不确定度课件

测量不确定度
1、测量不确定度的概述
1.1、测量不确定的结构及相关定义
测量不确定度
（1）测量不确定度：
根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数。

（表示对测量结果的怀疑程度，是定量的表示，即定量的表示测量结果的不确定程度。

）（2）标准不确定度：
以标准偏差表示的测量不确定度。

（3）测量不确定度的A类评定：
对在规定测量条件下测得的量值用统计分析的方法进行的测量不确定度分量的评定。

（4）测量不确定度的B类评定：
用不同于测量不确定度的A类评定的方法对测量不确定度分量进行的评定。

注：评定基于以下信息：①权威机构发布的量值；
②有证标准物质的量值；
③校准证书；
④仪器的漂移；
⑤经检定的测量仪器的准确度等级；
⑥根据人员经验推断的极限值等
（5）合成标准不确定度：
由在一个测量模型中各输入量的标准不确定度获得的输出量的标准不确定度。

（6）扩展不确定度：
合成标准不确定度与一个大于1的数字因子的乘积。

1.2不确定度的结果表示（举例说明）
一砝码质量为m，被估计值为100.02147g，合成标准不确定度为0.35mg。

（1）m=100.02147g；=0.35mg
（2）m=100.02147（35）g（末位对齐。

）
（3）m=100.02147（0.00035）g（相同计量单位）
1.2.1用U报告扩展不确定度
当包含因子k的数值不是根据被测量Y的分布计算得到，而是直接取定时，用U来表示扩展不确定度，U=k，应给出k值。

测量结果有两种表示方式：
（1）m=100.02147g; U=0.70mg; k=2
（2）m=(100.02147±0.00070)g; k=2
1.2.2用
或
报告扩展不确定度
当包含因子k 的数值是根据被测量Y 的分布计算得到（此时用表示），不是直接取定时，用
来表示扩展不确定度，
=
，应明确p 值。

当被测量接近正太分布时，应同
时给出有效自由度。

当被测量接近于某种非正态分布时，则给出值的同时，还应指出
被测量的分布类型。

当被测量接近正态分布时，可用以下形式表示： （1）m=100.02147g;
=0.79mg;
=9 （2）m=(100.02147±0.00079)g; =9
（3）m=100.02147(79)g;
=9（末位对齐）
（4）m=100.02147(0.00079)g;
=9（相同计量单位）
当被测量接近于某种非正态分布时，则应明确p 值，给出值，同时指出被测量的分布类型。

例如：
（1）m=100.02147g;
=0.79mg ，被测量以矩形分布估计。

（2）m=(100.02147±0.00079)g ，括号内第二项为之值，被测量以矩形分布估计。

1.3合格区、不合格区、不确定区
（1）合格区：被扩展不确定度U 缩小的规范区。

注：在上规范区和（或）下规范区处，规范区被扩展不确定度缩小。

1—规范区；3—合格区
2）不合格区：未满足规定的要求。

1 (a)单侧规范
(b)双侧规范
U 3 U 1 3 U 4 1 1
(a)单侧规范 U U
4
4
U
U (b)双侧规范 (a)单侧规范 1
5 5 U 1 5 U U U U
1—规范区；4—不合格区
（3）不确定区：规范限附近的区域，考虑到测量不确定度后，在该区域内无法判断合 格或不合格。

