2012年河北省中考数学试题(解析版)

2012年河北省中考数学试题
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
卷Ⅰ(选择题，共30分）
2．计算3
()ab 的结果是（ ）
A ．3ab
B ．3a b
C ．33
a b D ．3ab
［答案] C
［考点] 幂的相关运算：积的乘方
［解析］ 幂的运算法则中：()n
n n
ab a b =，依此得3
33
()ab a b = 解： 3
33
()ab a b =,故选C 。

3．图1中几何体的主视图是( ）
[答案］ A
[考点] 简单几何体的三视图：正视图
［解析］ 正视图是从正面看所得到的图形，从正面看所得到的图形。

解：正视看所得到的图形是A,故选A 。

4．下列各数中，为不等式组230
40x x ->⎧⎨
-<⎩
解的是（ ）
A ．1- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．4 ［答案］ C
［考点] 不等式：一元一次不等式组的解，
[解析] 一元一次不等式组解，是使得不等式组中每一个不等式都成立的x 的值。

解：验证：1x =时,230x ->不成立,淘汰A ； 0x =时，230x ->不成立，淘汰B ； 4x =时，40x -<不成立，淘汰D ，故选C.
5．如图2,CD 是O ⊙的直径，AB 是弦(不是直径）,AB CD ⊥于点E ,则下列结论正确的是（ ）
A ．AE BE >
B ．AD B
C = C ．1
2
D AEC =
∠∠ D ．ADE CBE △∽△
［答案] D
[考点］ 圆：圆周角定理、垂径定理、同弧上圆周角与圆心角的关系；相似三角形的判定. ［解析］ 本题逐一排查费时，容易证明ADE CBE △∽△，直接证明即可。

解：在ADE CBE △和△中
A C D
B ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩
（圆内同弧所对的圆周角相等）
ADE CBE ∴△∽△（两个角对应相等的两个三角形相似），故选D. 6．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ )
Ａ．每2次必有1次正面向上 B ．可能有5次正面向上 C ．必有5次正面向上 D ．不可能有10次正面向上 [答案］ B
［考点］ 概率：随机事件
［解析］ 掷一枚质地均匀的硬币是随机事件，因此A 、C 、D 都错误，故选D 。

7．如图3，点C 在AOB ∠的OB 边上,用尺规作出了CN OA ∥，作图痕迹中，FG 是（ ）
A ．以点C 为圆心,OD 为半径的弧 Ｂ．以点C 为圆心，DM 为半径弧 Ｃ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 Ｄ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧
[答案］ D
[考点］ 几何作图；全等三角形；平行线的性质。

[解析] 如图作图痕迹FG 使得EN DM =(以点E 为圆心，DM 为半径画弧),从而MOD NOE ∆≅∆，于是
O NCE ∠=∠，保证了CN OA ∥,故选D 。

8．用配方法解方程2
410x x ++=,配方后的方程是( ）
A ．2
(2)3x += Ｂ．2
(2)3x -= Ｃ．2
(2)5x -= Ｄ．2
(2)5x += ［答案］ A
［考点］ 一元二次方程的解法
[解析］ 一元二次方程的解法有：直接开方法,配方法，因式分解法，公式法,本题要求使用配方法，但作为选择题，还可以把各选项整理还原对比得出正确的选项.
解：观察符号对比，排除B 、C ，在A 、D 对比常数项可知道正确选项是A 。

9．如图4，在
ABCD 中,70A ∠=︒，将ABCD 折叠，使点D C 、分别落在点F 、E 处（点,F E 都在AB 所在
的直线上），折痕为MN ,则AMF ∠等于（ )
A ．70 Ｂ．40 Ｃ．30 Ｄ．20
[答案］ B
[考点] 平行四边形的性质，折叠对称，平行线性质，平角的意义 ［解析］ 依题意，图中有AB CD FE MN ∥∥∥, 所以70A DMN FMN ∠=∠=∠=︒,
再由平角意义得:18027040AMF =︒-⨯︒=︒∠, 故选B 。

10．化简
221
11x x ÷--的结果是（ ） A ．21x - B ．321
x -
C ．
2
1
x +
D ．2(1)x +
［答案] C
［考点］ 分式的运算，平方差公式 [解析]
2
2122
(1)11(1)(1)1
x x x x x x ÷=⋅-=--+-+，故选C 。

