2019_2020学年高中数学课时跟踪训练24平面向量应用举例新人教A版必修4
2020年高中数学人教A版必修四课时训练：2.5 平面向量应用举例 2.5.1 Word版含答案
§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝__________________.三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .能力提升13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB ·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 作业设计1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0， ∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H ......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
人教版高中数学高一-必修四课后作业二十四 平面向量应用举例
课后提升作业二十四平面向量应用举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90°时,合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10NC.20ND.10N【解析】选B.|F1|=|F2|=|F|cos45°=10,当θ=120°,由平行四边形法则知:|F合|=|F1|=|F2|=10N.2.共点力F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为( )A.lg2B.lg5C.1D.2【解析】选D.因为F1+F2=(1,2lg2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg2)·(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2.3.(2016·杭州高一检测)在△ABC中,若·+=0,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为·+=0,所以·(+)=0,所以·=0,所以⊥,所以∠BAC是直角,△ABC是直角三角形.【补偿训练】已知△ABC满足=·+·+·,则△ABC是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.·+·=·(-)=·(+)=,又=·+·+·,所以=+·,即·=0,从而⊥.4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足++=,则点P与△ABC的关系为( )A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点【解析】选D.因为++=,所以++=-,所以=-2=2,所以P是AC边的一个三等分点.5.(2016·合肥高一检测)已知,是非零向量且满足(-2)⊥,(-2)⊥,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选D.因为(-2)⊥,所以(-2)·=0,所以-2·=0,所以=2·,因为(-2)⊥,所以(-2)·=0,所以-2·=0,所以=2·,所以=,所以||=||,因为=2·=2·cosA,所以2cosA=1,cosA=,∠A=60°,所以△ABC是等边三角形.6.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. B.2 C.5 D.10【解析】选C.因为·=0,所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S=||||=××2=5.7.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1)且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为( )A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)【解析】选A.f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力f的终点为P(x,y),则=+f=(1,1)+(8,0)=(9,1).8.在△ABC中,·=7,|-|=6,则△ABC面积的最大值为( )A.24B.16C.12D.8【解析】选C.设A,B,C所对边分别为a,b,c,由·=7,|-|=6,得bccosA=7,a=6 ①,S△ABC=bcsinA=bc=bc=,由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=36 ②,由①②消掉cosA得b2+c2=50,因为b2+c2≥2bc,所以bc≤25,当且仅当b=c=5时取等号,所以S△ABC=≤12,故△ABC的面积的最大值为12.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,且|AB|=,则·= .【解析】由题意知,△ABC为等边三角形,则·=××cos120°=-.答案:-10.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为.【解析】设两根绳子的拉力分别为F1,F2,灯具的重力为F3,则|F1|=|F2|,|F3|=10,由题意知F1+F2+F3=0,则F3=-(F1+F2),由=+2F1·F2+得,|F1|2=100,从而|F1|=10.答案:10N三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016·洛阳高一检测)平面直角坐标系xOy中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.(1)求x与y间的关系.(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y),因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,即x+2y=0 ①(2)由题意得=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3),因为⊥,所以·=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2+4x-2y-15=0 ②由①②得或当时,=(8,0),=(0,-4),则S四边形ABCD=||||=16,当时,=(0,4),=(-8,0),则S四边形ABCD=||||=16,所以或四边形ABCD的面积为16.12.如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以A 为中点,问与的夹角θ取何值时,·的值最大,并求出这个最大值.【解题指南】以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设出点B,C的坐标,根据数量积公式的坐标表示,写出·关于与的夹角θ的函数关系式,利用函数的知识求解.【解析】以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=c,AC=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且PQ=2a,BC=a,设点P(x,y),则Q(-x,-y),所以=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y),所以·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.所以cosθ==,所以cx-by=a2cosθ,所以·= -a2+ a2cosθ,故当cosθ=1,即θ=0时,·最大,其最大值为0.【能力挑战题】如图,用两条同样长的绳子拉一物体,物体受到重力为G.两绳受到的拉力分别为F1,F2,夹角为θ.(1)求其中一根绳子受的拉力|F1|与|G|的关系式,用数学观点分析F1的大小与夹角θ的关系.(2)求F1的最小值.(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|,求θ的取值范围.【解析】(1)由力的平衡得F1+F2+G=0,设F1,F2的合力为F,则F=-G.由F1+F2=F且|F1|=|F2|,|F|=|G|,解直角三角形得cos=,所以|F1|=,0°≤θ≤180°,由于函数y=cos在0°≤θ≤180°时为减函数,所以θ逐渐增大时,cos逐渐减小,即逐渐增大.所以θ增大时,|F1|也增大.(2)由上述可知,当θ=0°时,|F1|有最小值为.(3)由题意,≤|F1|≤|G|,所以≤≤1,即≤cos≤1.由于y=cosθ在0°≤θ≤180°时为减函数,所以0°≤≤60°,所以0°≤θ≤120°.关闭Word文档返回原板块。
