中考冲刺：代数综合问题--知识讲解(提高)

中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）
【中考展望】
初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．
【方法点拨】
(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；
(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；
(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；
(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．
* 审题(读题、断句、找关键)；
* 先宏观(题型、知识块、方法)；
后微观(具体条件，具体定理、公式)
* 由已知，想可知(联想知识)；
由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；
* 观察——挖掘题目结构特征；
联想——联系相关知识网络；
突破——抓往关键实现突破；
寻求——学会寻求解题思路．
(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．
【典型例题】
类型一、函数综合
1．已知函数
2
y
x
和y＝kx+1(k≠0)．
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；
(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?
【思路点拨】
本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．
【答案与解析】
解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，
∴2 , 1
1.
a
a k
⎧
=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
解得
2,
1.
a
k
=
⎧
⎨
=
⎩
(2)将
2
y
x
=代入y＝kx+1，消去y，得220
kx x
+-=．
∵k≠0，
∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．
∵△＝1+8k．
∴1+8k≥0，解得k≥
1
8
-．
∴k≥
1
8
-且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．
【总结升华】
两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．
举一反三：
【变式】如图，一元二次方程0
3
2
2=
-
+x
x的两根
1
x，
2
x（
1
x＜
2
x）是抛物线)0
(
2≠
+
+
=a
c
bx
ax
y
与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．
【答案】
解：(1)解方程0
3
2
2=
-
+x
x，得
1
x=-3，
2
x=1.
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.
将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-===.
2
3,1,21c b a ∴抛物线解析式为2
3
212-+=
x x y . (2)由2)1(2
123212
2-+=-+=x x x y ，得抛物线顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.
设直线AC 的函数关系式为y=kx+b,将A （3，6），C （-3，0）代入,得
⎩⎨⎧=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ⎩
⎨
⎧==.1,
3k b ∴直线AC 的函数关系式为y=x+3.
由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，
故解方程组⎩⎨
⎧+=-=.3,1x y x 得⎩⎨⎧=-=.
2,
1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）.
(3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/
-A ，连接Q A /
，Q A /
与x 轴交点M 即为所求的点.
设直线Q A /
的函数关系式为y=kx+b.
∴⎩⎨⎧=+--=+.
2,63b k b k 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.2,0k b ∴直线Q A /
的函数关系式为y=-2x.
令x=0，则y=0.
∴点M 的坐标为（0，0）.
类型二、函数与方程综合
2．已知关于x 的二次函数22
1
2
m y x mx +=-+与
22
2
2
m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．
(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；
(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；
(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小? 【思路点拨】
本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x 轴的交点个数及二次函数的性质． 【答案与解析】
解：(1)对于关于x 的二次函数22
1
2
m y x mx +=-+，
由于△＝(-m)2
－4×1×22
1202m m ⎛⎫+=--< ⎪
⎝⎭
， 所以此函数的图象与x 轴没有交点．
对于关于x 的二次函数22
2
2
m y x mx +=--，
由于△＝22
2
2()413402m m m ⎛⎫+--⨯⨯-=+> ⎪⎝
⎭，
所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．
故图象经过A ，B 两点的二次函数为22
2
02
m y x mx +=--=．
x
y
O
(2)将A(-1，0)代入22
22m y x mx +=--，得22
102
m m ++-
=． 整理，得2
20m m -=． 解之，得m ＝0，或m ＝2．
①当m ＝0时，2
1y x =-．令y ＝0，得2
10x -=．
解这个方程，得11x =-，21x =． 此时，B 点的坐标是B(1，0)．
②当m ＝2时，2
23y x x =--．令y ＝0，得2
230x x --=．
解这个方程，得x 3＝-1，x 4＝3． 此时，B 点的坐标是B(3，0)．
(3)当m ＝0时，二次函数为2
1y x =-，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝0，所以当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小．
当m ＝2时，二次函数为2
2
23(1)4y x x x =--=--，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小． 【总结升华】
从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．
举一反三：
【高清课堂:代数综合问题 例3】
【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0． （1）求证该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整
数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设
此抛物线在－3≤x ≤1
2
-之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后
与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．
【答案】
（1）证明：∵ △= (3m +1)2－4×m ×3 =(3m －1)2.