11．如图5，两个正方形的面积分别为16，9,两阴影部分的面积分别为a ，b ()a b >，则()a b -等于（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
[答案］ A
［考点] 正方形面积
［解析］ 考虑到用C 表示非阴影部分的面积,于是有:
16
9a c b c +=⎧⎨
+=⎩
，两式相减就得()7a b -=,故选A. 12．如图6，抛物线21(2)3y a x =+-与221
(3)12
y x =
-+交于点(13)A ，,过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B C ，．则以下结论： ①无论x 取何值,2y 的值总是正数． ②1a =．
③当0x =时，214y y -=． ④23AB AC =． 其中正确结论是（ ）
A ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④
［答案］ D
［考点] 二次函数：图象的性质，点的坐标与方程的关系
[解析] 本题勿须逐一对所给出的命题讨论其正确性,注意运用选择题的结构特点，用排除法容易得出正确选项。

解：
221
(3)12
y x =
-+开口向上，且与x 轴无交点，所以无论x 取何值,2y 的值总是正数,即①是正确的，从而排除B 、C 。

又,点()13A ，是1y 、2y 的交点,即点()13A ，在2
1(2)3y a x =+-上
22
3(12)313
a a ∴=+-⇒=
≠，从而排除A ，故选D 。

卷Ⅱ(非选择题，共9 0分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上) 13．5-的相反数是 ． ［答案] 5
[考点］ 有理数的意义：相反数
[解析］ 求一个数或代数式的相反数的方法：在这个数或代数式的前面添上“-”化简即可。

解：
(5)5--=,5-的相反数是5.
14．如图7，AB CD ，相交于点O ，AC CD ⊥于点C ，若BOD ∠=38,则A ∠等于 ．
[答案］ 52︒
［考点] 对顶角相等，直角三角形两锐角互余
[解析] 观察图形得知BOD ∠与AOC ∠是对顶角，AOC BOD ∴∠︒=∠=38，又在Rt ACO ∆中，两锐角互余,52A ∴∠︒︒=︒=90-38
15．已知1y x =-，则2
()()1x y y x -+-+的值为 ． [答案］ 1
[考点] 代数化简求值，整体代入思想
[解析］ 观察两式共有()x y -，将其看为一个整体，本题可轻松得解。

解：11y x x y =-⇒-=，2
2
()()1()()1111x y y x x y x y ∴-+-+=---+=-+
16．在12⨯的正方形网格格点上放三枚棋子，按图8所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 ．
[答案］
34
[考点］ 概率：用概率公式计算简单事件发生的概率
[解析] 12⨯的正方形网格格点共有六个,已经放置好两枚棋子，第三枚棋子所在的格点可以有4个，能使这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的格点可以有3个，根据概率公式可得所求概率为：34。

17．某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺
序数的倒数加1，第1位同学报1(1)1+，第2位同学报1(1)2+，第3位同学报1(1)3
+…这样得到的20个数的积为 ． [答案］ 21
［考点］ 分类归纳:数字规律，分数运算
[解析］ 把每位同学依次报的数相加后规律呈现，运算得出结果。

解：111123421
(1)(1)(1)
(
1)21123
20123
20
++++=⨯⨯⨯⨯
= 18．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如
图91-，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图92-，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 ．
［答案] 6
[考点］ 正n 边形内角和定理:(2)180n -⨯︒，周角定义。

［解析] 观察到相邻的两个正多边形有一条公共边，围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角与外面正多边形的两个内角必形成一个周角,不难求得n 的值为6. 解：验证图9-1，正八边形的一个内角82
1801358
-=
⨯︒=︒，围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角360213590=︒-⨯︒=︒，
2
180904n n n
-⨯︒=︒⇒=,所以用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形。

由此可得：正六边形的一个内角62
1801206
-=
⨯︒=︒，围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角3602120120=︒-⨯︒=︒，
2
1801206n n n
-⨯︒=︒⇒=，所以用6个全等的正六边形按这种方式拼接，围成一圈后中间形成一个正六边形.
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分8分)计算:0
2
11
53)6()(1)32
--+⨯-+-． ［答案］ 4
［考点] 实数混合运算：绝对值;零指数幂；运算分配律;幂的乘方
［解析] 分别计算：负数的绝对值是它的相反数5(5)5⇒-=--=；任何非零数的零次方都等于
103)1⇒=；运用乘法分配律1111
6()662313232
⇒⨯-=⨯-⨯=-=-；负数的偶数次方为正数；1的任何数次方都为122(1)11⇒-==，再把各结果合并即可. 解：原式51(23)14=-+-+=
20．（本小题满分8分)如图10，某市A B ，两地之间有两条公路，一条是市区公路AB ，另一条是外环公路
AD DC CB --。