2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量的概念 知识点经典练习
名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) 零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D 正确．答案：D向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点． 2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AB →＝12BC →＋DA →C.AD →－DC →＝AC → D ．2CD →＋BA →＝CA →解析：本题考查向量的线性运算．A 错，应为AB →＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD →＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D.答案：D知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 必记结论 三点共线等价关系：A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 向量的基本概念|1．已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，则a ，b 方向相同或相反； ③若a ＝－b ，则|a |＝|b |；④若a ，b 不共线，则a ，b 中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b ＝0，则①②都错误；若a ＝－b ，则|a |＝|b |，③正确；若a ，b 不共线，则a ，b 中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．答案：D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A ．a ＝2b B ．a ∥b C ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a ，b 共线且方向相反，因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．对照各个选项可知，选项A中向量a ，b 的方向相同，选项B 中向量a ，b 共线，方向相同或相反，选项C 中向量a ，b 的方向相反，选项D 中向量a ，b 互相垂直，故选C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．考点二 平面向量的线性运算|(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. [解析] 因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB→－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.[答案]3平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32 B.53 C ．2D ．1解析：取AB 的中点E ，连接OE ，则有OA →＋OB →＋2OC →＝2(OE →＋OC →)＝0，OE →＋OC →＝0，所以E ，O ，C 三点共线，所以有△AEO 与△BEO 面积相等，因此△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为1，故选D.答案：D考点三 共线向量定理的应用|设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [解析] 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.[答案]21．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A、B、C三点共线．2．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－k e2，且A，C，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2，又CD→＝－8e1－2e2，∴CD→＝－2AC→，∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)∵AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线．∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG→＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.答案：6课时跟踪检测 A 组 考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n＝32，所以m －n ＝－2. 答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa 即可，又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC→＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心． 解：如图，记AM →＝AB→|AB→|，AN →＝AC→|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组 高考题型专练1．)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：124．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。
2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.5 平面向量应用举例 Word版含答案
姓名，年级：时间：2．5 平面向量应用举例2．5。
1 平面几何中的向量方法2．5.2 向量在物理中的应用举例［教材研读］预习课本P109～112，思考以下问题1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题?[要点梳理］1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2）通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量m v是向量的数乘运算．(4）功是力F与位移s的数量积．［自我诊断]判断（正确的打“√”，错误的打“×”)1．若△ABC是直角三角形，则有错误!·错误!＝0。
( )2．力是既有大小，又有方向的量,所以也是向量．( )3．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．( )[答案］1。
× 2.√ 3.√错误!如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点,求证:AF ⊥DE.［思路导引] 可以选取错误!,错误!为基底表示出错误!，错误!，将二者进行数量积运算；也可以设出正方形边长，以两条邻边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，求出AF →,错误!的坐标，进行数量积的坐标运算．[证明] 证法一：设错误!＝a ，错误!＝b ,则｜a ｜＝｜b |,a ·b ＝0，又错误!＝错误!＋错误!＝－a ＋错误!，错误!＝错误!＋错误!＝b ＋错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝－错误!a 2－错误!a ·b ＋错误!＝－错误!|a |2＋错误!|b ｜2＝0。