1—规范区；5—不合格区
2、不确定度相关符号、公式
符号 描 述
符号 描 述
第i 个不确定度分量 第i 个输入量 A 类标准不确定度 输入量的估计值 B 类标准不确定度 的n 次独立重复测量的算术平均值
合成标准不确定度
的第k 个独立测得值 u(
) 的估计协方差 Y 被测量 输出估计值y 的合成方差 y 输出估计值 y 的合成标准不确定度
被测量的估计值
自由度
u(
) 在同一次测量中，
的估
计协方差
的有效自由度
的相对标准不确定度
a 的可能值区间的半宽度 y 的相对合成标准不确定度 灵敏系数 相对标准不确定度 k 包含因子
U y 的扩展不确定度 包含概率为p 时的包含因子
包含概率为p 的y 的扩展不确定度
n 重复测量的次数
(y)
) ×k ×
y=ƒ () 寻找不确定度来源 写出测量模型 依次评定
各输入量
估计值的标准不确定度 乘灵敏系数得到不确定度分量 平方后得到各不确定度分量的方差 由方差得到合成标准不确定度 开方后得到合成标准不确定度 乘包含因子k 得到扩展不确定度 包含概率为0.95的y 的扩展不确定度 r() 相关系数估计值 相对扩展不确定度 单个测量值的标准偏差
包含概率为p 的相对扩展不确定度
的实验标准偏差
名称
公式 贝塞尔公式
s(
=
平均值的实验标准偏差 s(= s(
/
协方差公式（单次测量） u(x,y)=s(x,y)=
相关系数
r(x,y)=
3、测量不确定度的评定流程图
3.1 找出所有影响测量结果的影响量
不确定定度评定的第一步就是找出所有对测量结果有影响的影响量，即所有的测量不确定度来源。

原则上，测量不确定度来源既不能遗漏，也不要重复计算，特别是对于比较大的不确定度分量。

测量不确定度的来源主要有以下的几个方面： （1）被测量的定义不完整
（2）复现被测量的测量方法不理想
（3）取样的代表性不够，即被测样本不能完全代表所定义的被测量
（4）对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境参数的测量与控制不完善 （5）对模拟式仪表的读数存在人为的偏移 （6）测量仪器的计量性能
（7）测量标准或标准物质的不确定度
（8）引用的数据或其他参数不确定度
（9）测量方法的和测量程序的近似和假设
（10）在相同条件下被测量在重复观测中的变化
3.2建立满足测量不确定度评定所需的测量模型
建立测量模型也称为测量模型化。

其目的是要建立满足测量所要求准确度的测量模型，即被测量Y和所有各影响量(i=1,2,,n)之间的具体函数关系，其一般形式可写为：
Y=ƒ ()
影响量也称为影响量或输入量，被测量Y也称为被测量或输出量。

若被测量Y的估计值为y，输入量的估计值为，则有：
y=ƒ ()
从原则上说，测量模型应该就是用以计算测量结果的计算公式。

但由于许多情况下的计算公式都是经过了一定程度的近似和简化，有些因素对测量结果的影响可能很小，因此在计算测量结果的公式中可能被忽略，但对于测量不确定度来说可能是必须考虑的，因此测量模型和计算公式经常是有差别的。

测量模型不是一成不变的。

对于同样的被测量和同样的测量方法，当所要求的测量准确度不同时，需要考虑的不确定度分量数目可能不一样，此时测量模型也可能会有差别。

有时选择不同的输入量，也可能会得到不同形式测量模型。

3.3确定各输入量的估计值以及对应于各输入量估计值的标准不确定度u()
测量结果是由各输入量的最佳估计值带入计算公式或测量模型后得到的，因此输入量最佳估计值的不确定度显然会对测量结果的不确定度有影响。

输入量最佳估计值的确定大体上分为两类：通过实验测量得到，或由诸如检定证书、校准证书、材料手册、文献资料以及实践经验等其他各种信息来源得到。

对于这两种不同的情况，可以采用不同的方法评定其标准不确定度。

标准不确定度的评定方法可以分为A类评定和B类评定两类。

不确定度的A类评定是指通过一组观测列进行统计分析，并以实验标准差表征其标准不确定度的方法；而所有不同于A类评定的其他方法均称为B类评定，它们是基于经验或者其他信息的假定概率分布估算的，也用标准差表征。

当测量程序不同时，获得输入量估计值的方法不同，则输入量估计值的标准不确定度u()也可能不同。

3.4确定对应于各输入量的不确定度分量()
不确定度分量仍用标准不确定度表示。

若输入量估计值的标准不确定度为u()，则对应于该输入量的不确定度分量()为：
() = u() = ·u()
式中，称为灵敏系数，它可由测量模型对输入量求偏导数而得到。

