苏教版七年级上册数学 压轴解答题同步优质(Word版 含答案)

苏教版七年级上册数学 压轴解答题同步优质（Word 版 含答案）
一、压轴题
1．（阅读理解）如果点M ，N 在数轴上分别表示实数m ，n ，在数轴上M ，N 两点之间的距离表示为MN m n(m n)=->或MN n m(n m)=->或m n -．
利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A 与点B 的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B 在点A 的右侧，点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．
()1点A 表示的数为______，点B 表示的数为______．
()2用含t 的代数式表示P 到点A 和点C 的距离：PA =______，PC =______．
()3当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒4个单位的速度向C 点运动，Q 点到
达C 点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A ，在点Q 开始运动后，P 、Q 两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P 表示的数；如果不能，请说明理由．
2．点A 、B 在数轴上分别表示数,a b ，A 、B 两点之间的距离记为AB ．我们可以得到
AB a b =-：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ；数轴上表示1和a 的两点之间的距离是 ．
（2）若点A 、B 在数轴上分别表示数-1和5，有一只电子蚂蚁在数轴上从左向右运动，设电子蚂蚁在数轴上的点C 对应的数为c ．
①求电子蚂蚁在点A 的左侧运动时AC BC +的值，请用含c 的代数式表示； ②求电子蚂蚁在运动的过程中恰好使得1511c c ，c 表示的数是多少？ ③在电子蚂蚁在运动的过程中，探索1
5c c 的最小值是 ．
3．如图，数轴上点A 、B 表示的点分别为-6和3
（1）若数轴上有一点P ，它到A 和点B 的距离相等，则点P 对应的数字是________（直接写出答案）
（2）在上问的情况下，动点Q 从点P 出发，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左移动，是否存在某一个时刻，Q 点与B 点的距离等于 Q 点与A 点的距离的2倍？若存在，求出点Q 运动的时间，若不存在，说明理由．
4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|7﹣
6|=7﹣6；|6﹣7|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7+21|=______；②|﹣
1
2+0.8|=______；③23.2 2.83
--=______； （2）用合理的方法进行简便计算：1111924233202033⎛⎫
-++---+ ⎪⎝⎭
（3）用简单的方法计算：|
13﹣12|+|14﹣13|+|15﹣14|+…+|12004﹣
1
2003
|． 5．如图，相距10千米的A B 、两地间有一条笔直的马路，C 地位于A B 、两地之间且距A 地
4千米，小明同学骑自行车从A 地出发沿马路以每小时5千米的速度向B 地匀速运动，当
到达B 地后立即以原来的速度返回，到达A 地停止运动，设运动时间为(时)，小明的位置为点P .
(1)当0.5=t 时，求点P C 、间的距离
(2)当小明距离C 地1千米时，直接写出所有满足条件的t 值 (3)在整个运动过程中，求点P 与点A 的距离(用含的代数式表示) 6．某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过200元，不给于优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折； 已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？
（3）某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由． 7．如图，已知150AOB ∠=，将一个直角三角形纸片(90D ∠=)的一个顶点放在点O 处，现将三角形纸片绕点O 任意转动，OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD ∠. （1）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部)，若
30COD ∠=，则MON ∠=_______；
（2）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部)，若射线OD 恰好平分MON ∠，若8MON COD ∠=∠，求COD ∠的度数;
（3）将三角形纸片绕点O 从OC 与OA 重合位置逆时针转到OD 与OA 重合的位置，猜想在转动过程中COD ∠和MON ∠的数量关系？并说明理由.