故错误!⊥错误!,即AF ⊥DE 。
证法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2,则A （0,0），D (0,2)，E （1,0）,F (2,1），错误!＝(2,1），错误!＝（1,－2)．因为错误!·错误!＝（2,1)·(1,－2）＝2－2＝0，所以错误!⊥错误!，即AF ⊥DE 。
人教A版高中数学必修四课时提升作业(二十四) 2.5 平面向量应用举例1 Word版含解析
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课时提升作业(二十四)平面向量应用举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·绵阳高一检测)速度|v1|=10m/s，|v2|=12m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是( )A.2m/sB.10m/sC.12m/sD.2m/s【解析】选D.|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos60°+144=364.所以|v|=2m/s.2.已知点A(-2，0)，B(0，0)，动点P(x，y)满足·=x2，则点P的轨迹方程是( )A.x2+y2=1B.x2-y2=1C.y2=2xD.y2=-2x【解析】选D.=(-2-x，-y)，=(-x，-y)则·=(-2-x)(-x)+y2=x2，所以y2=-2x.3.(2015·孝感高一检测)点O是△ABC所在平面内的一点，满足·=·=·，则点O是△ABC的( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由·=·，得·-·=0，所以·(-)=0，即·=0.所以⊥.同理可证⊥，⊥.所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点.4.(2015·抚顺高一检测)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )A.6B.2C.2D.2【解析】选D.因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|·cos60°=4+16+8=28，所以|F3|=2.5.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且++=0，则△ABC的内角A等于( ) A.30°B.60° C.90°D.120°【解题指南】先将++=0变形为+=，判断点O，A，B，C的位置关系，然后由点O为△ABC外接圆的圆心判断四边形OACB的形状.【解析】选A.由++=0得+=，所以四边形OACB为平行四边形，如图.由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，所以∠CAO=60°，所以△ABC的内角A等于30°.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|=________.【解析】|-+|=|++|=|+|=||=2.答案：27.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是________.【解析】因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10N.答案：10N8.(2015·大庆高一检测)向量，在正方形网格中的位置如图所示.设向量a=-λ，若a⊥，则实数λ=________.【解析】以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，2)，a=-λ=(3，2)-λ(2，0)=(3-2λ，2)，=(2，0)，因为a⊥，所以a·=2(3-2λ)+0=0，λ=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：AD⊥CE.【证明】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设AC=a，则A(a，0)，B(0，a)，D，C(0，0)，E.因为=，=.所以·=-a·a+·a=0，所以⊥，即AD⊥CE.10.如图所示，已知在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=，求对角线AC和BD的长.【解析】设=a，=b，a与b的夹角为θ，则|a|=3，|b|=1，θ=.所以a·b=|a||b|cosθ=.又因为=a+b，=a-b，所以||==||==所以AC的长为，DB的长为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若M为△ABC所在平面内一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC 为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.由(-)·(+-2)=0，可知·(+)=0，设BC的中点为D，则+=2，故·=0，所以⊥.又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形.【补偿训练】△ABC的三个内角满足2B=A+C，且(+)·=0，则△ABC一定是( )A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选C.由(+)·=0可知△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又2B=A+C，故B=，则△ABC为等边三角形.2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A.24 JB.24JC.24JD.24J【解题指南】解答本题的关键是根据任意角三角函数的定义求出三个力对应向量的坐标.【解析】选D.如图，建立直角坐标系，则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，则F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4).又位移s=(4，4)，故合力F所做的功为W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J).二、填空题(每小题5分，共10分)3.在三角形ABC中，AP为BC边上的中线，||=3，·=-2，则||=__________.【解题指南】解答本题要注意+=2，+=，=||2的应用.【解析】因为AP为BC边上的中线，所以+=2，=+，所以=(+)2=+2·+=9+(2+)·=9+(++)·=9+(+)·=9+2·=9+2×(-2)=5，所以=||2=5，所以||=.答案：4.(2015·聊城高一检测)若平面向量，满足||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是________.【解析】以，为邻边的平行四边形的面积为：S=||||sinθ=||sinθ=，所以sinθ=，又因为||≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.答案：【补偿训练】已知△ABD是等边三角形，且+=，||=，那么四边形ABCD的面积为( )A. B. C.3 D.【解析】选B.如图所示，=-=-，所以=，即3=+-·，因为||=||，所以||2-||||cos60°=3，所以||=2.又=-=，所以||=||=1，所以||2+||2=||2，所以BC⊥CD.所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×22×sin60°+×1×=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知点P(-3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·=0，=-，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程.