20届高考数学(理)二轮复习 第2部分 专题6 第2讲 基本初等函数、函数的应用(小题)

第2讲 基本初等函数、函数的应用(小题
)
热点一 基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中异同.
2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1
2，－1五种情况.
例1 (1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a ＝0.313
log 0.6，b ＝1
2
1
log 4，c ＝0.413
log 0.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <a <b B.b <a <c C.a <c <b D.c <b <a
答案 C
解析 由题得b ＝1
2
1
log 4
＝2， 因为0.60.3>0.60.4>0.50.4， ∴0.313
log 0.6<0.413
log 0.5，
0.413
log 0.5＝130.4log 0.5<131
0.4log 3＝0.4，
所以a <c <b .
(2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎫－∞，1
e B.(－∞，e) C.⎝⎛⎭⎫－1
e ，e D.⎝
⎛⎭⎫－e ，1
e 答案 B
解析 由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －
x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解， 即函数y ＝e －
x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点.
函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，
当a <0时，向右平移，两函数总有交点，
当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，
把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a <e.
跟踪演练1 (1)(2019·天津市和平区质检)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1b B.ln(a －b )>0 C.2a －
b <1 D.⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12b
答案 D
解析 由log 2a >log 2b 可得a >b >0，故a －b >0，逐一考查所给的选项： A 项，1a <1b
；
B 项，a －b >0，ln(a －b )的符号不能确定；
C 项，2a －
b >1； D 项，⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b
.
(2)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a >0且a ≠1)的大致图象可能为( )
答案 A
解析 由题意知，当a >0时，函数f (x )＝2－ax 为减函数. 若0<a <1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2
a ∈(2，＋∞)，
且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为减函数； 若a >1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2
a ∈(0,2)，
且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数. 热点二 函数的零点 1.判断函数零点的方法：
(1)解方程法，即解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )有几个零点；
(2)图象法，画出函数f (x )的图象，图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数； (3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数；
(4)利用零点存在性定理判断.
2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.
例2 (1)(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ，x <0，
4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，
则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.3 答案 A
解析 当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0<x <1时，f (x )单调递减，x >1时，f (x )单调递增， 可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，
作出函数f (x )的图象，
g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )， 可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或1
3
，
当t ＝13，即f (x )＝1
3时，g (x )有三个零点；
当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，
综上，g (x )共有四个零点.
(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x e x ，x ≥0，
－x ，x <0，又函数g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，则实
数t 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎫－∞，－e 2＋1e B.⎝⎛⎭⎫e 2＋1e ，＋∞
C.⎝⎛⎭⎫－e 2＋1e ，－2
D.⎝
⎛⎭⎫2，e 2＋1e
答案 A
解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x e x ，x ≥0，
－x ，x <0，
当x <0时，f (x )＝－x ，
所以f (x )在(－∞，0)上为单调递减函数， 当x ≥0时，f ′(x )＝e x (1－x )
(e x )2
，
令f ′(x )＝0，解得x ＝1，当0≤x <1时，f ′(x )>0， 所以f (x )在[0,1)上为单调递增函数， 当x ≥1时，f ′(x )<0，
所以f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数，且f (x )>0， 所以当x ≥0时，f (x )在x ＝1处取得极大值1
e ，
g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋1(t ∈R )有四个零点，
令f (x )＝m ，则关于m 的一元二次方程m 2＋tm ＋1＝0有两个不等实数根， 且一个在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上，一个在区间⎝⎛⎭⎫1
e ，＋∞上， 令h (m )＝m 2＋tm ＋1， 因为h (0)＝1>0，
所以只需h ⎝⎛⎭⎫1e <0即可满足m 2＋tm ＋1＝0有两个不等实数根，一个在⎝⎛⎭
⎫0，1e ，一个在⎝⎛⎭
⎫1e ，＋∞，
即⎝⎛⎭⎫1e 2＋1e t ＋1<0，解不等式得t <－1＋e 2
e ， 所以t 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－e 2＋1e .