当测量模型十分复杂而不便于求偏导数是，灵敏系数可以由测量模型通过数值计算得到。

当无法找到可靠的数学表达式时，灵敏系数也可以由实验测量得到。

在数值上它等于当输入量变化一个单位
量时，被测量y的变化量。

因此这一步实际上是进行单位换算，由输入量单位通过灵敏系数换算到输出量的单位。

当测量模型为非线性模型时，灵敏系数的表示式中将包含输入量。

从原则上讲，此时灵敏系数表示式中的输入量应取其数学期望。

在某些情况下当灵敏系数表示式中的输入量取其数学期望时，有可能得到灵敏系数为零，此时由上面表达式可以得到该不确定度分量()为零。

在这种情况下应考虑在合成方差中是否应加入高阶项。

3.5列出不确定度分量汇总表
不确定度分量汇总表也称为不确定度概算。

测量人员可以利用该汇总表，在进行测量时对那些起主要作用的输入量应予以特别关注，因为一旦这些输入量稍有失控就可能对测量结果的不确定度产生很大的影响。

3.6将各不确定度分量()合成得到标准不确定度
根据方差合成定理，当测量模型为线性模型，并且各输入量彼此之间独立无关时，合成标准不确定度为：
=
上式常称为不确定度传播定律。

不确定度传播定律实际上是将测量模型按泰勒级数展开后，对等式两边求方差得到的。

对于线性测量模型，由于泰勒级数中二阶及二阶以上的偏导数项均等于零，于是得到上面的公式。

当测量模型为非线性模型时，原则上公式已不在成立，而应考虑其高阶项。

但若非线性较强时，则必须考虑高阶项。

当各输入量之间存在相关性时，则还应考虑它们之间的协方差，即在合成标准不确定度的表达式中应加入与相关性有关的协方差项。

3.7确定被测量Y可能值分布的包含因子
根据被测量Y的分布情况的不同，所要求的包含概率p，以及对测量不确定度具体要求的不同，分别采用不同的方法来确定包含因子k。

因此在得到各分量的标准不确定度后，应该先对被测量Y的分布进行估计。

当可以估计被测量Y接近正太分布时，并且要求给出对应于包含概率为p的扩展不确定
度时，需计算各分量的自由度和对应于被测量Y的有效自由度自由度和所要求的包含概率p查t分布表得到k值。

在被测量Y接近正太分布的情况下，如果确信有效自由度不太小，例如15以上，也
可以不计算自由度而直接取包含因子k=2。

此时给出的扩展不确定度用U表示。

当可以估计被测量Y接近于某种非正太分布时，包含因子的数值应该根据被测量的分布和所要求的包含概率P直接求出，且用表示，此时给出的扩展不确定度用表示。

当无法判断被测量Y接近于何种分布时，一般直接取k=2，扩展不确定度用U表示。

对于检测结果的不确定度评定，一般不必对被测量Y的分布进行判定，可直接去包含因子k=2。

3.8确定扩展不确定度U或
当包含因子k的数值是直接取定时（通常情况下均取k=2），扩展不确定度用U=k表示。

当包含因子k由被测量的分布以及所规定的包含概率p得到时，扩展不确定度用=表示。

4、输入估计值标准不确定度的A类评定
4.1基本方法：贝塞尔法
若在重复性条件下对被测量X做n次独立重复测量，得到的测量结果为(k=1,2,,n)。

则X的最佳估计值可以用n次独立测量结果的平均值来表示
=
根据定义，用标准偏差表示的不确定度称为标准不确定度。

于是用单次测量结果的标准不确定度，即上述测量列中任何一个观测值的标准不确定度u()可用贝塞尔公式表示
u() = s() =
若在实际测量中，采用该n次测量结果的平均值作为测量结果的最佳估计值，此时平均
值的实验标准差s()可由单次测量的实验标准差s()得到
s() = = 可得u() =
显然，n次测量结果的平均值比任何一个单次测量结果更可靠，因此平均值的实验标准差s()比单次测量结果的实验标准差s()小。