【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，则=(x，y-b)，=(a-x，-y)，因为=-，所以(x，y-b)=-(a-x，-y)，所以a=(x>0)，b=-，则A，Q=，=，因为·=0，所以3x-y2=0，所以所求轨迹方程为y2=4x(x>0).【延伸探究】若本题其他条件不变，把=-改成=呢？【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，由=知M为线段AQ的中点，所以x=(a>0)，y=，所以A(0，2y)，Q(2x，0)，所以=(3，2y)，=(x，-y).因为·=0，所以3x-2y2=0所以所求的轨迹方程为y2=x(x>0).6.今有一小船位于宽d=60m的河边P处，从这里起，在下游l=80m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？【解析】如图，由题设可知，船的实际速度v=v水+v划，其方向为PO所在的方向.则最小划速|v划|=|v水|·sinθ，sinθ===，所以θ=37°.所以最小划速应为v划=5×sinθ=5×=3(m/s).当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°.关闭Word文档返回原板块。
2019_2020学年高中数学课时跟踪训练19平面向量基本定理新人教A版必修4
课时跟踪训练(十九)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 用基底表示向量1.如图所示，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB →⊥OC →，设OC →＝xOA →＋yOB →，则( )A ．x ＝－2，y ＝－1B ．x ＝－2，y ＝1C ．x ＝2，y ＝－1D ．x ＝2，y ＝1[解析] 如图，过C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于D ，连接BC .由|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △OCD 中，可得OD ＝2CD ＝2.则OC →＝OD →＋OB →＝－2OA →＋OB →，故x ＝－2，y ＝1，故选B[答案] B2．设G 为△ABC 的重心，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OG →，OG →＝__________.[解析] OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋13(CA →＋CB →)＝OC →＋13(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝13(a ＋b ＋c )．[答案] 13(a ＋b ＋c )3．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．[解析] 若a ，b 能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线，则a ≠k b (k ∈R )，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，∴λ≠4.[答案] (－∞，4)∪(4，＋∞) 题组二 向量的夹角4．若向量a 与b 的夹角为60°，则向量－a 与－b 的夹角是( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．150°[解析] ∵－a 与－b 分别为a 与b 的相反向量． ∴－a 与－b 的夹角为60°. [答案] A5．在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] AC →与BA →的夹角为∠BAC 的补角． [答案] D6．已知向量a 与b 的夹角等于60°，则 (1)2a 与3b 的夹角是__________， (2)2a 与－b 的夹角是__________．[解析] 2a 与3b 的夹角等于a 与b 的夹角即为60°；2a 与－b 的夹角等于a 与b 夹角的补角，即为120°.[答案] (1)60° (2)120° 题组三 平面向量基本定理的应用7．已知向量a ，b 不共线，且AB →＝a ＋4b ，BC →＝－a ＋9b ，CD →＝3a －b ，则一定共线的是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＝2(a ＋4b )＝2AB →，又BD →与AB →有公共点B ，故A 、B 、D 三点共线．[答案] A8．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165B.125C.85D.45[解析] ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.[答案] C9．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝__________a ＋__________b .[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . [答案] 23 －13综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对[解析] A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1、λ2有且只有一对．[答案] B2．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM →＝－2CA →＋λCB →，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] ∵△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，∴存在实数μ，使得AM →＝μMB →，即CM →－CA →＝μ(CB →－CM →)，化简得CM →＝11＋μCA →＋μ1＋μCB →，∵CM →＝－2CA →＋λCB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧11＋μ＝－2，μ1＋μ＝λ，解之得λ＝3，μ＝－32，故选C.[答案] C3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →等于( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b [解析] ∵CD 平分∠ACB ，∴|CA →||CB →|＝|AD →||DB →|＝21.∴AD →＝2DB →＝23AB →＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )．∴CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .[答案] B 二、填空题4．如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC 且AD ＝12BC ，AC 与BD 相交于O ，设AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示BO →，则BO →＝__________.[解析] BD →＝AD →－AB →＝b －a . ∵O ，B ，D 三点共线， ∴BO →＝xBD →＝x (b －a )，x ∈R ，∴AO →＝AB →＋BD →＝a ＋x (b －a )＝(1－x )a ＋x b ， ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋2b ，∴由A ，O ，C 三点共线知 (1－x )a ＋x b ＝y (a ＋2b )，y ∈R ，故⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝y ，x ＝2y ，解得x ＝23，y ＝13，故BO →＝23(b －a )＝－23a ＋23b .[答案] －23a ＋23b5．