备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含详细答案(1)

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错难题篇含详细答案(1)
一、二次函数
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM=
1
2
PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣1
2
，
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
（x﹣6）（x+2）=﹣
1
2
x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB 解析式为y=kx+b ，
将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
6
60b k b =⎧⎨
+=⎩
， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩
，
则直线AB 解析式为y=﹣x+6，
设P （t ，﹣
12
t 2
+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），
∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1
2
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+1
2PN•BM =1
2
PN•（AG+BM ） =
1
2PN•OB =12×（﹣1
2t 2+3t ）×6 =﹣3
2t 2+9t
=﹣32（t ﹣3）2+272
，
∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣1
2
x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=
1
6
-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到
OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为17
2
m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=
1
6
-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；
(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】
【详解】
试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,
2B C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在抛物线上 所以4
171
932
6c b c =⎧⎪
⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b
x a
=-=时，10t y =≦ 答：2
1246
y x x =-
++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，22
63
y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即2
12486
x x -
++=，可得212240x x -+=
，解得1266x x =+=-
12x x -=
答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．
3．已知抛物线26y x x c =-++.
（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；
（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N
两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.
【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是21
74
c -<< 【解析】 【分析】
(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;
(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;
(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】
解：（I ）∵抛物线2
6y x x c =-++与x 轴有交点，
∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

240b ac ∴∆=-…，即264(1)0c -⨯-⨯…
.解得9c -… （Ⅱ）根据题意，设()()1122,21,,21M x x N x x ++
由2621
y x x c
y x ⎧=-++⎨=+⎩，消去y ，得2410x x c -+-= ①. 由2
(4)4(1)1240c c ∆=---=+>，得3c >-.
∴方程①的解为1222x x ==
()()()()2
2
2
21212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+⎡⎤⎣⎦ 20(3)20c ∴+=，解得2c =-
（Ⅲ）设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，且0,
0,m n m n >>≠，
2266m m c n n n c m
⎧-++=∴⎨-++=⎩，两式相减，得227()0n m m n -+-=，即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=，即7n m =-
2770m m c ∴-+-=，其中07m <<
由0∆…
，即2
74(1)(7)0c -⨯-⨯-…，得21
4
c -…. 当214c =-
时，7
2
m n ==，不合题意。

又70c ->，得7c <. ∴c 的取值范围是21
74
c -<< 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式，数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
4．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
【答案】（1）y=-350
x 2
+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】
试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．
（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．
试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
将B 、C 的坐标代入2
y ax c =+，得 6,
0100.c a c =⎧⎨=+⎩
解得3
,650
a c =-
=. ∴抛物线的表达式是2
3650
y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是23
56 4.550
N y =-
⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.
(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050
H y =-
⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
5．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）． （1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．
（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．
（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围． 【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5 【解析】 【分析】
（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；
（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

【详解】
（1）解：抛物线与x 轴有2个交点。

理由如下： ∵m≠0，∴b 2-4ac =（2m ）2-4×1×0=4m 2>0． ∴抛物线与x 轴有2个交点
（2）解：∵点A （-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上 ∴抛物线的对称轴x=51
22
n n -++-=
∴
221
m
⨯=2,即m=-2． ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x ．
∴点A （0，0），点B （4，0）或点A （4，0），点B （0，0），点M （2，-4） ∴△ABM 的面积为
1
2
×4×4=8 （3）解：方法一（图象法）：
∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．
当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．
此时，-m<2，即m>-2．
当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．
即m>-2.5．
综上所述，m 的取值范围m>-2.5 方法二（代数法）：
由已知得，p=4+4m ，g=9+6m ，r=16+8m ． ∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m ＞-2.5. 【点睛】
二次函数的综合应用题。

与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x 轴有两个交点。

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x 轴只有一个交点。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有
交点。

