高中数学第一章集合与常用逻辑用语集合及其表示方法学案新人教B版必修第一册

1.1 集合
1．1.1集合及其表示方法
课程标准
(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
(3)在具体情境中，了解空集的含义．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一集合的概念
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．
知识点二元素与集合的表示及关系
1．元素与集合的符号表示
表示{元素：通常用英文小写字母________表示．集合：通常用英文大写字母________表示．
2．元素与集合的关系
1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A ”这两种结果．
2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
3．集合中元素的特征
5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；
在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；
所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；
所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
知识点三集合的表示
1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．
2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
状元随笔
1．列举法表示集合时的5个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素是无序的．
(5)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
知识点四区间及其表示
1．区间的几何表示
2.可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．
3．无穷大的几何表示
状元随笔
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
基础自测
1．下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )
A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}
3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )
A．0B．1
C．－1D．0或1或－1
4．用区间表示下列集合：
≤x＜5}＝________；
(1){x|−1
2
(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 集合的概念[经典例题]
例1 下列对象能构成集合的是( )
①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；
构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；
③2019年诺贝尔经济学奖得主；
④大于等于0的整数；
⑤我校所有聪明的学生．
A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④
方法归纳
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数B．等于2的数
C．接近于0的数D．不等于0的偶数
题型2 元素与集合的关系[经典例题]
例2 (1)下列关系中，正确的有( )
①1
∈R；②√2∉Q；③|－3|∈N；④|－√3|∈Q.
2
A．1个B．2个
C．3个D．4个
(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
a分类处理：
①a＝0，a＝1，a＝2；
②a＝3，a＝4.
还讨论吗？
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出
即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．
跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )
A.0∉N
B．√2∈Q
C．π∉R
D．√4∈Z
N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．
∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
(2)集合A中的元素x满足6
3−x
题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]
例3 用列举法表示下列集合：
找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．
(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；
(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．
(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．
方法归纳
1．用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点
(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．
(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合． 跟踪训练3 用列举法表示下列集合： (1)方程组{2x −3y =14，
3x +2y =8
的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2
－2x ＋1＝0的实数根组成的集合．
题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]
例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .
状元随笔描述法注意元素的共同特征．
(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )
A．d∈M B．d∈N
C．d∈P D．d∈M且d∈N
(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．
方法归纳
1．描述法表示集合的两个步骤
2．用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，
{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x ∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．
教材反思
列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．
跟踪训练4 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；
(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．
(3)不等式组{3x −2≥1，2x −1<5
的解集；
(4)二次函数y ＝x 2
＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．
题型5 用区间表示集合[数学运算、直观想象] 例5 用区间表示下列集合：
(1)3x －4<0的所有解组成的集合A ＝________； (2)2x ＋6≥0的所有解组成的集合B ＝________．
方法归纳
方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．
(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用． 跟踪训练5 用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5；(2)－3<x ≤4；(3)2≤x <5； (4)x ≤4；(5)x >－3；(6)x ≥－4.
易错点 忽略集合中元素的互异性出错
例 含有三个元素的集合{a ，b
a ，1}，也可表示为集合{a 2
，a ＋b ，0}，求a ，b 的值． 【错解】 ∵{a ，b
a ，1}＝{a 2
，a ＋b ，0}，
∴{a +b
a +1=a 2+(a +
b )+0，a ·b
a ·1=a 2·(a +
b )·0， 解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.
【正解】 ∵{a ，b
a ，1}＝{a 2
，a ＋b ，0}，
∴{a +b
a
+1=a 2+(a +b )+0，a ·b a
·1=a 2·(a +b )·0，
解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.
由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】
1．1 集合
1．1.1 集合及其表示方法
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
1．a，b，c，…A，B，C，…
2．a∈A a∉A
知识点三
1．一一列举列举法
知识点四
2．(－∞，＋∞)
[基础自测]
1．解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案：C
2．解析：∵x－3<2，x∈N*，
∴x<5，x∈N*，
∴x＝1，2，3，4.故选B.
答案：B
3．解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2＝1.则a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.
若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.
若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.
答案：C
≤x<5} 4．解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－1
2
＝[−1
，5).
2
(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].
答案：(1)[−1
，5)(2)(－∞，1)∪(2，3]
2
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．
【答案】 D
跟踪训练1 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C.
答案：C
例2 【解析】 (1)12
是实数，√2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－√3|＝√3是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0，4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1，3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
跟踪训练2 解析：(1)A.N 为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.√2是无理数，Q 是有理数集合，√2∉Q ，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R ，故本选项错误；D.√4＝2，2是正整数，则√4∈Z ，故本选项正确．故选D.
(2)由63−x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63−x >0，且x ≠3，
故0≤x <3.又x ∈N ，故x ＝0，1，2.
当x ＝0时，63−0＝2∈N ，当x ＝1时，63−1＝3∈N ， 当x ＝2时，63−2＝6∈N .
故集合A 中的元素为0，1，2.
答案：(1)D (2)0，1，2
例3 【解析】 (1)因为0和1是方程x (x －1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A ＝{0，1}．
(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．
(4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为(12，0)，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为{(0，−1)，(12，0)}.
跟踪训练3 解析：(1)解方程组{2x −3y =14，3x +2y =8，得{x =4，y =−2，
故解集可用描述法表示为
{(x ，y)|{x =4，y =−2
}，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．
(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．
例4 【解析】 (1)因为集合B 的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B ＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．
(2)由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2.
令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选
B.
【解析】(3)当m ＝0时，方程mx 2
＋2x ＋m ＝0为2x ＝0，解得x ＝0，A ＝{0}；
当m ≠0时，若集合A 只有一个元素，
则一元二次方程mx 2＋2x ＋m ＝0有两个相等实根，
所以判别式Δ＝22－4m 2＝0，解得m ＝±1；
综上，当m ＝0或m ＝±1时，集合A 只有一个元素．
所以m 的值组成的集合是{－1，0，1}．
【答案】 (1)见解析 (2)B (3){－1，0，1}
跟踪训练4 解析：(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．
(2){(x ，y)|−1≤x ≤32，−12≤y ≤1，且xy ≥0}. (3)由{3x −2≥1，2x −1<5，得{x ≥1，x <3，
所以不等式组{3x −2≥1，2x −1<5
的解集为[1，3)． (4)二次函数y ＝x 2
＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．
例5 【解析】 (1)因为3x －4<0，
所以3x <4，即x <43，所以A ＝{x|x <43}，
用区间表示为：A ＝(−∞，43).
(2)因为2x ＋6≥0，
所以2x ≥－6，
即x ≥－3，所以B ＝{x |x ≥－3}，
用区间表示为：B＝[－3，＋∞)．
)(2)[－3，＋∞) 【答案】(1)(−∞，4
3
跟踪训练5 答案：(1)(－2，5)．
(2)(－3，4].
(3)[2，5)．
(4)(－∞，4].
(5)(－3，＋∞)．
(6)[－4，＋∞)．。