l 1，l 2是不共线向量，且a ＝－l 1＋3l 2，b ＝4l 1＋2l 2，c ＝－3l 1＋12l 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝__________.[解析] 设a ＝λ1b ＋λ2c ，即－l 1＋3l 2＝λ1(4l 1＋2l 2)＋λ2(－3l 1＋12l 2)，即－l 1＋3l 2＝(4λ1－3λ2)l 1＋(2λ1＋12λ2)l 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727.则a ＝－118b ＋727c .[答案] －118b ＋727c三、解答题6.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，求λ＋μ的值．[解] 如图，以OC 为对角线作▱OMCN ，使得M 在直线OA 上，N 在直线OB 上，则存在λ、μ，使OM →＝λOA →，ON →＝μOB →， 即OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.在Rt △COM 中，|OC →|＝23，∠COM ＝30°，∠OCM ＝90°， ∴|OM →|＝4，∴OM →＝4OA →. 又|ON →|＝|MC →|＝2，∴ON →＝2OB →，∴OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.7．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值．[解] (1)如图，由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB→＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《平面向量应用举例》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《平面向量应用举例》一、选择题1.一个人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 22.已知平面内四边形ABCD 和点O ，若=a ，=b ，=c ，=d ，且a ＋c =b ＋d ，则四边形ABCDOA → OB → OC → OD → 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形3.平行四边形ABCD 的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则顶点D 的坐标是( )A ．(12,5)B ．(－2,9)C ．(3,7)D ．(－4，－1)4.在平面直角坐标系中，O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O 按逆时针旋转后得向量，则OP → 3π4OQ → 点Q 的坐标是( )A ．(－7，－)22B ．(－7，)22C ．(－4，－2)6D ．(－4，2)65.在四边形ABCD 中，若＋=0，·=0，则四边形为( )AB → CD → AC → BD → A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形6.已知A 、B 是圆心为C ，半径为的圆上两点，且|AB|=，则·等于( )55AC → CB → A ．- B. C ．0 D.52525327.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用而处于平衡状态．已知F 1与F 2的夹角为60°，且F 1，F 2的大小分别为2 N 和4 N ，则F 3的大小为( )A ．6 NB ．2 NC ．2 ND ．2 N578.在△ABC 中，(＋)·=||2，则△ABC 的形状一定是( )BC → BA → AC → AC → A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形二、填空题9.在△ABC 中，已知||=||=4，且·=8，则这个三角形的形状是________．AB → AC → AB → AC → 10.已知O(0，0)，A(6，3)，若点P 在直线OA 上，且=2，P 是线段OB 的中点，则点B 坐PA → OP → 标是_______．11.已知P 为△ABC 所在平面内一点，且满足=＋，AP → 15AC → 25AB → 则△APB 的面积与△APC 的面积之比为________．12.有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为，为使所走路程最短，小船应朝2________的方向行驶．三、解答题13.如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足＋2＋3=0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点.AP → BP → CP → 求证：=2.CQ → CP →14.如图，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB=2AD=2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线．15.如图，在直角三角形ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问与的夹PQ → BC → 角θ取何值时，·的值最大，并求出这个最大值．BP → CQ →答案解析1.答案为：C.解析：根据速度的合成可知．2.答案为：D.解析：由题意知a －b =d －c ，∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形．故选D.BA → CD → 3.答案为：D.解析：设D(x ，y)，由=，知(1,5)=(－3－x,4－y)，AB → DC → 即Error!解得Error!故选D.4.答案为：A.解析：将向量=(6,8)，按逆时针旋转后，得=(8，－6)，OP → 3π2OM → =－(＋)=(－7，－)，所以点Q 的坐标是(－7，－)．OQ → 12OP → OM → 22225.答案为：D.解析：∵∥，||=||，且⊥，故四边形为菱形．AB → CD → AB → CD → AC → BD → 6.答案为：A.解析：由已知得△ABC 为正三角形，向量与的夹角为120°.AC → CB → 所以·=·cos 120°=-.AC → CB → 55527.答案为：D.解析：由向量的平行四边形法则、力的平衡以及余弦定理，得|F 3|2=|F 1|2＋|F 2|2-2|F 1|·|F 2|·cos(180°-60°)=22＋42-2×2×4×(-)=28，∴12|F 3|=2 N.78.答案为：C.解析：由(＋)·=||2，得(＋)·－2=0，所以·(＋－)=0，BC → BA → AC → AC → BC → BA → AC → AC → AC → BC → BA → AC → 所以·(＋＋)=0，即·(＋＋)=0，所以2·=0，AC → BC → BA → CA → AC → BC → CA → BA → AC → BA → 所以⊥，所以∠A=90°，所以△ABC 是直角三角形．AC → BA → 9.答案为：正三角形；解析：∵·=4×4·cos A=8，∴cos A=，∴∠A=，∴△ABC 是正三角形．AB → AC → 12π310.答案为：(4，2)；解析：设P(x ，y)，则=(6-x ，3-y)．PA → ∵=2，∴(6-x ，3-y)=2(x ，y)，∴x=2，y=1.∴点B 的坐标为(4，2)．PA → OP → 11.答案为：1∶2；解析：5=＋2，2－2=－－2，－2(＋)=，AP → AC → AB → AP → AB → AC → AP → AP → PA → PB → PC → 如图所示，以PA ，PB 为邻边作▱PAEB ，则C ，P ，E 三点共线，连接PE 交AB 于点O ，则=2=4，∴===.PC → EP → OP → S △APB S △APC 2S △APO S △APC 2|OP||PC|1212.答案为：与水速成135°角；解析：如图，为使小船所走路程最短，那么v 水＋v 船应与河岸垂直．又|v 水|=||=1，|v 船|=||=，∠ADC=90°，∴∠CAD=45°.AB → AC → 213.