当测量次数n较小时，计算得到的实验标准差除了随机误差会增大外，还存在较大的系
统误差。

因此使用贝塞尔公式时要求n应比较大。

例如，在JJF 1033-2008《计量标准考核规范》中就规定在进行计量标准的重复性测量时，要求测量次数n≥10。

若测量仪器比较稳定，则过去通过n次测量的单次测量实验标准差s()可以保持相当
长的时间不变，并可以在以后一段时间内的规范化的同类测量中直接采用该数据。

此时，若所给测量结果是N次重复测量的平均值，则该平均值的实验标准差为
s() = =
式中，n是用以给出单次测量实验标准差s()时的测量次数（一般要求n≥10），而N则为
给出测量结果时所作的测量次数，即所给测量结果是N次测量结果的平均值（N可以比较小）。

5、输入估计值标准不确定度的B类评定
A类评定的标准不确定度仅来自于对具体测量结果的统计评定，而获得B类评定标准不确定度的信息来源则很多，一般有：
（1）以前的观测数据；
（2）对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；
（3）生产部门提供的技术说明文件；
（4）校准证书、检定证书或其他文件提供的数据，准确度的等别或级别，误差限等；
（5）手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；
（6）规定实验方法的国家标准或类似文件给出的重复性限r或者复现性限R。

在测量不确定度的B类评定中，往往会在一定程度上带有某种主观的因素，如何恰当并合理地给出B类评定的标准不确定度是不确定度评定的关键问题之一。

B类评定不确定度分量的信息来源大体上可以分为由检定证书或校准证书得到以及由
其他各种资料得到两类。

5.1信息来源于检定证书或者校准证书
检定证书或校准证书通常均给出测量结果的扩展不确定度，其表示方法大体上有两种。

5.1.1 给出被测量x的扩展不确定度U()和包含因子k
根据扩展不确定度和标准不确定度之间的关系，可以直接得到被测量x的标准不确定度
u() =
例1：校准证书给出标称值为1kg的砝码质量m=1000.00032g，并说明按包含因子k=2给出的扩展不确定度度U=0.16mg，于是其标准不确定度为
u() = == 0.08mg
例2：校准证书给出的标称长度为100mm量块的扩展不确定度为()=100nm,包含因子k=2.8，于是其标准不确定度为
u() = == 36nm
5.1.2 给出被测量x的扩展不确定度()及其对应的包含概率p
此时，包含因子与被测量x的分布有关。

在证书已指出被测量分布的情况下，则按该分布对应的值计算。

在证书未指出被测量的分布的情况下，许多人就按正态分布处理了。

必须指出，这一做法可能会引入一定的风险。

由于在各种不同分布中正态分布的包含因子
最大，因此得到的标准不确定度最小。

当测量不确定度分量较多时，被测量接近于正态分布的可能性是相当大的。

并且该不确定度分量不一定是合成标准不确定度中的主要分量，因此在大多数情况下选择正态分布的问题不大。

但在比较重要的场合，并且该分量又是合成标准
不确定度中的主要分量时，建议对其分布采用保守性的选择，即选择包含因子值较小的分布。

正态分布情况下对应于不同包含概率p的包含因子见下表。

P(%) 50 68.27 90 95 95.45 99 99.73
0.675 1 1.645 1.960 2 2.576 3
例1：在测量某一长度的时候，估计其长度以90%的概率落于10.06mm和10.16mm之间，并给出最后结果为=(10.11±0.05)mm。

在证书未给出被测量分布的情况下，可假设其为
正态分布，并由上表得到=1.645，于是其标准不确定度为
u() = == 0.03mm
例2：数字电压表的校准证书给出100V DC测量点的示值误差为E=0.10V，其扩展不确
定度()=50mV，且指出被测量以矩形分布估计。

由于矩形分布的=1.65，于是其标准不确定度为
u() = == 30mV
5.2信息来源于其他各种资料或手册等
在这种情况下通常得到的信息是被测量分布的极限范围，也就是说可以知道输入量x
的可能值分布区间的半宽a，即允许误差的绝对值。

