工程力学—动量矩定理
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(e)
FOy O FOx u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等 于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A 位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人 与重物A将始终保持相同的高度。
12 动量矩定理
• • • • • • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
A
mg mg
u
va
ve＝v
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速 度 转动，则 Lz＝ Jz。
刚体受有主动力和轴承 约束反力，如不计摩擦，则 由质点系动量矩定理得 d ( J z ) M z ( F ) dt d 或 Jz M z (F ) dt J z M z ( F ) F1 z
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立 如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为 v ， 摆的偏角为 ，则
质点系对 某固定轴的动 量矩对时间的 导数，等于作 用于质点系的 外力对于同一 轴的矩的代数 和。
12.2.3 动量矩守恒定理
1. 质点动量矩守恒定律 如果作用在质点上的力对某定点(或定轴) 之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量 矩保持不变。
2. 质点系动量矩守恒定律
当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于 零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持 不变。
g 0 l
12.2.2 质点系的动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)
和内力Fi 。由质点的动量矩定理有
(i)
d M O (mi vi ) MO ( Fi (e) ) MO ( Fi (i) ) dt
这样的方程共有n个，相加后得
n n d (e) (i) d t MO (mi vi ) MO (Fi ) MO (Fi ) i 1 i 1 i 1 n
其中A和 为积分常数，取决于 初始条件。可见单摆的微幅摆 动为简谐运动。摆动的周期为
d (ml 2 ) mgl sin dt
即
g sin 0 l
T 2
l g
这就是单摆的运动微分方程。 当 很小时摆作微摆动，sin ≈ ，于是上式变为
显然，周期只与 l 有关，而与 初始条件无关。
WR 2 a JO W dv W ( R) WR (JO R2 ) R g dt g
M ( e ) WR
dLO (e ) M dt
P
v
W
a b d c
例6 水流通过固定导流叶片进入 叶轮，入口和出口的流速分别为 v1和v2，二者与叶轮外周边和内 周边切线之间的夹角分别为1和 2，水的体积流量为qV、密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半 径分别为r1和r2 ，叶轮水平放置。 求水流对叶轮的驱动力矩。
O
M z (mv ) mvl ml 2
Nl
y v
M mg
M z ( F ) mgl sin
式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标 的正负号相反。它表明力矩总是有使 摆锤回到平衡位置的趋势。
x
由
此微分方程的解为
d M z (mv ) l
设接触处完全光滑此时圆柱作平动由质心运动定理得圆柱质心的加速度sinmamg设接触处足够粗糙此时圆柱作纯滚动列出平面运动微分方程由于圆柱作纯滚动故maxcos设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为f?则滑动摩擦力cossincos圆柱体在斜面上既滚动又滑动在这种情况下a例16均质圆柱体a和b质量均为m半径均为r
FN1
Fn
F2
FN2 y
x
d2 J z 2 M z (F ) dt
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
动量矩定理
例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设 绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
解：以系统为研究对象，受力如图。 以顺时针为正，则
N
FOy
LO J m2vR
z
A
l
C
a
Lz1 Lz 2
Lz1 2(ma0 )a 2ma 0
2
0
a
B
l
D
Lz 2 2m(a l sin ) 2 2ma 20 2m(a l sin )2 a2 0 2 (a l sin )
显然，此时的角速度＜ 0。
z
A
l
C
a
a
B
l
D
例5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对 转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下 绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求
FOy
O FOx
重物下落的加速度。
解：取系统为研究对象
W LO J O vR g JO W LO ( R )v R g
v R
应用动量矩定理
mg
n
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导 数，等于作用于质点系的外力对于同一点的 矩的矢量和。
12.2.2 质点系的动量矩定理
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
d (e) Lx M x ( Fi ) dt d (e) Ly M y ( Fi ) dt d (e) Lz M z ( Fi ) dt
LO=ΣMO(mv)
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的 动量矩的代数和。
LO=ΣMz(mv)
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的 投影，等于质点系对 该轴的动量矩。
[LO]z= Lz
刚体的动量矩
3 平动刚体的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。 z
由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项
M
i1
n
O
( Fi ) 0
(i)
12.2.2 质点系的动量矩定理
上式左端为
d d n d d t M O (mi vi ) d t M O (mi vi ) d t LO i 1 i 1
于是得
n d (e) LO M O ( Fi ) dt i 1
12.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的 矩，定义为质点对于点O MO(mv) 的动量矩，是矢量。
z
A
mv Mz(mv)
Q
y
M O (mv ) r mv
质点动量 mv 在 oxy 平面 内的投影(mv)xy对于点O的 矩，定义为质点动量对于 z轴的矩，简称对于z轴的 动量矩，是代数量。
质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转 动惯量为J，半径为r，角速度为 ，重物A的 质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系 统对轴O的动量矩。
O
r
A
mv
解：
LO L块 L盘 mvr J 2 2 mr J (mr J )
M O ( F (e) ) M m2 g sin R
v
M
O
FOx m1g
d 由 LO mO ( Fi (e) ) ，有 dt
m2 g
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt
动量矩定理
v dv 因 , a ,于是解得 R dt
MR m2 gR2 sin a J m2 R 2
x
所以
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的 动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对 同一点的矩。
12.2.1 质点的动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量 矩与对轴的动量矩的关系代入，得
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
x
q
O
r
A
Q