证明：∵=＋，=＋，AP → AQ → QP → BP → BQ → QP → ∴(＋)＋2(＋)＋3=0，AQ → QP → BQ → QP → CP → ∴＋3＋2＋3=0.AQ → QP → BQ → CP → 又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线，故可设=λ，=μ，AQ → BQ → CP → QP → ∴λ＋3＋2＋3μ=0，BQ → QP → BQ → QP → ∴(λ＋2)＋(3＋3μ)=0.BQ → QP → 而，为不共线向量，∴Error!解得Error!BQ → QP → ∴=－=.故=＋=2.CP → QP → PQ → CQ → CP → PQ → CP → 14.证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系．令||=1，则||=1，||=2.AD → DC → AB → ∵CE ⊥AB ，而AD=DC ，∴四边形AECD 为正方形．∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．(1)∵=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，=(0,1)－(1,0)=(－1,1)，ED → BC → ∴=，∴∥，即DE ∥BC.ED → BC → ED → BC → (2)连接MD ，MB ，∵M 为EC 的中点，∴M(0，)，12∴=(－1,1)－(0，)=(－1，)，=(1,0)－(0，)=(1，－)．MD → 1212MB → 1212∵=－，∴∥.MD → MB → MD → MB → 又MD 与MB 有公共点M ，∴D ，M ，B 三点共线．15.解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，设AB=c ，AC=b ，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且PQ=2a ，BC=a.设点P(x ，y)，则Q(－x ，－y)，所以=(x －c ，y)，=(－x ，－y －b)，=(－c ，b)，=(－2x ，－2y)，BP → CQ → BC → PQ → 所以·=(x －c)(－x)＋y(－y －b)=－(x 2＋y 2)＋cx －by.BP → CQ → 所以cos θ==，所以cx －by=a 2cos θ，PQ → ·BC → |PQ → ||BC → |cx －by a2所以·=－a 2＋a 2cos θ，BP → CQ → 故当cos θ=1，即θ=0(与的方向相同)时，·最大，其最大值为0.BP → CQ → BP → CQ →。
【2019-2020】高中数学课时跟踪检测二十四平面向量应用举例新人教A版必修4
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学课时跟踪检测二十四平面向量应用举例新人教A版必修4撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________层级一 学业水平达标1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：选D 由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )A ．v1－v2B ．v1＋v2C ．|v1|－|v2|D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪v1v2解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．3．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A ，B ，C ，D ，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选A ∵＝，＝(3,4)，AB∴＝，∴∥，即AB ∥DC.又||＝＝，||＝＝5，∴||≠||，∴四边形ABCD 是梯形．4．在△A BC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则的长为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B ∵＝－＝－，∴＝2＝－·＋，即＝1.∴||＝2，即AC＝2.5．已知△ABC满足＝·＋·＋·，则△ABC是( )A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：选C 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．6．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功是________．解析：∵＝(－4,3)，∴W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：17．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：108．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.答案：－529．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.所以＝，＝.所以·＝－a·a＋·a＝0，所以⊥，即AD⊥CE.10．已知点A(2，－1)．求过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程．解：设所求直线上任意一点P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)．由题意知∥a，故5(y＋1)－(x－2)＝0，即x－5y－7＝0.故过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程为x－5y－7＝0.层级二应试能力达标1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A．10 m/s B．2 m/sC．4 m/s D．12 m/s解析：选B 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为( )A．－ B.52C．－ D.54解析：选C 因为＝，所以点D是BC的中点，则＝(＋)，＝＝(－)，所以·＝(＋)·(－)＝(－)＝(22－32)＝－，选C.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是( )A. B．2C．0 D．1解析：选 A ∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.4.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC ＝( )A. B.25C. D.13解析：选A 设AB的中点是D.∵＋＝2＝－，∴＝－，∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的.5．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________．解析：(－)·(＋－2)＝(－)·(－＋－)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，∴||＝||.答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)．解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．答案：0 987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)，所以F ＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．又位移s ＝(4，4)，故合力F 所做的功为W ＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4 2 ＝4×6 3 ＝24(J)．即合力F 所做的功为24 J.8.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若＝a ，＝b.(1)试以a ，b 为基底表示，；(2)求证：A ，G ，C 三点共线． 解：(1)＝－＝b －a ，＝－＝a －b.(2)证明：因为D ，G ，F 三点共线，则＝λ，即＝＋λ＝λa ＋(1－λ)b.因为B ，G ，E 三点共线，则＝μ，即＝＋μ＝(1－μ)a ＋μb ，由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝， ∴＝(a ＋b)＝，所以A，G，C三点共线．。