跟踪演练2 (1)(2019·凉山州质检)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，
当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭
⎫22x
－1，则在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0解的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4 答案 C
解析 对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4. 又∵当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛
⎭
⎫22x
－1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，
根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点.
(2)(2019·吉林调研)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3，x >a ，
x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同
的零点，则实数a 的取值范围为________. 答案 [－3，－1)∪[3，＋∞)
解析 由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3－2x ，x >a ，
x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，
即g (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，
因为g (x )恰有两个不同的零点， 即g (x )的图象与x 轴有两个交点.
若当x ≤a 时，g (x )＝x 2＋4x ＋3有两个零点， 则令x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1， 则当x >a 时，g (x )＝3－x 没有零点，所以a ≥3. 若当x ≤a 时，g (x )＝x 2＋4x ＋3有一个零点， 则当x >a 时，g (x )＝3－x 必有一个零点，
即－3≤a <－1，综上a ∈[－3，－1)∪[3，＋∞). 热点三 函数建模与信息题
1.构建函数模型解决实际问题的失分点： (1)不能选择相应变量得到函数模型； (2)构建的函数模型有误；
(3)忽视函数模型中变量的实际意义. 2.解决新概念信息题的关键： (1)依据新概念进行分析；
(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.
例3 (1)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a
4升，则m 的值
为( )
A.5
B.6
C.8
D.10 答案 A
解析 根据题意知，因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f (x )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，设当k min 后甲桶中的水只有a 4升，所以f (k )＝a 4，即15ln 12·k ＝ln 14，所以15ln 12·k ＝2ln 12
， 解得k ＝10，k －5＝5，即m ＝5，故选A.
(2)(2019·闽粤赣三省十校联考)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若
函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0，恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.－2 答案 C
解析 设A (x ,2)，其中x <0，
则点A 关于原点对称的点B 为B (－x ，－2)， 因为函数f (x )有两个友情点对，
所以－(－x )3＋6(－x )2－9(－x )＋a ＝－2在(－∞，0)上有两个不同解， 即x 3＋6x 2＋9x ＋2＝－a 在(－∞，0)上有两个不同解，
即g (x )＝x 3＋6x 2＋9x ＋2与y ＝－a 在(－∞，0)上有两个不同交点， g ′(x )＝3x 2＋12x ＋9，
令g ′(x )＝0，解得x 1＝－3，x 2＝－1，
可知g (x )在(－∞，－3)，(－1,0)上单调递增；在(－3，－1)上单调递减， 所以g (x )极小值为g (－1)＝－2；极大值为g (－3)＝2， 且x →0时，g (x )→2， ∴－a ＝g (－1)＝－2，∴a ＝2.
跟踪演练3 (1)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.6或7 答案 B
解析 盈利总额为21n －9－⎣⎡⎦⎤2n ＋1
2×n (n －1)×3 ＝－32n 2＋41
2
n －9，n ∈N *，
由于对称轴为n ＝41
6
，所以当n ＝7时，取最大值，故选B.
(2)(2019·安徽省定远重点中学模拟)定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )使得f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a ，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a ，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双
中值函数”.已知函数g (x )＝13x 3－m
2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是
( ) A.⎣⎡⎦⎤
43，83 B.(－∞，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫4
3，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫43，83
答案 D
解析 ∵函数g (x )＝13x 3－m
2x 2，
∴g ′(x )＝x 2－mx ，
∵函数g (x )＝13x 3－m
2x 2是区间[0,2]上的双中值函数，
∴区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g (2)－g (0)2－0＝4
3－m ，
∴x 21－mx 1＝x 22－mx 2
＝43
－m ， ∴关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －4
3
＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，
令f (x )＝x 2－mx ＋m －4
3
，
∴⎩⎪
⎨⎪⎧
f (0)＝m －4
3
>0，
f (2)＝83－m >0，
Δ＝m 2
－4(m －4
3
)>0，
0<m
2<2，
解得43<m <83
.
∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫43，83.
真题体验
1.(2019·全国Ⅰ，理，3)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a
答案 B
解析 ∵a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a <c <b .故选B.