这两条公路转成等腰梯形ABCD ,其中
DC AB AB AD DC ∥，::=10:5:2.
（1） 求外环公路总长和市区公路长的比；
（2） 某人驾车从A 地出发，沿市区公路去B 地，平均速度是40km/h ，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h ，
结果比去时少用了
1
10
h ，求市区公路的长。

[答案］(1）6
5∶；(2)10km 。

[考点] 等腰梯形及周长，行程运用题。

［解析］（1）由105AB AD DC
=::::2，可设10AB x =、则5AD x =、2DC x =,又，等腰梯形ABCD ，
DC AB ∥，所以，外环公路总长和市区公路长的比是:()(525)1065AD DC CB AB x x x x ++=++=∶∶∶
（2）由（1）可设外环公路总长为6s ,则市区公路长为5s ，依题意得方程：
61
240
8010
5s s s
-
=⇒=，所以，市区公路长为510()s km = 21．（本小题满分8分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训,两人各射了5箭，他们的总成绩
（单位:环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业)．
（1）a =___________，x 乙=__________；
（2）请完成图11中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图11，可看出______的成绩比较稳定（填“甲"或“乙”）.参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断。

②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
[答案］ （1）4,6（2)略（3）①乙，2
6S =乙②乙. ［考点] 统计:折线统计图，算术平均数，方差
[解析] 用统计表分析数据；比较数据：从平均成绩分析，可得谁的成绩好些，分析数据的方差，可得谁的成绩稳定些
解：(1)由统计表得甲、乙的总成绩分别是：30、26a +,因为两人的总成绩相同， 4a ∴=，30
65
x =
=乙；
（2）完成乙的折线统计图，如图所示；
（3）①观察图11，可看出 乙 的成绩比较稳定；参照小宇的计算方法，得：
2
222221
[(76)(56)(76)(46)(76)]5s =
-+-+-+-+-乙 18
(11141) 1.655
=++++==
②6x x ==乙甲,所以甲乙的平均水平一样，但由于22
S S <乙
甲，所以乙的成绩稳定，上述判断正确，乙将被选中.
22．（本小题满分8分)如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)m
y x x
=
>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点。

（1）求反比例函数的解析式；
(2）通过计算,说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；
（3)对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）.
[答案]（1）2
(0)y x x
=
>；（2）略；（3）233P x <<。

[考点] 平行四边形的性质；反比例函数;一次函数;点的坐标与函数解析式的关系.
［解析] (1）求反比例函数的解析式,只需确定图象上一个点的坐；（2）图象一定过点即点的坐标是解析式的解；(3)一次函数y 随x 的增大而增大，即0k >。

解：(1）
四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，
2AD BC ∴=∥，且BC x ⊥轴， AD x ∴⊥轴，(1,2)D ∴且在(0)122m
y x m xy x
=>⇒==⨯=上 ∴反比例函数的解析式为2
(0)y x x
=> （2）
33(0)y kx k k =+-≠在中,当3x =时,3333(0)y k k k =⋅+-=≠
∴一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C
（3） 一次函数33(0)y kx k k =+-≠,当y 随x 的增大而增大时，0k >，如图,只有P 在2
y x
=
的EF 时满足条件，P ∴横坐标的取值范围是：2
33
P x <<。

23．（本小题满分9分）如图131-，点E 是线段BC 的中点,分别以B C ，为直角顶点的EAB EDC △和△均是等
腰直角三角形，且在BC 的同侧．
（1）AE ED 和的数量关系为___________，
AE ED 和的位置关系为___________；
（2）在图131-中，以点E 为位似中心，作EGF △与EAB △位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接
GH HD ，，分别得到了图132-和图133-；
①在图132-中,点F 在BE 上，EGF EAB △与△的相似比是1:2，H 是EC 的中点。

求证：.GH HD GH HD =⊥，
②在图133-中，点F 在BE 的延长线上，EGF EAB △与△的相似比是k :1，若2BC =，请直接写出
CH 的长为多少时，恰好使得GH HD GH HD =⊥且(用含k 的代数式表示）
．
[答案］(1)AE ED =、AE ED ⊥；(2）①略；②CH k =。