2020年高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十四) 平面向量应用举例 Word版含解析
课时达标检测（二十四） 平面向量应用举例一、选择题1．若向量1OF ＝(1,1)，2OF ＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．2 5C. 5D.15 答案：C2．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 答案：A3．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N 答案：B4．已知△ABC 满足AB 2＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案：C5．△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( ) A ．0 B ．0 C ．AB D ．AC 答案：B 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x7．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________.答案：－528．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案：10 三、解答题9．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2， 所以c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2， 所以e ·(c －d )＝0.因为BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，所以AD ·BC ＝e ·(d －c )＝0，所以AD ⊥BC ，即AD ⊥BC .10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解：如图，由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角． 设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°， 则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G |＝100，① 且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°.② 由①②解得|F a |＝1502－506， ∴A 处所受力的大小为(1502－506) N.11.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b .(1)试以a ，b 为基底表示BE ，DF ； (2)求证：A ，G ，C 三点共线． 解：(1)BE ＝AE －AB ＝12b －a ，DF ＝AF －AD ＝12a －b .(2)证明：D ，G ，F 三点共线， 则DG ＝λDF ，AG ＝AD ＋λDF ＝12λa ＋(1－λ)b .B ，G ，E 三点共线，则BG ＝μBE ，AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋12μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝23，∴AG ＝13(a ＋b )＝13AC ，所以A ，G ，C 三点共线．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学 课时跟踪训练24 平面向量应用举例 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
课时跟踪训练(二十四)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 向量在平面几何中的应用1．在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( ) A ．25B.52 5 C ．35D.725 [解析] 设D (x ，y )，则D 为BC 中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－42＝32y ＝7＋52＝6∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6∴|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－42＋(6－1)2＝52 5. [答案] B2．在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →等于( ) A.3＋33 B.92C.3D.94[解析] 建立如图平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0， C ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫34，－14，∴AC →＝(3，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14，∴AC →·AE →＝3×334＝94.[答案] D3．在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰三角形[解析] BA →·(2BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →＋AB →)＝BA →·(BC →＋AC →)＝－BA →·(CB →＋CA →)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA ，CB 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC 一定是等腰三角形．[答案] D题组二 向量在物理中的应用4．若OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为________． [解析] ∵F 1＋F 2＝(0,5)， ∴|F 1＋F 2|＝02＋52＝5. [答案] 55．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________千米/时．[解析] 用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度，则v 0＋v 1表示船实际航行速度．∵|v 0|＝4，|v 1|＝8，∴|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5. [答案] 4 56．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.[解析] 所做的功W ＝60×50×cos30°＝15003(J)．[答案] 1500 3综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形[解析] DB →＋DC →－2DA →＝(DB →＋AD →)＋(DC →＋AD →)＝AB →＋AC →， ∴(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)· (AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0. 即AB →2＝AC →2，∴|AB →|＝|AC →|.[答案] B2．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N[解析] 根据题意作出示意图，如图，有|F 1|＝|F |·cos60°＝10×12＝5(N)．