2.(2018·全国Ⅰ，理，9)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝
f (
x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，
则a 的取值范围是( ) A.[－1,0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
答案 C
解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x ).
在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示.
若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可
知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1.
当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞).
3.(2017·江苏，14)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2，x ∈D ，
x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪
x ＝n －1
n ，n ∈N *
，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________. 答案 8
解析 由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q ，且x ∉Z 时，设x ＝q p ，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质.若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n
m ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质.因此10n m
＝q p
，
则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m
，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点，画出函数草图.图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝
1x ln 10＝1
ln 10
<1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.
押题预测
1.设a ＝－log 23
2，b ＝log 26，c ＝log 412，则( )
A.c >b >a
B.b >c >a
C.a >c >b
D.a >b >c
答案 B
解析 －log 232＝log 22
3<log 21＝0，
1<log 412＝log 212<log 26， ∴b >c >a .
2.设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“倍约束函数”.现给出下列函数：
①f (x )＝0； ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝x
x 2＋x ＋1
；
④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|. 其中是“倍约束函数”的序号是( ) A.①②④ B.③④ C.①④ D.①③④ 答案 D
解析 对于①，m 是任意正数时都有0≤m |x |，f (x )＝0是倍约束函数，故①正确； 对于②，f (x )＝x 2，|f (x )|＝|x 2|≤m |x |，
即|x |≤m ，不存在这样的m 对一切实数x 均成立，故②错误； 对于③，要使|f (x )|≤m |x |成立， 即⎪⎪⎪
⎪x
x 2＋x ＋1≤m |x |，
当x ＝0时，m 可取任意正数； 当x ≠0时，只需m ≥⎝⎛⎭
⎫1
x 2＋x ＋1max ，
因为x 2＋x ＋1≥34，所以m ≥4
3，故③正确；
对于④，f (x )是定义在实数集R 上的奇函数， 故|f (x )|是偶函数，
因而由|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|得到， |f (x )|≤2|x |成立，存在m ≥2>0，
使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，符合题意， 故④正确.
3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x －
1x ，x >0，
ax ＋2a ＋1，x ≤0，a ∈R ，若方程f (x )－2＝0恰有3个不同的根，则a
的取值范围是________. 答案 (－∞，0)∪⎣⎡⎭
⎫1
2，＋∞ 解析 当x >0时，f (x )＝e x －
1x ，f ′(x )＝e x －
1(x －1)
x 2，
当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 且f (1)＝1，
当x ≤0时，f (x )＝ax ＋2a ＋1的图象恒过点(－2,1)，
当a <0时，f (x )≥f (0)＝2a ＋1， 当a ≥0时，f (x )≤f (0)＝2a ＋1， 作出大致图象如图所示，
方程f (x )－2＝0有3个不同的根，即方程f (x )＝2有3个解. 结合图象可知，当a ≥0时，若方程f (x )＝2有三个根， 则2a ＋1≥2，即a ≥1
2
，
而当a <0时，结合图象可知，方程f (x )＝2一定有3个解， 综上所述，方程f (x )－2＝0在a <0或a ≥1
2
时恰有3个不同的根.
A 组 专题通关
1.已知点(2,8)在幂函数f (x )＝x n 图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫450.3，b ＝f ⎝⎛⎭
⎫⎝⎛⎭⎫540.2，c ＝12
5log 4f ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.b >a >c B.a >b >c C.c >b >a D.b >c >a
答案 A
解析 因为点(2,8)在幂函数f (x )＝x n 图象上， 所以8＝2n ，所以n ＝3， 即f (x )＝x 3，
0<⎝⎛⎭⎫450.3
<1，⎝⎛⎭
⎫540.2>1，12
5log 4
<0， 即1
2
5log 4
<⎝⎛⎭⎫450.3<⎝⎛⎭⎫540.2， 因为f (x )为R 上的单调递增函数， 所以c <a <b .