8．已知线段AD ＝80，点B 、点C 都是线段AD 上的点．
（1）如图1，若点M 为AB 的中点，点N 为BD 的中点，求线段MN 的长；
（2）如图2，若BC ＝10，点E 是线段AC 的中点，点F 是线段BD 的中点，求EF 的长； （3）如图3，若AB ＝5，BC ＝10，点P 、Q 分别从B 、C 出发向点D 运动，运动速度分别为每秒移动1个单位和每秒移动4个单位，运动时间为t 秒，点E 为AQ 的中点，点F 为PD 的中点，若PE ＝QF ，求t 的值．
9．对于数轴上的,,A B C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两点的“倍联点”. 例如数轴上点,,A B C 所表示的数分别为1，3，4，满足2AB BC =，此时点B 是点,A C 的“倍联点”.
若数轴上点M 表示3-，点N 表示6，回答下列问题：
（1）数轴上点123,,D D D 分別对应0，3. 5和11，则点_________是点,M N 的“倍联点”，点N 是________这两点的“倍联点”；
（2）已知动点P 在点N 的右侧，若点N 是点,P M 的倍联点，求此时点P 表示的数.
10．已知：∠AOB ＝140°，OC ，OM ，ON 是∠AOB 内的射线．
（1）如图1所示，若OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数： （2）如图2所示，OD 也是∠AOB 内的射线，∠COD ＝15°，ON 平分∠AOD ，OM 平分∠BOC ．当∠COD 绕点O 在∠AOB 内旋转时，∠MON 的位置也会变化但大小保持不变，请求出∠MON 的大小；
（3）在（2）的条件下，以∠AOC ＝20°为起始位置（如图3），当∠COD 在∠AOB 内绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转t 秒，若∠AON ：∠BOM ＝19：12，求t 的值．
11．如图1,射线OC 在∠AOB 的内部,图中共有3个角:∠AOB 、∠AOC 和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍,则称射线OC 是∠AOB 的“奇分线”，如图2,∠MPN=42°: (1)过点P 作射线PQ,若射线PQ 是∠MPN 的“奇分线”,求∠MPQ ；
(2)若射线PE 绕点P 从PN 位置开始,以每秒8°的速度顺时针旋转,当∠EPN 首次等于180°时停止旋转,设旋转的时间为t (秒).当t 为何值时,射线PN 是∠EPM 的“奇分线”?
12．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135︒，②120︒，③75︒，④25︒中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.
①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；
②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由.
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一、压轴题
1．（1）2412--；
；（2）2t ；362t -；（3）P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226
,33
． 【解析】 【分析】
()1因为点A 在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A 表示数24-；点B 在点A 右侧且与点A 的距离为12个单位长度，故点B 表示：241212-+=-；()2因为点P
从点A 出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C 运动，则t 秒后点P 表示数
242t(0t 18-+≤≤，令242t 12-+=，则t 18=时点P 运动到点C)，而点A 表示数
24-，点C 表示数12，所以()PA 242t 242t =-+--=，
PC 242t 12362t =-+-=-；()3以点Q 作为参考，则点P 可理解为从点B 出发，设点
Q 运动了m 秒，那么m 秒后点Q 表示的数是244m -+，点P 表示的数是122m -+，再分两种情况讨论：①点Q 运动到点C 之前；②点Q 运动到点C 之后． 【详解】
()1设A 表示的数为x ，设B 表示的数是y ．
x 24=，x 0<
∴x 24=- 又
y x 12-=
y 241212.∴=-+=-
故答案为24-；12-．
()2由题意可知：
t 秒后点P 表示的数是()242t 0t 18-+≤≤，点A 表示数24-，点C
表示数12
()PA 242t 242t ∴=-+--=，PC 242t 12362t =-+-=-．
故答案为2t ；362t -．
()3设点Q 运动了m 秒，则m 秒后点P 表示的数是122m -+．
①当m 9≤，m 秒后点Q 表示的数是244m -+，则
()PQ 24m 4m 122m 2=-+--+=，解得m 5=或7，
当m=5时，-12+2m=-2， 当m=7时，-12+2m=2，
∴此时P 表示的是2-或2；
②当m 9>时，m 秒后点Q 表示的数是()124m 9--，
则()()PQ 124m 9122m 2=----+=， 解得2931m 33
或=， 当m=293时，-12+2m=223， 当m=
313时，-12+2m=263
， 此时点P 表示的数是
2226
33
或． 答：P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226
,33
． 【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2．（1）3，3，1a -；（2）①42c -；②72-或15