∵ (3m －1)2
≥0，
∴ △≥0，
∴ 原方程有两个实数根．
（2）解：令y =0，那么
mx 2+(3m +1)x +3=0.
解得 13x =-，21x m
=-
. ∵抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，
∴m =1.
∴抛物线的表达式为243y x x =++. （3）解：∵当x =0时，y =3，∴C （0，3）.
∵当y =0时，x 1=－3，x 2=－1. 又∵点A 在点B 左侧， ∴A （－3，0），B （－1，0）.
∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D （1，0）. 设直线CD 的表达式为y =kx +b . ∴03
k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得33.k b =-⎧⎨=⎩
，
∴直线CD 的表达式为y =－3x +3.
又∵当12x =-时，2
11543224y ⎛⎫
⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭. ∴A （－3，0），E （1
2
-，54），
∴平移后，点A ，E 的对应点分别为A'（－3+n ，0），E'（1
2
n -+，54）.
当直线y =－3x +3过点A'（－3+n ，0）时， ∴－3(－3+n )+3=0， ∴n =4.
当直线y =－3x +3过点E'（1
2
n -+，54）时，
∴1
5
3324
n ⎛⎫--++= ⎪⎝
⎭， ∴n =
13
12
. ∴n 的取值范围是
13
12
≤n ≤4. 类型三、以代数为主的综合题
3．如图所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0)，
将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．
(1)求点B 的坐标；
(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．
【思路点拨】
(1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标； (2)利用待定系数法可求出解析式；
(3)OB 为定值，即求BC+CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点； (4)利用转化的方法列出PAB S △关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解． 【答案与解析】 解：(1)B(13．
(2)设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，代入点B(1，3，得33a =
．所以2323
33
y x x =+．
(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x ＝-1，因为A ，O 关于抛物线的对称轴对称，所以当点C 位
于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．
设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，则
3,20.k b k b ⎧+=
⎪⎨
-+=⎪⎩ 解得3,23.
k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
因此直线AB 的解析式为323
33
y x =
+． 当1x =-时，33
y =
． 因此点C 的坐标为31,⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
． (4)如图所示，过P 作y 轴的平行线交AB 于D ，设其交x 轴于E ，交过点B 与x 轴平行的直线于F ．
设点P 的横坐标为x ． 则PAB PAD PBD S S S =+△△△
11
22PD AE PD BF =
⨯+⨯ 1
()2PD AE BF =⨯⨯+ 1
()()2D P B A y y x x =-- 21323323323333x x x ⎡⎤
⎛⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
2
2333193
322228
x x x ⎫=-=-++
⎪⎝⎭．
当12x =-
时，△PAB ，此时1,2
4⎛-- ⎝⎭． 【总结升华】
本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为D P y y -就是利用了这一规律．
4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系xOy 中，
抛物线()2
10y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线()2
10y ax bx a =++≠的函数表达式；
（2）若点D 在抛物线()2
10y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐
标;
（3）在抛物线()2
10y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直
角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.
【思路点拨】
（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式； （2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；
（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解. 【答案与解析】
解：（1）∵抛物线()2
10y ax
bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，
∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩
∴1,21.2
a b ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴抛物线的函数关系式为211
122
y x x =-
++. （2）∵1
22
b x a =-
=，()0,1C ∴抛物线211122
y x x =-
++的对称轴为直线12x =.
设点E 为点A 关于直线1
2
x =
的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线1
2
x =
于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，
则2m 0,
1.
k m +=⎧⎨
=⎩
解得1,21.
k m ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
所以，直线EC 的函数表达式为1
12
y x =-
+. 当12x =
时，34
y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
. （3）存在.