2.函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 答案 B
解析 函数f (x )＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调， f (2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2<0， f (3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0，
故函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上. 3.(2019·恩施州质检)设a ＝log 0.12，b ＝log 302，则( ) A.4ab >2(a ＋b )>3ab B.4ab <2(a ＋b )<3ab C.2ab <3(a ＋b )<4ab D.2ab >3(a ＋b )>4ab
答案 B
解析 因为a ＝log 0.12<0，b ＝log 302>0，
所以ab <0，1a ＋1
b ＝log 20.1＋log 230＝log 23∈⎝⎛⎭⎫32，2， 所以32<1a ＋1
b <2，
所以4ab <2(a ＋b )<3ab .
4.国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %；超过280万元的部分按(p ＋2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元
答案 D
解析 设该公司的年收入为a 万元， 则280p %＋(a －280)(p ＋2)%＝a (p ＋0.25)%， 解得a ＝280×2
2－0.25
＝320.
5.(2019·济南模拟)若log 2x ＝log 3y ＝log 5z <－1，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <3y <2x C.3y <2x <5z D.5z <2x <3y
答案 B
解析 ∵log 2x ＝log 3y ＝log 5z <－1， ∴设k ＝log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则k <－1， 设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k ， 则2x ＝2k ＋
1,3y ＝3k ＋
1,5z ＝5k ＋
1， 设函数f (t )＝t k ＋
1，k ＋1<0， ∴f (t )在t ∈(0，＋∞)时单调递减， f (5)<f (3)<f (2)， 即5k ＋
1<3k ＋
1<2k ＋1，
因此5z <3y <2x .
6.函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]上的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B
解析 令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0， ∴2sin x (1－cos x )＝0， ∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0,2π]，
∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π， 由cos x ＝1得x ＝0或2π.
故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个.
7.(2019·咸阳模拟)已知a ，b ，c 分别是方程2x ＝－x ，log 2x ＝－x ，log 2x ＝x 的实数解，则( ) A.b <c <a B.a <b <c C.a <c <b D.c <b <a
答案 B
解析 根据题干要求得到，在同一坐标系中画出函数y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝－x ，y ＝x 四个函数图象，如图所示，
方程的根就是两个图象的交点的横坐标，根据图象可得到a <b <c .
8.(2019·朝阳市重点高中模拟)已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －e －
x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2 B.－2 C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2 答案 B
解析 因为g (x )＝e x －e －
x －2，
所以g ′(x )＝e x ＋e －
x >0在R 上恒成立， 即函数g (x )＝e x －e －x －2在R 上单调递增. 又g (0)＝e 0－e 0－2＝－2<0，g (1)＝e 1－e －
1－2>0， 所以g (x )在(0,1)上必然存在零点，即x 0∈(0,1)， 因此f (x 0)＝[x 0]＝0，
所以g [f (x 0)]＝g (0)＝－2.
9.(2019·南充模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋1，－1≤x ≤1，－|x －2|＋1，1<x ≤3.若方程f (x )－ax ＝0有5个实根，则正数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1
4，13 B.⎝⎛⎭⎫
16，14 C.⎝⎛⎭⎫1
6，8－25 D.⎝
⎛⎭⎫16－67，16 答案 C
解析 由f (x ＋4)＝f (x )，
得函数f (x )是以4为周期的周期函数，
作出函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象， 由图象可得，f (x )＝ax 在(3,5)内有两个实数根， 当x ∈(3,5)时， y ＝－(x －4)2＋1，
即 x 2＋(a －8)x ＋15＝0在(3,5)上有2个实数根，
由⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝(a －8)2－60>0，
32＋3(a －8)＋15>0，
52
＋5(a －8)＋15>0，
3<8－a 2<5，
解得 0<a <8－215.
再由方程f (x )＝ax 在(5,6)内无解，可得6a >1，a >16.
综上可得1
6
<a <8－215.