质点的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点 对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动 量矩。
[MO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg· 2/s。 m
质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的 动量矩的矢量和。
4 定轴转动刚体的动量矩
Lz mz (mi vi ) mi vi ri mi ri 2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
ri Mi
mi vi
Lz J z
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
LO的转向沿逆时针方向。
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点的动量矩定理
设质点对固定点O的动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点的矩为MO(F) ，如图 所示。 将动量矩对时间取一 次导数，得 MO(mv) z F mv
MO(F)
O x
Q
r
y
d d M O (mv ) (r mv ) dt dt dr d mv r (mv ) dt dt
LCDcd qV dt v2 r2 cos 2 LABab qV dt v1r1 cos 1
应用动量矩定理
dL z ( M z e) dt
M z qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos 1 )
M z nM z qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos1 )
若M＞m2gR sin ，则 a＞0，小车的加速度沿轨道向上。
必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正 负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完 全一致。
例4 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴 z 转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及 BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆 AC与BD均为铅垂，这系统绕 z 轴的角速度为0。如某时此细线拉断，杆AC 和BD各与铅垂线成 角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度 。 解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的 重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。 所以系统对转轴的动量矩守恒，即
例7 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物A，另一端 有一质量为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半径为r， 质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。
解：以系统为研究对象，受力如图。
由于SMO(F )＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。 设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
重力 —— 由于水轮机水平放 置，重力对O轴之矩等于0； 相邻水流的压力 —— 忽略不 解：在 d t 时间间隔内，水流 计； ABCD段的水流运动到abcd时， 叶轮的反作用力矩 —— 与 所受的力以及他们对O轴之矩： 水流对叶轮的驱动力矩大小 相等，方向相反。
a b
d c Mz
dLz Labcd LABCD LCDcd LABab
12.2.1 质点的动量矩定理
因为 所以
d r d ( mv ) F , v dt dt
z F MO(m v)
Q
m v
r O y
MO(F) d M O (mv ) v mv r F dt
又因为
v mv 0, r F M O ( F )
FOy O FOx u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等 于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A 位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人 与重物A将始终保持相同的高度。
12 动量矩定理
• • • • • • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
A
mg mg
u
va
ve＝v
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速 度 转动，则 Lz＝ Jz。
刚体受有主动力和轴承 约束反力，如不计摩擦，则 由质点系动量矩定理得 d ( J z ) M z ( F ) dt d 或 Jz M z (F ) dt J z M z ( F ) F1 z
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立 如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为 v ， 摆的偏角为 ，则
质点系对 某固定轴的动 量矩对时间的 导数，等于作 用于质点系的 外力对于同一 轴的矩的代数 和。
12.2.3 动量矩守恒定理
1. 质点动量矩守恒定律 如果作用在质点上的力对某定点(或定轴) 之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量 矩保持不变。
2. 质点系动量矩守恒定律
当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于 零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持 不变。
g 0 l
12.2.2 质点系的动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)
和内力Fi 。由质点的动量矩定理有
(i)
d M O (mi vi ) MO ( Fi (e) ) MO ( Fi (i) ) dt
这样的方程共有n个，相加后得
n n d (e) (i) d t MO (mi vi ) MO (Fi ) MO (Fi ) i 1 i 1 i 1 n
其中A和 为积分常数，取决于 初始条件。可见单摆的微幅摆 动为简谐运动。摆动的周期为
d (ml 2 ) mgl sin dt
即
g sin 0 l
T 2
l g
这就是单摆的运动微分方程。 当 很小时摆作微摆动，sin ≈ ，于是上式变为
显然，周期只与 l 有关，而与 初始条件无关。
WR 2 a JO W dv W ( R) WR (JO R2 ) R g dt g
M ( e ) WR
dLO (e ) M dt
P
v
W
a b d c
例6 水流通过固定导流叶片进入 叶轮，入口和出口的流速分别为 v1和v2，二者与叶轮外周边和内 周边切线之间的夹角分别为1和 2，水的体积流量为qV、密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半 径分别为r1和r2 ，叶轮水平放置。 求水流对叶轮的驱动力矩。
O
M z (mv ) mvl ml 2
Nl
y v
M mg
M z ( F ) mgl sin
式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标 的正负号相反。它表明力矩总是有使 摆锤回到平衡位置的趋势。
x
由
此微分方程的解为
d M z (mv ) l
设接触处完全光滑此时圆柱作平动由质心运动定理得圆柱质心的加速度sinmamg设接触处足够粗糙此时圆柱作纯滚动列出平面运动微分方程由于圆柱作纯滚动故maxcos设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为f?则滑动摩擦力cossincos圆柱体在斜面上既滚动又滑动在这种情况下a例16均质圆柱体a和b质量均为m半径均为r
FN1
Fn
F2
FN2 y
x
d2 J z 2 M z (F ) dt
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
动量矩定理