2
；③6 【解析】 【分析】
（1）根据两点间的距离公式解答即可；
（2）①根据两点间的距离公式可得AC 与BC 的值，然后根据绝对值的性质化简绝对值，进一步即可求出结果；
②分电子蚂蚁在点A 左侧、在点A 、B 之间和在点B 右侧三种情况，先根据两点间的距离和绝对值的性质化简绝对值，再解方程即可求出答案； ③代数式1
5c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之和，
于是可确定当15c -≤≤时，代数式15c c 取得最小值，据此解答即可．
【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是523-=； 数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是()()253---=； 数轴上表示1和a 的两点之间的距离是1a -； 故答案为：3，3，1a -； （2）①∵电子蚂蚁在点A 的左侧，
∴11AC c c =--=--，55BC c c =-=-，
∴1542AC BC c c c +=--+-=-；
②若电子蚂蚁在点A 左侧，即1c <-，则10c +<，50c -<， ∵1
511c c ，
∴()()1511c c -+--=，解得：72
c =-
； 若电子蚂蚁在点A 、B 之间，即15c -≤≤，则10c +>，50c -<， ∵1
511c c ，
∴15611c c ++-=≠，故此种情况不存在；
若电子蚂蚁在点B 右侧，即5c >，则10c +>，50c ->， ∵1
511c c ，
∴()()1511c c ++-=，解得：152
c =； 综上，c 表示的数是72-或152
； ③∵代数式15c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之
和，
∴当15c -≤≤时，代数式15c c 的最小值是()516--=，
即代数式15c c 的最小值是6．
故答案为：6． 【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的化简和应用以及简单的一元一次方程的解法等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 3．（1）-1.5；（2）存在这样的时刻，点Q 运动的时间为0.5秒或4.5秒． 【解析】 【分析】
（1）根据同一数轴上两点的距离公式可得结论；
（2）分两种情况：当点Q 在A 的左侧或在A 的右侧时，根据Q 点与B 点的距离等于Q 点与A 点的距离的2倍可得结论； 【详解】
解：（1）数轴上点A 表示的数为-6；点B 表示的数为3； ∴AB=9；
∵P 到A 和点B 的距离相等， ∴点P 对应的数字为-1.5.
（2）由题意得：设Q 点运动得时间为t ，则QB=4.5+3t ，QA=4.53t - 分两种情况：
①点Q 在A 的左边时，4.5+3t=2()4.53t -，
t=0.5，
②点Q 在A 的右边时，4.5+3t=2()3 4.5t -， t=4.5，
综上，存在这样的时刻，点Q 运动的时间为0.5秒或4.5秒． 【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论． 4．（1）①7+21；②10.82- ；③22.8 3.23
+-；（2）9；（3）1001
2004． 【解析】 【分析】
（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0即可得出结论；
（2）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可； （3）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可． 【详解】
解：（1）①|7+21|=21+7； 故答案为：21+7； ②11
0.80.822
-
+=-； 故答案为：1
0.82
-； ③23.2 2.83--
=2
2.8
3.23
+- 故答案为：2
2.8
3.23
+-； （2）原式=1111924233202033
-++- =9 （3）原式 =11111111 (23344520032004)
-+-+-++- =11
22004- =
1001
2004
【点睛】
此题考查了有理数的加减混合运算，此题的难点把互为相反的两个数相加，使运算简便．做题时，要注意多观察各项之间的关系．
5．（1）1.5k ；（2）317
,1,3,55
h h h h ；（3）5，20-5t 【解析】 【分析】
(1)根据速度，求出t=0.5时的路程，即可得到P 、C 间的距离；
(2)分由A 去B ，B 返回A 两种情况，各自又分在点C 的左右两侧，分别求值即可； (3)PA 的距离为由A 去B ，B 返回A 两种情况求值. 【详解】
(1)由题知: 5/,4, 10v km h AC km AB km ===
当0.5t h =时,50.5 2.5s vt kom ==⨯=，即 2.5AP km =
425 1.5PC AC AP k ∴=-=-=
()2
当小明由A 地去B 地过程中： 在AC 之间时， 413
55t -==（小时）， 在BC 之间时， 41
15
t +=
=（小时）， 当小明由B 地返回A 地过程中： 在BC 之间时， 10241
35t ⨯--==（小时）， 在AC 之间时， 102(41)17
55t ⨯--=
=（小时），
故满足条件的t 值为：
317,1,3,55
h h h h (3)当小明从A 运动到B 的过程中，AP=vt= 5, 当小明从B 运动到A 的过程中，AP= 20-vt= 20- 5t. 【点睛】
此题考查线段的和差的实际应用，掌握题中运用的行程题的公式，正确理解题意即可正确解题.