10.(2019·衡水质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|log 3
x |，0<x <3，－cos ⎝⎛⎭⎫π3x ，3≤x ≤9，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，当x 1<x 2<x 3<x 4时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 1·x 2·x 3·x 4的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎫21，1354 B.⎝⎛⎭⎫7，29
4 C.⎝
⎛⎭⎫27，1354 D.[27,30)
答案 C
解析 先作函数图象， 若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，
则x 1x 2＝1，x 3＋x 4＝12，x 3∈(3,4.5)， 因此x 1·x 2·x 3·x 4＝x 3(12－x 3)，
因为y ＝x 3(12－x 3)在(3,4.5)上单调递增， 所以y ∈⎝
⎛⎭⎫27，135
4. 11.(2019·宜宾诊断)已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(0,1] D.(0,1)
答案 D
解析 函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点， 令f (x 2)＋f (a －2|x |)＝0， 由函数f (x )为奇函数可得 f (x 2)＝－f (a －2|x |)＝f (2|x |－a )，
由函数f (x )是定义在R 上的单调函数得x 2＝2|x |－a ， 则x 2－2|x |＋a ＝0有4个根， 只需x 2－2x ＋a ＝0有2个不等正根，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧
a >0，22－4a >0，解得0<a <1， 即a 的取值范围是0<a <1.
12.(2019·天津市十二重点中学联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|log 3(2－x )|，x <2，－(x －3)2＋2，x ≥2，
g (x )＝x ＋1x －1，则方程f (g (x ))＝a 的实根个数最多为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C
解析 由题意得，函数g (x )＝x ＋1
x －1的值域为[1，＋∞)∪(－∞，－3]，
设g (x )＝t (t ∈[1，＋∞)∪(－∞，－3])， 作出函数f (x )的图象如图，
所以f (g (x ))＝f (t )＝a ，
当1≤a <2时，直线和图象交点个数最多，有四个交点，也就是关于t 的方程f (t )＝a 有四个实根.
且可以有一个t ≤－3，有三个t >1.
因为函数g (x )＝x ＋1
x －1在(0,1)，(－1,0)上单调递减，在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增.
所以g (x )＝t ，当t 在[1，＋∞)∪(－∞，－3]上每取一个t 值时，x 都有两个值和它对应， 因为方程f (t )＝a 最多有4个根，所以方程f (g (x ))＝a 最多有8个解. 13.(2019·甘肃、青海、宁夏联考)若函数f (x )＝1＋|x |＋cos x
x
，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝________. 答案 6
解析 由题意得，f (x )＋f (－x )＝2＋2|x |， ∵lg 2＝－lg 12，lg 5＝－lg 15，
∴f (lg 2)＋f (lg 12)＋f (lg 5)＋f (lg 1
5)
＝2×2＋2(lg 2＋lg 5)＝6.
14.对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －
2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________. 答案 [3,4]
解析 由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )满足|2－μ|≤1的零点为μ， 因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3. 因为函数g (x )的图象开口向上，
所以要使g (x )的至少一个零点落在区间[1,3]上，
则需满足g (1)g (3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧
g (1)>0，
g (3)>0，
Δ≥0，
1<a ＋12<3，
解得
103≤a ≤4，或3≤a <10
3，得3≤a ≤4.
故实数a 的取值范围为[3,4].
15.(2019·河北省中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 4－3x 2－ax ，x >0，x 4－3x 2＋ax ，x <0有四个零点，则实
数a 的取值范围是________. 答案 (－2,0)
解析 因为f (x )是偶函数，根据对称性，
x 4－3x 2－ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根， 即a ＝x 3－3x 在(0，＋∞)上有两个不同的实根，
等价转化为直线y ＝a 与曲线y ＝x 3－3x (x >0)有两个交点， 而y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，
则当0<x <1时，y ′<0，当x >1时，y ′>0，
所以函数y ＝x 3－3x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， 于是y min ＝y |x ＝1＝－2，x →0，y →0，故a ∈(－2,0).