由于a可以看作为对应于包含概率
p=100%的包含区间的半宽度，故实际上它就是该输入量的扩展不确定度。

于是输入量x的标准不确定度可表示为
u() =
包含因子k的数值与输入量x的分布有关。

因此为得到标准不确定度u()，必须先对输入量x的分布进行估计。

分布确定后，就可以由对应于该分布的概率密度函数计算得到包含因子。

对应于各种常见分布的包含因子k的数值见下表。

（其中梯形分布的包含因子与梯形的上、下底之比值(角参数)有关）
常见分布的包含因子k值
分布类型K 分布类型K
两点分布 1 梯形分布
反正弦分布三角分布
矩形分布正态分布 3
梯形分布=0.71 2
6、输入量分布情况的估计
6.1正态分布（高斯分布）
符合下列条件之一者，一般可以近似地估计为正态分布：
（1）在重复性或复现性条件下多次测量的算术平均值的分布；
（2）若证书或报告给出的被测量Y的扩展不确定度或，并对其分布没有特殊说
明时；
（3）若被测量Y的合成标准不确定度中相互独立的分量较多，并且它们之间的大小也比较接近时；
（4）若被测量Y的合成标准不确定度中，有两个相互独立的界限值接近的三角分布，或有四个或四个以上相互独立的界限值接近的均匀分布时；
（5）若被测量Y的合成标准不确定度的相互独立分量中，量值较大且起决定性作
用的分量接近正态分布时；
（6）当所有分量均满足正态分布时。

6.2矩形分布（均匀分布）
符合下列条件之一者，一般可以近似地估计为矩形分布：
（1）数据修约导致的不确定度；
（2）数字式测量仪器的分辨力导致的不确定度；
（3）测量仪器的滞后或摩擦效应导致的不确定度；
（4）按级使用的数字仪表及测量仪器的最大允许误差导致的不确定度；
（5）用上、下界给出的材料的线膨胀系数；
（6）测量仪器的度盘或齿轮的回差引起的不确定度；
（7）平衡指示器调零不准导致的不确定度；
（8）如果对影响量的分布情况没有任何信息时，则叫合理的估计是将其近似看作为矩形分布。

（此时也可以对该分布作比较保守的估计，例如若仅已知不是三角分布，则可假设为矩形分布或反正弦分布，若仅已知不是矩形分布则假设为反正弦分布。

因反正弦分布的k 最小，此时得到的u最大，故反正弦分布时最保守的假设。

）
例1：量块国际标准规定，钢质量块的膨胀系数应在(11.5±1)×范围内，若无其他关于量块线膨胀系数的信息，则可假定量块的线膨胀系数在(11.5±1)×区间内满足矩形分布。

由分布区间的半宽a=1×，可得其标准不确定度为
u() = = = 0.58×
例2：数字显示式测量仪器，如其分辨力为，则其分辨力可能导致的最大误差的绝对值为：a=，估计其为矩形分布，故由分辨力引入的标准不确定度为
u() = = 0.29
例3：若引用已修约的值，则修约间隔为，则由修约导致的最大误差为a=，估计其为矩形分布，故由修约引入的标准不确定度为
u() = = 0.29
6.3三角分布
符合下列条件之一者，一般可以近似地估计为三角分布：
（1）相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约导致的不确定度；
（2）因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度；
（3）用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；
（4）两相同宽度矩形分布的合成。

上述第四种情况实际上是前面三种情况的总结，大部分常见的三角分布都是由两个相同宽度的矩形分布合成得到的（相加或相减）。

例1：用比较法测量量块长度时，若标准量块和被测量块的线膨胀系数均在(11.5±1)×范围内满足矩形分布，并在区间外不出现，则两量块的线膨胀系数差应在±2×区间内满足三角分布，此时其标准不确定度为
u() = = = 0.616×
6.4反正弦分布（U形分布）
符合下列条件之一者，一般可以近似地估计为反正弦分布：
（1）度盘偏心引起的测角不确定度；
（2）正弦振动引起的位移不确定度；
（3）无线电测量中，由于阻抗失配引起的不确定度；
（4）随时间正弦变化的温度不确定度。