6．（1）甲超市实付款352元，乙超市实付款 360元；（2）购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同；（3）该顾客选择不划算. 【解析】 【分析】
（1）根据两超市的促销方案，即可分别求出：当一次性购物标价总额是400元时，甲、乙两超市实付款；
（2）设当标价总额是x 元时，甲、乙超市实付款一样．根据两超市的促销方案结合两超市实付款相等，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设购物总额是x 元，根据题意列方程求出购物总额，然后计算若在甲超市购物应付款，比较即可得出结论．
【详解】
（1）甲超市实付款：400×0.88=352元，乙超市实付款：400×0.9=360元； （2）设购物总额是x 元，由题意知x >500，列方程： 0.88x =500×0.9+0.8(x -500) ∴x =625
∴购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同．
（3）设购物总额是x 元，购物总额刚好500元时，在乙超市应付款为：500×0.9=450(元)，482＞450，故购物总额超过500元．根据题意得： 500×0.9+0.8(x -500)=482 ∴x =540 ∴0.88x =475.2<482 ∴该顾客选择不划算． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据两超市的促销方案，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）求出购物总额． 7．（1）90︒；（2）COD=10∠︒；（3）1
752
MON COD ∠=∠+︒，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）利用角平分线定义得出1
2
AOM MOC AOC x ∠=∠=
∠=，1
2
BON DON BOD y ∠=∠=∠=，再利用∠AOB 的和差关系进行列方程即可求解；
（2）利用8MON COD ∠=∠，表达出∠AOC 、∠BOD ，利用∠AOB 的和差关系进行列方程即可求解；
（3）画出图形后利用角的和差关系进行计算求解即可． 【详解】
解：（1）∵OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD ∠． ∴OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD
∴设11
,22
AOM MOC AOC x BON DON BOD y ∠=∠=∠=∠=∠=∠=
∴2,2AOC x BOD y ∠=∠=，30MON MOC COD DON x y ∠=∠+∠+∠=+︒+
∵2302150AOB AOC BOD COD x y ∠=∠+∠+∠=+︒+=︒ ∴60x y +=︒
∴3090MON x y ∠=+︒+=︒ 故答案为: 90︒
（2）∵8MON COD ∠=∠ ∴设=,8COD a MON a ∠∠=
∵射线OD 恰好平方MON ∠
∴14,2
DOM DON MON a ∠=∠=
∠= ∴43,COM DOM COD a a a ∠=∠-∠=-= ∵OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD ∠．
∴OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD
∴113,422
AOM MOC AOC a BON DON BOD a ∠=∠=
∠=∠=∠=∠= ∴6,8AOC a BOD a ∠=∠= ∵68150AOB AOC BOD COD a a a ∠=∠+∠+∠=++=︒
∴=10a ︒
∴COD=10∠︒
(3) 1752
MON AOC ∠=
∠+︒,证明如下： 当OC 与OA 重合时，设∠COD=x,则150150BOD AOB COD COD x ∠=∠-∠=︒-∠=︒-
∵ON 平分∠BOD
∴117522
