 ⇔ x1x2
明目标、知重点
＝13(a＋b)－ma ＝13－ma＋13b. 同理Q→G＝13a＋13－nb. ∵P→G与Q→G共线，∴13－m×13－n－13×13＝0. 化简得 m＋n＝3mn，∴m1 ＋1n＝3.
明目标、知重点
當堂測·查疑缺
1.已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB為直徑的圓的方程是 __x_2＋__y_2_＋__x_－__3_y_＝__0_. 解析 設P(x，y)為圓上任一點，則 A→P＝(x－1，y－2)，B→P＝(x＋2，y－1)， 由A→P·B→P＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，
明目标、知重点
跟蹤訓練1 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平
分線的方程.
→
→
解 AB＝(3,4)，AC＝(－8,6)，
∠A的平分線的一個方向向量為：
→→
AB →
＋
AC →
＝35，45＋－45，35＝－15，75.
|AB| |AC|
∵∠A的平分線過點A. ∴所求直线方程为－75(x－4)－15(y－1)＝0. 整理得：7x＋y－29＝0.
明目标、知重点
2.在直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取兩點P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，則
——→ P1P2
(λ∈R且λ≠0)也是直線l的方向向量.所以，
一條直線的方向向量有無數多個，它們都共線.同理，與直線l：
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直線l的法向量.一條
明目标、知重点
反思與感悟 解答過程易出現無從下手的情況，導致此種情況 的原因是不能靈活選定基底，無法集中條件建立幾何元素與向 量之間的聯繫.
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知 PQ 过△OAB 的重心 G，设O→A＝a，
O→B＝b.若O→P＝ma，O→Q＝nb，求证：m1 ＋1n＝3. 證明 選{a，b}為基底.延長OG交AB於M點， ∵G為△OAB的重心， ∴M為AB的中點， ∴＝P→23G×＝12(OO→→GA－＋OO→→PB＝)－23mO→aM－O→P
明目标、知重点
例2 平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，
BE、BF分別與AC交於R、T兩點，你能發現AR、
RT、TC之間的關係嗎？
解 选{A→B，A→D}为基底.设A→R＝mA→C，A→T＝nA→C.
则B→R＝A→R－A→B＝mA→C－A→B＝m(A→B＋A→D)－A→B＝(m－1)A→B＋mA→D， B→E＝A→E－A→B＝－A→B＋12A→D. ∵B→R与B→E共线，∴(m－1)×12－(－1)×m＝0， ∴m＝13.同理解得 n＝23.∴AR＝RT＝TC.
明目标、知重点
探究點二 直線的法向量與兩直線的位置關係
思考1 如何定義直線Ax＋By＋C＝0的法向量？ 答 如果向量n與直線l垂直，則稱向量n為直線l的法向量.因 此若直線的方向向量為v，則n·v＝0.從而對於直線Ax＋By＋C ＝0而言，其方向向量為v＝(B，－A)，則由於n·v＝0，於是 可取n＝(A，B)，這是因為(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直 線的法向量也有無數個.
明目标、知重点
思考2 如何利用直線的法向量判斷兩直線的位置關係？ 答 對於直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它 們的法向量分別為n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2). 當n1∥n2時，l1∥l2或l1與l2重合.即A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1與l2 重合； 當n1⊥n2時，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.
明目标、知重点
思考1 用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是怎樣的？ 答 (1)建立平面幾何與向量的聯繫，用向量表示問題中涉及的幾 何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關係，距離，夾角等問題； (3)把運算結果“翻譯”成幾何關係.
明目标、知重点
思考2 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何 模型. 如右圖，A→C＝A→B＋A→D，D→B＝A→B－A→D，你 能發現平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關係嗎？ 答 平行四邊形兩條對角線長的平方和等於兩條鄰邊長的平方和 的兩倍.
→ λCD，且 A、B、C、D 不共线即可.
明目标、知重点
(3)要证明 A、B、C 三点共线，只需证明A→B∥A→C或A→B∥B→C. (4)要证明 AB⊥CD，只需证明A→B·C→D＝0，或若A→B＝(x1，y1)， → CD＝(x2，y2)，则用坐标证明 x1x2＋y1y2＝0 即可. (5)常用|a|＝ a·a和 cos θ＝|aa|·|bb|处理有关长度与角度的问题.
明目标、知重点
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3.正方形OABC的邊長為1，點D、E分別為AB、BC的中點，試 求cos∠DOE的值. 解 以 OA，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，
如图所示，由题意知：O→D＝1，12，O→E＝12，1，
→→
故
cos∠DOE＝
OD·OE →→
|OD|·|OE|
明目标、知重点
＝1×2125＋ ×122×5 1＝45. 即 cos∠DOE 的值为45.
线 y＝kx＋b 的一个方向向量.
明＝0的方向向量如何求？ 答 當B≠0時，k＝－AB，所以向量(B，－A)與(1，k)共線，所以 向量(B，－A)是直線Ax＋By＋C＝0的一個方向向量；當B＝0時， A≠0，直線x＝－ CA的一個方向向量為(0，－A)，即(B，－A). 綜上所述，直線Ax＋By＋C＝0的一個方向向量為 v＝(B，－A).
直線的法向量也有無數多個.熟知以下結論，在解題時可以直接
應用.
明目标、知重点
①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量為n＝(k，－1). ②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n ＝(A，B).
明目标、知重点