例1：在空调的实验室内，若空气温度在(20±0.5)℃范围内正弦变化，则在随机地选取测量时间的条件下测得的空气温度满足反正弦分布，于是空气温度t的不确定度u()为
u() = = = 0.035
6.5投影分布
（1）当受1-(角服从矩形分布)影响时，的概率分布；
（2）安装或调试测量仪器的水平或垂直状态时，调整误差导致的不确定度。

6.6无法估计的分布
大多数测量仪器对同一被测量进行多次重复测量，其单次测量示值的分布一般不是正态
分布，并且往往偏离甚远。

如轴尖支承式仪表示值的分布，介于正态分布和均匀分布之间。

数字电压表的示值分布呈双峰状态。

磁电系仪表的示值分布与正态分布相差甚远。

必须注意，对分布的估计不是一成不变的，需要根据具体情况灵活应用。

例如测量仪器示值误差在最大允许误差范围内的分布一般估计为矩形分布，这是在对其分布没有任何信息时采用的分布。

但若已经对大量同类仪器的示值误差进行过测量，并发现大部分仪器的示值误差均较小，即小示值误差出现的概率远大于大示值误差出现的概率，则此时也许将其估计为三角分布更为合理。

7、关于测量不确定度的A类评定和B类评定
7.1两种评定方法的主要差别
测量不确定度按其评定方法分为A类评定和B类评定两类。

就评定方法而言，两种方法的主要差别是：
（1）A类评定首先要求由实验室得到被测量的观测列，并根据需要由观测列计算被测量估计值的标准不确定度，可能是单次测量结果的标准差，也可能是若干次重复测量结果平均值的标准偏差。

而B类评定则是通过其他已有的信息进行评估的，故不存在重复观测列。

（2）对于A类评定一般先根据观测列计算出方差，然后开方后得到实验标准差。

而B 类评定一般根据极限值和被测量分布的信息直接估计出标准偏差，或由检定证书或校准证书提供的扩展不确定度导出标准不确定度。

（3）A类评定的自由度可以由测量次数、需要同时测量的被测量的个数以及其他约束条件的个数计算出。

而B类评定的自由度是无法直接计算的，只能根据对B类评定标准不确定度准确程度的估计而得到。

（4）就两种评定方法得到的测量不确定度而言，由于无论采用A类评定或B类评定，最后均用标准偏差表示不确定度，并且在得到合成标准不确定度时，两者的合成方面完全相同，因此由两种评定方法得到的标准不确定度并无本质上差别。

所谓A类和B类并不是对不确定度本身进行分类，而仅是对不确定度评定方法进行分类。

7.2使用两种评定方法的注意事项
（1）A类评定不确定度和B类评定不确定度在一定条件下是可以相互转化的。

例如，当引用他人的某一测量结果时，可能该测量结果当初是由统计方法得到的，应属于A类评定不确定度，但一经引用后就可能成为B类评定不确定度。

（2）并不是每一次测量都一定同时有A类评定不确定度分类和B类评定不确定度分量。

根据实际情况，可以只有A类评定不确定度分量，也可以只有B类评定不确定度分量，当然也可以两者兼而有之。

（3）有些不确定度分量，根据评定方法的不同，既可以用A类评定来处理，也可以用B类评定来处理。

例：若检定规程规定某仪器的示值稳定性应不大于0.03m，考虑不确定度时就有两种方法。

①A类评定，在短时间内连续重复测量若干次，然后用统计方法（贝塞尔法）计算实验标准差。

②B类评定，将检定规程所规定的0.03m看作为仪器所允许的最大示值变
化，若假定在该范围内等概率分布，则其示值稳定性导致的不确定度为：=0.017m。

在这种情况下，合成标准不确定度中只能包含其中的一个。

两者之中应该选取哪一个，
应具体问题具体分析，但一般可以选取两者中较大者。

（4）在重复性条件下通过测量列并用A类评定得到的不确定度，通常比其他评定方法。