熟练运用顶点坐标（-2b a ，2
44ac b a
）
6．如图1，抛物线
经过平行四边形
的顶点
、
、，抛物线与轴的另一交点为
.经过点的直线将平行四边形
分割为面
积相等的两部分，与抛物线交于另一点
.点
为直线上方抛物线上一动点，设点
的横
坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
7．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P 从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．
（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；
（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？
（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2)
307;(3)见解析. 【解析】
【分析】
（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；
（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3
AM=AO+OM ，列方程可得t 的值； （3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值．
【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=
12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°，
∵AB=20，
∴OB=10，3
由题意得：AP=4t ，
∴PQ=2t ，3，
∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =
11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322
t t ⨯⨯⨯⨯ ， =﹣323（0＜t ＜5）；
（2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ，
∵点Q 关于O 的对称点为M ，
∴OM=OQ ，
设PM=x ，则AM=2x ，
∴AP=3x=4t ， ∴x=3
， ∴AM=2PM=
3， ∵AM=AO+OM ，
∴3
=103+103﹣23t ， t=307
； 答：当t 为
307
秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，
如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积，
∴S △APN =S △PMN ，
过M 作MG ⊥PN 于G ， ∴
11··22
PN AP PN MG ， ∴MG=AP ，
易得△APH ≌△MGH ， ∴3
， ∵AM=AO+OM ，
同理可知：3﹣3，
3
333t ， t=3011
． 答：当t 为
3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.
8．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2
y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.
（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD 长度的最大值为
94
. 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．
②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0
=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.
∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=
⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=
⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴
3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，
∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩
，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.
∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).
又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).
∴()
22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-
∴线段QD 长度的最大值为94
.
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=
14
x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=
14
x 2﹣x+1．（2）点P 的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F 的坐标为（2，1）．
【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值，根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A 、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-
12-12
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a （x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a ，解得：a=14
， ∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14
x 2-x+1． （2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得： 214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩
＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14
），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．
∵点B （4，1），直线l 为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），
将A （1，14
）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243
k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-
1312x+43， 当y=-1时，有-
1312x+43=-1， 解得：x=2813
， ∴点P 的坐标为（
2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，
∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，
∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．
∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，
∴n=14
m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（
14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，
∴
00
22
000
11
1
22
2220
230
y
x y
x y y
⎧
--
⎪
⎪
-+
⎨
⎪+--
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴0
2
1
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
10．如图，二次函数245
y x x
=-++图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数
2
1
5
y x
=+的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是 ______；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P，Q，使得DPQ
∆与DAB
∆
相似．
①当
27
5
n=时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个DPQ
∆与DAB
∆相似，请直接写出n的取值范围 ______．
【答案】（1）()
2,9；（2）①95
DP=②
921
55
n
<<.
【解析】
【分析】
（1）直接用顶点坐标公式求即可；
（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132
，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=
275时，N （2，275），可求
，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不
平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=
245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，
95＜n ＜215
. 【详解】
（1）顶点为()2,9D ；
故答案为()2,9；
（2）对称轴2x =， 9(2,)5
C ∴， 由已知可求5
(,0)2
A -， 点A 关于2x =对称点为13(
,0)2
， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，
①当275n =时，27(2,)5
N ，
DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，
DAC DPN ∆∆Q :，
DP DN DA DC
∴=，
DP ∴=
当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，
DNQ DCA ∴∆∆:，
DP DN DB DC
∴=，
DP ∴=
综上所述DP =
②当PQ AB ∥，DB DP =时， 35DB =， DP DN DA DC
∴=， 245DN ∴=
， 21(2,)5
N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，
92155n <<； 故答案为92155
n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物
线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点．
（1）求,A C 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．
【答案】解：（1）点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；；
（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝﹣
﹣ ； （3）PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为2，此时点P （2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，即可求解；
