【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第6知识块第1讲第1讲 不等关系与不等式课件 北师大版

【例3】a、b、c、d为实数，判断以下命题的真假：
(6)假设0<a<b，那么 (1)假设ac2>bc2，那么a>b；(2)假设a<b<0，那么a2>ab>b2；(3)假设a<b<0，那么
(4)假设a<b<0，那么 ；(5)假设a>b>0，c>d>0，那么
；
思维点拨：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件和结论
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【考纲解读】
抽象概括能力． 抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的特征；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区 分出来的思维过程．抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的根底 上得出某一观点或作出某项结论． 抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大 量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题的过程或做出新的判断.
1．不等式的根本性质是解不等式与证明不等式的理论根据，必须透彻理解，特
别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，不等式的两边需都大于零．
2. 比较两个实数的大小一般用作差法,有时也用作商法.它们的一般步骤是作差(商)
→变形→判断差与0(商与1)的大小→定论．
关键是变形，变形一定要彻底．
3．运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显
又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0. 答案：(－π，0)
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不等关系强调的是关系，可用符号“＞〞“＜〞“≠〞“≥〞“≤〞表示；而不 等式强调的那么是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b〞“a＜b〞“a≠b〞 “a≥b〞，“a≤b〞等式子表示．不等关系可通过不等式来表达；离开不等式 ，不等关系就无法表达．
【标准解答】
D．b＋a＞0
解析：由a－|b|＞0⇒|b|＜a⇒－a＜b＜a⇒a＋b＞0.应选D. 答案：D
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【命题探究】
这道题旨在考查考生的抽象概括能力，广东近三年的试题非常注意文科生的这一特点 ．
【发散思维】
此类题主要以含字母的运算为主，解答此类题时，我们可以采取“化抽象为具体〞的 做法，利用赋值法：令a＝1，b＝0排除A、B、C，选D.
性质联系起来，还要考虑其他数学知识，比方对数函数、指数函数的
性质等．
3．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，说明一个命题为假命
题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题正确，只能
利用所学知识严密证明，在用不等式性质证明命题时，可适当使用一
些不等式性质的推广命题加以证明．
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之间的联系．
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解：(1)由ac2>bc2，知c≠0，c2>0，所以a>b，所以为真命题．
又因a>b>0，所以 所以为真命题． (6)特殊值法，令a＝2，b＝3，x＝2，
所以为假命题.
所以a2>ab>b2，所以为真命题． (3)例如－3<－2<0，但－ >－ ，所以为假命题．
答案：B
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2．a<0，－1<b<0，那么以下不等式成立的是( )
A．a>ab>ab2
B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2
D．ab>ab2>a
解析：∵a<0，－1<b<0，
∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.
∴ab>ab2>a.
也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－ ，
(3)a<b⇔
.
提示：比较两实数或两代数式的大小通常用作差比较法，有时也采
用作商比较法，比较两实数的大小，要依据不等式的加法和乘法法
那么，以及不等式的传递性进行，不能自己制造性质来运算．
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3．
不等式的根本性质 b<a
(1)a>b⇔ ； a>c
(2)a>b，b>c⇒ ；
然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出
a2>b2；由a>b推不出
等.
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【高考真题】
(2021·广东卷)设a，b∈R，假设a－|b|＞0，那么以下不等式中正确的选项是( )
A．b－a＞0
B．a3＋b3＜0
C．a2－b2＜0
试问这种解法正确吗？假设不正确，请说明理由． 解：这种解法不正确．在由f(1)与f(－1)的范围求出a与b的范围的过程中， 对所用不等式的性质即同向可加性．前后关系不是充要条件的关系，认知 不到位，从而造成了范围的变大．因此为了准确求出f(－2)的范围，需把a
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【方法规律】
那么ab2＝－ ，ab＝1，从而ab>ab2>a.
答案：D
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3．(2021·安徽)“a＋c＞b＋d〞是“a＞b且c＞d〞的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由a＞b且c＞d知a－b＞0，且c－d＞0，(a＋c)－(b＋d)＝(a－b)＋
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解：解法一：∵f(x)＝ax2＋bx，
∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)， 且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
解法二：待定系数法： 设m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴6≤f(－2)≤10.