DON BOD x ∠=
∠=︒- ∴MON COD DON ∠=∠+∠ 1752
x x =+︒- 1752
x =︒+ ∴1752
MON COD ∠=︒+∠
当OC 在OA 的左侧时
设∠AOD=a ，∠AOC=b ，则∠BOD=∠AOB -∠AOD=150°-a ，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b
∵ON 平分∠BOD
∴117522
DON BOD a ∠=
∠=︒- ∵OM 平分∠AOC
∴1122
AOM COM AOC b ∠=∠=∠= ∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON
117522b a a =++︒- 117522
b a =++︒ 1752
COD =∠+︒
当OD 与OA 重合时
∵ON 平分∠AOB
∴1752
AON AOB ∠=
∠=︒ ∵OM 平分∠AOC ∴12
MON AOC ∠=∠ ∴MON MOD AON ∠=∠+∠ 1752
AOC =∠+︒ 综上所述 1752MON AOC ∠=
∠+︒ 【点睛】
本题考查了角平分线的动态问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．（1）MN ＝40；（2）EF=35；（3）509
=
t 或t ＝12． 【解析】
【分析】 （1）由MN ＝BM+BN ＝
1122
AB BD +即可求出答案； （2）根据EF ＝AD ﹣AE ﹣DF ，可求出答案；
（3）可得PE ＝AE ﹣AB ﹣BP ＝52t +，DF ＝752t -，则QF ＝55722t -或75522
t -，由PE ＝QF 可得方程，解方程即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵M 为AB 的中点，N 为BD 的中点， ∴12BM AB =，12BN BD =， ∴MN ＝BM+BN ＝
1122AB BD +＝11804022
AD =⨯=； （2）∵E 为AC 的中点，F 为BD 的中点， ∴12AE AC =，12
DF BD =， ()()1111352222EF AD AE DF AD AC BD AD AD BC AD BC =--=-+=-+=-=∴ （3）运动t 秒后，AQ ＝AC+CQ ＝15+4t ，
∵E 为AQ 的中点， ∴115222
AE AQ t ==+， ∴1552522PE AE AB BP t t t =--=
+--=+，
∵DP ＝DB ﹣BP ＝75﹣t ，F 为DP 的中点， ∴175222
t DF DP =
=-， 又DQ ＝DC ﹣CQ ＝65﹣4t ， ∴755576542222t QF DQ DF t t =-=--
+=-， 或75522QF DF DQ t =-=
-， 由PE ＝QF 得：
52t +=55722t -或52t +=55722t - 解得：509=
t 或t ＝12． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及线段的中点，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（1）1D ；2D ，3D （2）点P 表示的数为24或
212. 【解析】
【分析】
（1）分别计算D 1，D 2，D 3三点与M,N 的距离，再根据新定义的概念得到答案； （2）设点P 表示的数为x ，分以下情况列方程求解：①2NP NM =；②2NP NM =.
【详解】
解：（1）D 1M=3，D 1N=6，2D 1M=D 1N ，故D 1符合题意；
D 2M=6.5，D 2N=2.5，故D 2不符合题意；
D 3M=14，D 3N=5，故D 3不符合题意；
因此点D 1是点,M N 的“倍联点”．
又2D 2N= D 3N ，∴点N 是D 2，D 3的“倍联点”.
故答案为：D 1;D 2，D 3.
（2）设点P 表示的数为x ，
第一种情况：当2NP NM =时，
则62[6(3)]x -=⨯--，
解得24x =.