①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥， ∴90AOM CAM ∠=∠=︒. ∵()0,1C ，()1,0A -， ∴1OA OC ==. ∴45CAO ∠=︒.
∴45OAM OMA ∠=∠=︒. ∴1OA OM ==.
∴点M 的坐标为()0,1-.
设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标， 则1110,
1.
k b b -+=⎧⎨
=-⎩
解得11
1,1.k b =-⎧⎨=-⎩
所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.
令12x =
，则32
y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭. ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形， ∴1OC ON ==. ∴点N 的坐标为()1,0. ∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥， ∴21CP AP ∥.
∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =
，则1
2
y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
. 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-
⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形． 【总结升华】
求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.
举一反三：
【变式】如图所示，抛物线2
3y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3
OCA ∠=
，6ABC S =△．
(1)求点B 的坐标；
(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标． 【答案】
解：(1)∵2
3y ax bx =++，∴C(0，3)．
又∵1
tan 3
OCA ∠=
，∴A(1，0)． 又∵6ABC S =△， ∴
1
362
AB ⨯⨯=， ∴AB ＝4。

∴B(-3，0)．
(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入2
3y ax bx =++得：
03,
093 3.
a b a b =++⎧⎨
=-+⎩ ∴a ＝-1，b ＝-2， ∴2
23y x x =--+． ∵2
(1)4y x =-++． ∴顶点坐标(-1，4)． (3)如图1和图2．
当AC 为平行四边形的一边时，
1E (-1，0)，E 2(27--0)，E 3(27-0)．
当AC 为平行四边形的对角线时，E 4(3，0)．
5．已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2
+bx+c ，α，β为方程120
y y -=的两个根，点M(t ，T)在函数y 2的图象上． (1)若13α=
，1
2
β=，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为
31
12
时，求t 的值； (3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜l 时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．
【思路点拨】
第(1)问由120y y -=得2
(1)0x b x c +-+=的两根为α，β，利用根的定义代入得到b ，c 的方程组可求出b ，c 值；
第(2)问分别求出A ，B 两点坐标，利用直线y ＝x 与x 轴夹角为45°得到关于t 的方程；
第(3)问利用求差法比较T ，α，β的大小，注意对t 的范围进行分类讨论来的确定相应T ，α，β的大小关系． 【答案与解析】
解 (1)∵y 1＝x ，y 2＝x 2
+bx+c ，y 1－y 2＝0，
∴2
(1)0x b x c +-+=．
将13α=，12β=分别代入2
(1)0x b x c +-+=，得2
11(1)033b c ⎛⎫+-⨯+= ⎪⎝⎭
2
11(1)022b c ⎛⎫⎛⎫+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 解得16b =
，1
6
c =． ∴函数y 2的解析式为2
211
66
y x x =+
+．
(2)由已知，y 1与y 2的图象的两个交点的坐标分别为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,33⎛⎫
⎪⎝⎭
．得6AB =，
设ABM 中AB 边上的高为h ，
则31121212ABM S AB h h =
==g △1
144
=．
由直线y1＝x 与x 轴的夹角为45°可得||t T -=．
由2
11
66
T t t =+
+，得251166144t t -+-=
． 当2
51166144t t -
+=-
时，解得12512
t t ==；
当2
511
66144
t t -
+=-
时，解得3512t =，4512t +=
∴t 的值为
512
．
(3)由已知，得2b c ααα=++，2
b c βββ=++，2
T t bt c =++．
∴()()T t t b ααα-=-++，
()()T t t b βββ-=-++，
22()()b c b c αβααββ-=++-++，
化简得()(1)0b αβαβ-++-=． ∵01αβ<<<，得0αβ-≠， ∴10b αβ++-=．
有a+b ＝1－β＞0，β+b ＝1－α＞0．
又0＜t ＜1时，∴t+α+b ＞0，t+β+b ＞0． ∴当0＜t ≤α时，T ＜α≤β； 当α＜t ≤β时，α＜T ≤β； 当β＜1时，α＜β＜T ．
【总结升华】
本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广．。