(c－d)＞0，因此a＋c＞b＋d；即
⇒a＋c＞b＋d，假设a＝10，c＝
1，b＝6，d＝2，a＋c＞b＋d， a＞b，c＞d.综上可知：“a＋c＞b＋
d〞是“a＞b，且c＞d〞的必要非充分条件．
答案：A
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4．假设－ <α<β< ，那么α－β的范围是________．
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函数、方程与不等式之间互相渗透，涉及到多个参变量的函数取值范围时，
可以运用方程的思想，采用整体换元，通过列方程或待定系数法相互转换．
【例4】 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范
围．
思维点拨：因为f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，而1≤a－b≤2,3≤a＋ b≤4，又a－b与a＋b中的a、b不是独立的，而是相互制约的，因此， 需将f(－2)用a－b和a＋b整体表示．
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
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变式2：设a＞b＞c，求证：bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
证明：(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＝(b－a)c2＋(a2－b2)c＋ab2
－a2b＝(b－a)[c2－(a＋b)c＋ab]
思维点拨：抓住题中的关键词：帐篷不够、没有住满、帐篷多余等，根 据帐篷的数量转化成人数的不等式． 解：设A型号帐篷有x个，
那么B型号帐篷有(x＋5)个，
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1. 用“作差法〞比较两个实数的大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式 分解、有理化等．
2. “作商法〞的依据是“b>0， >1⇒a>b〞，在数式结构含有幂或根式、绝对值时 ，可用此方法．
加，但不可相减，不等式同向同正方可相乘．
(2)倒数法那么要理解准确，正确应用．
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1．－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是( )
A．a2>－a3>－a
Bt;－a
D．a2>－a>－a3
解析：∵－1<a<0，∴0<－a<1，
∴－a>(－a)2>(－a)3，即－a>a2>－a3.
(3)a>b⇔a＋c>b＋ac>cb；c
(4)a>b，c>0⇒ a＋；c>ab>＋b，d c<0⇒
(5)a>b，c>d⇒
ac>bd ；
an>bn (6)a>b>0，c>d>0⇒ ；
ac<bc ；
(7)a>b>0，n∈N*⇒ ；
提(示8)：a>(b1>)使0，用n不∈等N*式⇒的性质时要. 注意性质成立的条件，如不等式同向可
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3. “比较法〞的一般步骤是：①作差(商)；②变形；③判断符号(与1的大小)；④ 得出结论．
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【例2】 假设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小； 思维点拨：根据题目特点，可考虑用作差比较法． 解：∵(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x3－x2y＋xy2－y3)－(x3＋x2y－xy2－y3) ＝－2x2y＋2xy2＝2xy(y－x) 又∵x<y<0，∴xy>0，y－x>0，
＝(b－a)(c－a)(c－b)．
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.
∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0.
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1. 在应用不等式性质时，必须弄清其条件和结论，做到有根有据，才能
正确地作出判断．
2．判断一个关于不等式的命题的真假时，先要把判断的命题与不等式的
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【例1】 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐蓬中选择一种，A
型号的帐篷比B型号的少5顶，假设只选A型号的，每顶帐篷住4人，那么帐 篷不够；每顶帐篷住5人，那么有一顶帐篷没有住满，假设只选B型号的， 每顶帐篷住3人，那么帐篷不够；每顶帐篷住4人，那么帐篷多余，设A型 号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．
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拓展4：在求解本例题时，如果某同学用了如下方法： 解：∵f(x)＝ax2＋bx，
又3≤f(1)≤4,1≤f(－1)≤2， ∴2≤a≤3， ≤b≤ . 又∵f(－2)＝4a－2b,8≤4a≤12，－3≤－2b≤－1. ∴5≤f(－2)≤11.
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第六知识块 不等式
1. 了解现实第世1界讲和日常不生活等中的关不系等关与系不． 等式
2．了解不等式(组)的实际背景.
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不等号
1．用
(>，<或≠)连结而成的式子叫做不等式．
2．比较两个代数式大小的理论依据
a－b>0 (1)a>b⇔ a－b＝. 0
(2)a＝b⇔a－b<0 .