16.(2019·六安模拟)己知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|ln x |，x >0，
x 2＋4x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程[f (x )]2－bf (x )＋c ＝
0(b ，c ∈R )有8个不等的实数根，则b ＋c 的取值范围是________. 答案 (0,3)
解析 根据题意作出f (x )的简图，
由图象可得当f (x )∈(0,1]时，有四个不同的x 与f (x )对应. 再结合题中“方程[f (x )]2－bf (x )＋c ＝0有8个不同实数解”，
可知关于k 的方程k 2－bk ＋c ＝0有两个不同的实数根k 1，k 2，且k 1和k 2均为大于0且小于等于1的实数.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
b 2－4
c >0，
0<b 2
<1，
02－b ×0＋c >0，12
－b ＋c ≥0，
化简得⎩⎪⎨⎪
⎧
c <b 2
4
，0<b <2，
c >0，1－b ＋c ≥0，
此不等式组表示的区域如图，
令z ＝b ＋c ，则z ＝b ＋c 在(2,1)处取得最大值3，在(0,0)处取得最小值0， 所以b ＋c 的取值范围为(0,3).
B 组 能力提高
17.(2019·泰安质检)已知函数f (x )＝|x 2－2x －1|－t 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)的取值范围是( ) A.(8,45] B.(8,62) C.(62，45] D.(62，45)
答案 A
解析 由f (x )＝|x 2－2x －1|－t ＝0，得|x 2－2x －1|＝t ， 作出y ＝|x 2－2x －1|的图象如图，
要使f (x )有四个不同的零点， 则0<t <2，
同时x 1，x 4是方程x 2－2x －1－t ＝0的两个根， x 2，x 3是方程x 2－2x －1＋t ＝0的两个根，
则x 1x 4＝－1－t ，x 1＋x 4＝2，x 2x 3＝－1＋t ，x 2＋x 3＝2， 则x 4－x 1＝(x 4＋x 1)2－4x 1x 4＝8＋4t ＝22＋t ， x 3－x 2＝(x 3＋x 2)2－4x 2x 3＝8－4t ＝22－t ， 则2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)＝42＋t ＋22－t ， 设h (t )＝42＋t ＋22－t ，0<t <2， h ′(t )＝422＋t －222－t ＝22＋t －12－t ，
由h ′(t )>0，得
22＋t －12－t >0，即22＋t >1
2－t
， 平方得42＋t >1
2－t ，即8－4t >2＋t ，
解得0<t <6
5
，此时h (t )为增函数，
由h ′(t )<0，得6
5<t <2，此时h (t )为减函数，
故当t ＝6
5时，h (t )取得最大值h ⎝⎛⎭⎫65＝42＋65
＋22－65
＝4165
＋245＝1655＋455
＝45，
当t →0时，h (t )→62，当t →2时，h (t )→ 8， 又8<62，所以8<h (t )≤45，
即2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)的取值范围是(8,45].
18.(2019·河南省十所名校联考)已知函数f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(2，＋∞) C.(3，＋∞) D.(4，＋∞)
答案 D
解析 因为方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根， 不妨令b ＝0，则方程f [f (x )]＝0有9个不等实根， 令f (x )＝ax (x 2－1)＋x ＝0， 解得x 1＝－
a －1
a
，x 2＝0，x 3＝a －1
a
. 所以f (x )＝x 1，f (x )＝0，f (x )＝x 3都要有3个不同的根， 由f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)， 可得f (－x )＝a (－x )[(－x )2－1]＋(－x ) ＝－[ax (x 2－1)＋x ]＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，
又f ′(x )＝a (x 2－1)＋ax ·2x ＋1＝3ax 2－(a －1)， 由f (x )＝x 1有3个不等实根， 可得f (x )不是单调函数，即a >1， 令f ′(x )＝0，解得x ＝±
a －1
3a
， 作出x ，f ′(x )，f (x )的关系如下表：
作出f (x )的简图如下：
要使得f (x )＝x 1有3个根，至少要满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a －13a <x 1， 即a ⎝
⎛⎭⎪⎫a －13a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －13a 2－1＋a －1
3a
<－a －1
a
， 解得a >33＋2
2≈3.6.
即a >3.6，排除A ，B ，C.。