第二种情况：当2NP NM =时，
则2(6)6(3)x -=--， 解得：212
x =. 综上所述，点P 表示的数为24或
212. 【点睛】
本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义的概念是解题的关键．10．（1）∠MON的度数为70°．（2）∠MON的度数为62.5°．（3）t的值为20．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质以及角的和差倍关系转化求出角的度数；
（2）根据角平分线的性质可以求得：∠MON＝1
2
（∠AOB+∠COD）﹣∠COD，代入数据
即可求得；
（3）由题意得∠AON＝1
2
（20°+3t+15°），∠BOM＝
1
2
（140°﹣20°﹣3t），由此列出方程
即可求解.
【详解】
（1）∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠CON＝1
2
∠AOC，∠COM＝
1
2
∠BOC
∠MON＝∠CON+∠COM
＝1
2
（∠AOC+∠BOC）
＝1
2
∠AOB
又∠AOB＝140°
∴∠MON＝70°
答：∠MON的度数为70°．
（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，
∴∠COM＝1
2
∠BOC，∠DON＝
1
2
∠AOD
即∠MON＝∠COM+∠DON﹣∠COD
＝1
2
∠BOC+
1
2
∠AOD﹣∠COD
＝1
2
（∠BOC+∠AOD）﹣∠COD．
＝1
2
（∠BOC+∠AOC+∠COD）﹣∠COD
＝1
2
（∠AOB+∠COD）﹣∠COD
＝1
2
（140°+15°）﹣15°
＝62.5°
答：∠MON的度数为62.5°．
（3）∠AON＝1
2
（20°+3t+15°），
∠BOM＝1
2
（140°﹣20°﹣3t）
又∠AON：∠BOM＝19：12，
12（35°+3t）＝19（120°﹣3t）
得t＝20
答：t的值为20．
【点睛】
本题考查了与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解是解决问题的关键.
11．（1）10.5°或14°或28°或31.5°；（2）7
4
或
21
8
或
21
2
或
63
4
【解析】
【分析】
（1）分4种情况，根据奇分线定义即可求解；
（2）分4种情况，根据奇分线定义得到方程求解即可．【详解】
解：（1）如图1，∵∠MPN=42°，
∵当PQ是∠MPN的3等分线时，
∴∠MPQ=1
3
∠MPN=
1
3
×42°=14°
或∠MPQ=2
3
∠MPN=
2
3
×42°=28°
∵当PQ是∠MPN的4等分线时，
∴∠MPQ=1
4
∠MPN==
1
4
×42°=10.5°
或∠MPQ=3
4
∠MPN=
3
4
×42°=31.5°；
∠MPQ=10.5°或14°或28°或31.5°；
（2）依题意有①当3×8t=42时，解得t=
74； ②当2×8t=42时，解得t=
218； ③当8t=2×42时，解得t=212
． ④当8t=3×42时，解得：t=
634， 故当t 为74或218或212或634
时，射线PN 是∠EPM 的“奇分线”． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，新定义奇分线，以及学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇分线”的定义是解题的关键．
12．（1）④；（2）①15α=︒；②当105α=，125α=时，存在2BOC AOD ∠=∠.
【解析】
【分析】
（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；
（2）①根据已知条件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，根据角平分线的定义得到∠EOB=12∠EOD=12
×120°=60°，于是得到结论； ②当OA 在OD 的左侧时，当OA 在OD 的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵135°=90°+45°，120°=90°+30°，75°=30°+45°，
∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出；
故选④；
（2）①因为COD 60∠=，
所以EOD 180COD 18060120∠∠=-=-=.
因为OB 平分EOD ∠， 所以11EOB EOD 1206022
∠∠==⨯=. 因为AOB 45∠=，
所以αEOB AOB 604515∠∠=-=-=.
②当OA 在OD 左侧时，则AOD 120α∠=-，BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=，
所以()
135α2120α-=-.
解得α105=.
当OA 在OD 右侧时，则AOD α120∠=-，BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=，
所以()135α2α120
-=-. 解得α125=.
综合知，当α105=，α125=时，存在BOC 2AOD ∠∠=.
【点睛】
本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键．。