例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设 绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
解：以系统为研究对象，受力如图。 以顺时针为正，则
N
FOy
LO J m2vR
z
A
l
C
a
Lz1 Lz 2
Lz1 2(ma0 )a 2ma 0
2
0
a
B
l
D
Lz 2 2m(a l sin ) 2 2ma 20 2m(a l sin )2 a2 0 2 (a l sin )
显然，此时的角速度＜ 0。
z
A
l
C
a
a
B
l
D
例5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对 转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下 绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求
FOy
O FOx
重物下落的加速度。
解：取系统为研究对象
W LO J O vR g JO W LO ( R )v R g
v R
应用动量矩定理
mg
n
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导 数，等于作用于质点系的外力对于同一点的 矩的矢量和。
12.2.2 质点系的动量矩定理
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
d (e) Lx M x ( Fi ) dt d (e) Ly M y ( Fi ) dt d (e) Lz M z ( Fi ) dt
LO=ΣMO(mv)
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的 动量矩的代数和。
LO=ΣMz(mv)
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的 投影，等于质点系对 该轴的动量矩。
[LO]z= Lz
刚体的动量矩
3 平动刚体的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。 z
由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项
M
i1
n
O
( Fi ) 0
(i)
12.2.2 质点系的动量矩定理
上式左端为
d d n d d t M O (mi vi ) d t M O (mi vi ) d t LO i 1 i 1
于是得
n d (e) LO M O ( Fi ) dt i 1
12.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的 矩，定义为质点对于点O MO(mv) 的动量矩，是矢量。
z
A
mv Mz(mv)
Q
y
M O (mv ) r mv
质点动量 mv 在 oxy 平面 内的投影(mv)xy对于点O的 矩，定义为质点动量对于 z轴的矩，简称对于z轴的 动量矩，是代数量。
质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转 动惯量为J，半径为r，角速度为 ，重物A的 质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系 统对轴O的动量矩。
O
r
A
mv
解：
LO L块 L盘 mvr J 2 2 mr J (mr J )
M O ( F (e) ) M m2 g sin R
v
M
O
FOx m1g
d 由 LO mO ( Fi (e) ) ，有 dt
m2 g
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt
动量矩定理
v dv 因 , a ,于是解得 R dt
MR m2 gR2 sin a J m2 R 2
x
所以
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的 动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对 同一点的矩。
12.2.1 质点的动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量 矩与对轴的动量矩的关系代入，得
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
x
q
O
r
A
Q
质点的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点 对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动 量矩。
[MO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg· 2/s。 m
质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的 动量矩的矢量和。
4 定轴转动刚体的动量矩
Lz mz (mi vi ) mi vi ri mi ri 2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
ri Mi
mi vi
Lz J z
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
LO的转向沿逆时针方向。
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点的动量矩定理
设质点对固定点O的动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点的矩为MO(F) ，如图 所示。 将动量矩对时间取一 次导数，得 MO(mv) z F mv
MO(F)
O x
Q
r
y
d d M O (mv ) (r mv ) dt dt dr d mv r (mv ) dt dt
LCDcd qV dt v2 r2 cos 2 LABab qV dt v1r1 cos 1
应用动量矩定理
dL z ( M z e) dt
M z qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos 1 )
M z nM z qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos1 )
若M＞m2gR sin ，则 a＞0，小车的加速度沿轨道向上。
必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正 负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完 全一致。
例4 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴 z 转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及 BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆 AC与BD均为铅垂，这系统绕 z 轴的角速度为0。如某时此细线拉断，杆AC 和BD各与铅垂线成 角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度 。 解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的 重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。 所以系统对转轴的动量矩守恒，即
例7 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物A，另一端 有一质量为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半径为r， 质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。
解：以系统为研究对象，受力如图。
由于SMO(F )＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。 设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
重力 —— 由于水轮机水平放 置，重力对O轴之矩等于0； 相邻水流的压力 —— 忽略不 解：在 d t 时间间隔内，水流 计； ABCD段的水流运动到abcd时， 叶轮的反作用力矩 —— 与 所受的力以及他们对O轴之矩： 水流对叶轮的驱动力矩大小 相等，方向相反。
a b
d c Mz
dLz Labcd LABCD LCDcd LABab
12.2.1 质点的动量矩定理
因为 所以
d r d ( mv ) F , v dt dt
z F MO(m v)
Q
m v
r O y
MO(F) d M O (mv ) v mv r F dt
又因为
v mv 0, r F M O ( F )