（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣﹣) ，即可求解； （3）2
2
4342
--++＝（）
PD x x x ，即可求解． 【详解】
解：（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，
故点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：2
34y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣
﹣)， 即﹣4a ＝﹣4，解得：a ＝1，
故抛物线的表达式为：2
34y x x --＝ ；
（3）直线CA 过点C ，设其函数表达式为：4y kx -＝， 将点A 坐标代入上式并解得：k ＝1， 故直线CA 的表达式为：y ＝x ﹣4， 过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，
∵OA ＝OC ＝4，
45OAC OCA ∴∠∠︒＝＝ ，
∵//PH y 轴，
45PHD OCA ∴∠∠︒＝＝，
设点234P x x x --（，）
，则点H （x ，x ﹣4）， 22
2
4342
2222
--+++＝（）
=-PD x x x x x
∵2
2
-
＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为22 此时点P （2，﹣6）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD ，是本题解题的关键
12．在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0)． (1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由； (3)应用：如图2，P(m ，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n ＝﹣1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(
12
2
x x +，12
2
y y +)．
【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；
(3)点N(
43，﹣73
)． 【解析】 【分析】
(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解； (2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；
(3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标． 【详解】
(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，
将点B 坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4， 解得：a ＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣3；
(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE ∥AO ，S △ODA ＝S △OEA ，
S △ODA +S △AOM ＝S △OEA +S △AOM ，即：S 四边形OMAD ＝S △OBM ， ∴S △OME ＝S △OBM ， ∴S 四边形OMAD ＝S △OBM ；
(3)设点P(m ，n)，n ＝﹣m 2+2m+3，而m+n ＝﹣1， 解得：m ＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；
如图2，故点D 作QD ∥AC 交PC 的延长线于点Q ，
由(2)知：点N 是PQ 的中点， 设直线PC 的解析式为y=kx+b ，
将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：0
45
k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩，
解得：1
1
k b =-⎧⎨
=-⎩，
所以直线PC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1…①， 同理可得直线AC 的表达式为：y ＝2x+2， 直线DQ ∥CA ，且直线DQ 经过点D(0，3)， 同理可得直线DQ 的表达式为：y ＝2x+3…②， 联立①②并解得：x ＝﹣43，即点Q(﹣43，13
)， ∵点N 是PQ 的中点， 由中点公式得：点N(43，﹣73
)． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N 是PQ 的中点，是本题解题的突破点．
13．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．
②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．
③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．
【答案】①2
65y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点
N 的横坐标为：4或5412+或541
2
． 【解析】 【分析】
①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线
上，所以2
50
505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：
265y x x =-+-；
②先求出点P 到BC 的高h 为2
sin 45(4)2
BP t ︒=
-，于是21122(4)2(2)222222
PBE S BE h t t t ∆=
⋅=⨯-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22
③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设(
)
2
,65N m m m -+-，则(,0)H m 、
(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即22NQ PQ ==4PN =，
Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()
2
5654m m m ---+-=解得1541
2
m =
，25412m =（舍
去），Ⅲ．4NH HP -=，(
)
2
65[(5)]4m m m --+----=，解得1541
m +=
（舍
去），252
m =． 【详解】
解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，
∴2
50505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
， ∴1a =-，6b =，
∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，
4PB t =-，2BE t =，
由①知，45OBC ︒∠=， ∴点P 到BC 的高h
为sin 45)BP t ︒=-，
∴211)22)22PBE S BE h t t t ∆=
⋅=-⨯=-+ 当2t =时，△PBE
的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC
的距离d =
过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设(
)
2
,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN
为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=， ∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；
Ⅱ．4NH HP +=， ∴(
)
2
5654m m m ---+-=
解得1m =
，2m =
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
∴541
m +=
， Ⅲ．4NH HP -=，
∴()
2
65[(5)]4m m m --+----=， 解得1541
2
m +=
，25412m -=，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
0m <，
∴541
2
m -=
， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或
541+或541
-． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
14．如图1，抛物线
经过平行四边形的顶点
、
、，抛物线与轴的另一交点为
.经过点的直线将平行四边形
分割为面
积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点
为直线上方抛物线上一动点，设点
的横
坐标为.
（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点
使
为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）当t=时，△PEF 的面积最大，其最
大值为
×
，
最大值的立方根为=
；（3）存在满足条件的点P ，t 的值为1或
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t 2+2t+3，AQ=t ，KE=3﹣t ，PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t ， ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°， ∴∠PAQ=∠KPE ，且∠PKE=∠PQA ， ∴△PKE ∽△AQP ， ∴
，即
，即t 2﹣t ﹣1=0，解得t=
或t=
＜﹣
（舍去），
综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或．
考点：二次函数综合题
15．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线
y=kx+
2
3
分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；
（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=
228233x x +-，BD 解析式为y=﹣22
33
x +；（2）t 的
值为4
9
、
15129
6
±
、
23
3
．（
3）N点坐标为（﹣2，﹣2），M点坐标为（﹣
3
2
，﹣5
4
），213.
【解析】
分析：（1）利用待定系数法求解可得；
（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；
（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．
详解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，
得
1680
20
a c
a c
-+=
⎧
⎨
++=
⎩
，
解得：
2
3
8
3
a
c
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴抛物线解析式为：y=2
28
2
33
x x
+-，
∵过点B的直线y=kx+2
3
，
∴代入（1，0），得：k=﹣2
3
，
∴BD解析式为y=﹣22
33
x+；
（2）由
2
28
2
33
22
33
y x x
y x
﹣
⎧
=+-
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
得交点坐标为D（﹣5，4），
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，
当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，。