[考点］ 三角形：等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定的性质，相似三角形的性质. ［解析］（1）如图131-，
点E 是线段BC 的中点，BE CE ∴=，又EAB EDC △和△均是等腰直角三角形，
45AEB DEC ∴∠=∠=︒，B C Rt ∴∠=∠=∠，于是()EAB EDC
ASA ≅△△,AE ED ∴=、AE ED ⊥；
（2）①在图132-中，通过证明()GFH HCD
SAS ≅△△,即可得GH HD GH HD =⊥，；②在图133-中，
EGF △与EAB △的相似比是k :1，又2BC =，1AB BE ∴==,EF GF CH k ∴===时，恰好使得
GH HD GH HD =⊥且。

24．(本小题满分9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长（单位:cm ）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：2
cm ）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．
（1） 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2） 已知出厂一张边长为40cm 的薄板,获得的利润是26元（利润=出厂价-成本价）.
① 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；
② 当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式:抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2
4()24b ac b a a
--，。

解:依题意,设2
y ax =成本价，(550)y kx b x =+<<出厂价，则y y y =-利润出厂价成本价 （1)在(550)y kx b x =+<<出厂价中，20x =时，50y =；30x =时，70y = 20502
307010
k b k k b b +==⎧⎧∴⇒⇒⎨
⎨+==⎩⎩210(550)y x x =+<<出厂价
（2）y y y =+利润出厂价成本价2
210x ax =+-，且40x =时,26y = 2
124010402625125
a a a ∴⨯+-⋅=⇒=⇒= 2
121025
y x x ∴=-++利润 （3）在2121025y x x =-
++利润中,由参考公式，1
252252()
x =-=⨯-,且52550<<
所以，出厂一张边长为25cm 的薄板获得的利润最大，最大利润是 21
25225102550103525
y =-
⨯+⨯+=-++=最大利润（元）。

25．(本小题满分10分）如图14，(50)(30).A B --，，
，点C 在y 轴的正半轴上，CBO ∠=45，CD AB ∥,90CDA =∠.点P 从点(40)Q ，出发,沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒。

（1） 求点C 的坐标；
（2） 当15BCP =∠时,求t 的值；
（3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，当P ⊙与四边形ABCD 的边（或边所在的直
线)相切时，求t 的值．
［答案]（1）(0,3)C ；（2）43+(3）1,或4，或5.6.
［考点] 直角坐标系，直角三角形性质,特殊角有三角函数值,勾股定理，动点行程问题，圆的切线性质. ［解析]（1）如图，CBO ︒∠=45，CBO ∴∆是直角三角形，故3CO BO ==，即(0,3)C ; (2）1530BCP PCO =︒⇒=︒∠∠,在PCO ∆中,tan 3OP OC PCO =⋅∠= 431
QO OP
t +∴=
=+； （3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，P ⊙与四边形ABCD 的边相切，有三种情况： ①P ⊙与BC 边相切时,C 是切点，如图14(3)1-,此时，PC BC ⊥，
CBO ︒∠=45，3PO BO CO ∴===
431QP OQ OP ∴=-=-=，11
QP
t ∴=
= ②P ⊙与DC 边相切时，C 是切点，如图14(3)2-，此时,PC OC 与重合, 4QP ∴=，41
QP
t ∴=
= ③P ⊙与AD 边相切时,A 是切点,如图14(3)3-，此时，PA PC =，设PO x =，则在Rt POC ∆中，由勾股
定理得：2
2
2
PC PO CO -=,22
(5)95(52)9 1.6x x x x --=⇒-=⇒=
4 1.6 5.6QP QO OP ∴=+=+=， 5.61
QP
t ∴=
= 综上所述，满足条件的t 值共有三个,即，1，或4,或5.6.
26．(本小题满分12分）如图151-和图152-，在ABC △中，13AB =， 5
14cos .13
BC ABC ==，
∠ 探究 如图151-,AH BC ⊥于点H ,则AH =_______，AC =_______， ABC △的面积
ABC S △=___________．
拓展 如图152-，点D 在AC 上（可与点A C ，重合）,分别过点A C ，作直线BD 的垂线，垂足为E F ，.设BD x =,.AE m CF n ==，(当点D 与点A 重合时,我们认为ABC S △=0. （1)用含x m ，或n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；
（2）求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值． (3)对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围.
发现 请你确定一条直线，使得A B C ，，三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值。

［答案］ 探究12；15;84.（2）
［考点] 解直角三角形，特殊角有三角函数值，三角形面积，动点，勾股定理.
[解析］ 探究 在ABH Rt △中,513,cos 13
AB ABC ==
∠ 12AH ∴=，于是222212915AC AH HC =+=+=
11
14128422
ABC S BC AH =
⋅=⨯⨯=△。