[答案] B3．如图，在重600 N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3 N,300 3 NB ．150 N,150 NC ．300 3 N,300 ND ．300 N,300 N[解析] 作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在▱OACB 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°， |OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3 N ，|AC →|＝|OC →|sin30°＝300 N ，|OB →|＝|AC →|＝300 N. [答案] C 二、填空题4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝________.[解析] 根据题意得MA →·MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12CB →＋CD →＝－14|CB →|2＋12CB →·CD →－12CB →·BA→＋BA →·CD →＝－14×(2)2＋12×2×1×cos135°－12×2×2×cos135°＋2×1×cos0°＝－12－12＋1＋2＝2. [答案] 25．如图，在正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →；④(AD →·AF →)·EF →＝AD →·(AF →·EF →)．其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)[解析] 如图AC →＋AF →＝AB →＋BC →＋AF →，依平行四边形法则，AF →＋AB →＝12AD →＝BC →，∴AC →＋AF →＝2BC →，命题①正确． ∵AF →＋AB →＝12AD →，∴AD →＝2AB →＋2AF →，命题②正确． ∵(AC →－AB →)·AD →＝BC →·AD → ＝2|BC →|2≠0，∴AC →·AD →－AD →·AB →≠0，故命题③不正确．∵(AD →·AF →)·EF →＝(－2EF →·AF →)·EF →＝－2(EF →·AF →)·EF →＝(EF →·AF →)·AD → ＝(AF →·EF →)·AD →，命题④正确，故答案为①②④. [答案] ①②④ 三、解答题6．如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0,0)，B (4,1)，C (6,8)．(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE →＝2EC →，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标． [解] (1)设点D (m ，n )，因为AD →＝BC →，所以(m ，n )＝(6,8)－(4,1) ＝(2,7)，所以顶点D 的坐标为(2,7)．(2)设点I (x ，y )，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，由于DE →＝2EC →， ∴(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233，由于BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，52， BI →＝(x －4，y －1)，BF →∥BI →， ∴52(x －4)＝－3(y －1)，又AE →∥AI →，∴233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝74，y ＝238.则点I 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，238. 7．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？[解] (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos0°＝20(J)．支持力F N 与位移方向垂直，不做功， 所以W N ＝F N ·s ＝0. 重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．。
(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(二十四)平面向量应用举例新人教A版必修4
2课时跟踪检测(二十四) 平面向量应用举例层级一学业水平达标1.已知三个力f 1= ( —2, - 1) , f2= ( —3,2) , f3= (4 , - 3)同时作用于某物体上一点, 为使物体保持平衡，再加上一个力f4,则f4=( )A ( —1 , —2) B. (1 , —2)C. ( —1,2)D. (1,2)解析：选 D 由物理知识知f 1 + f 2+ f 3+ f 4= 0，故f 4= —( f 1 + f 2+ f 3) = (1,2)2.人骑自行车的速度是V1 ,风速为V2,则逆风行驶的速度为()A. V1 —V2B. V1 + V2C. |V1| —| V2|V1 D.- V2解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为V1 + V2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量.3.已知四边形ABCD各顶点坐标是A —1, —3 , B 1, 1 1 7 3，C — 2, 2，D —2，—2则四边形ABCD是(A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形解析：选Auuur 8••• AB = 2, 3 ,uuurDC=(3,4),uur 2 uur uuir uur二AB = 3 DC ,••• AB // DC，即AB// DCuuur 又| AB | =64 10UULT4+ 9 = 3，I DC | = .9 + 16= 5,uuir uur•| AB |工| DC |，•四边形ABCD!梯形.厂uuir 在厶ABC中, AB= 3, AC边上的中线BD=5, ACunr uur-AB = 5,则AC的长为(A. B. 2 C. D. 4解析：选uuur uuir••• BD = ADuuur 1 uuirAB = 2 AC —uuurAB ,UUULT • BD2uuir uurAC —AB1uuuuu1AC2lurACunr-AB +UUULTAB2,1 uuur 即4AC2= 1.uuur/. | AC | = 2，即AC= 2.uuur uur uuir uuu uuu 2uuur uur uur uuu5.已知△ ABC满足AB = AB • AC + BA • BC + CA • CB，则△ ABC是(C.直角三角形D.钝角三角形uuir 2 uuir umr uuir uuu uuu uuu uuir uuur解析：选 C 由题意得，AB = AB • AC + AB • CB + CA • CB = AB •( AC + uuiu uuu uuiu uuir 2 uuu uuiuCB ) + CA • CB = AB + CA • CB ,uuu uuu uuu uuu --CA • CB = 0, A CA _L CB ,•••△ ABC 是直角三角形.6•已知力F = (2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B ( — 2,3)，则力F 对物体所做的功是 _________ •uuur解析：••• AB = ( — 4,3),uuur•- W = F ・s = F • AB = (2,3) • ( —4,3) = — 8 + 9 = 1.答案：17•用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 拉力大小为 _________ N.解析： 如图，由题意，得/ AO(=Z CO = 60°, uuuuuu则I OA I = | OB | = 10,即每根绳子的拉力大小为答案：10&已知 A , B 是圆心为 C,半径为.5的圆上的两点，且解析：由弦长| AB = ,5,可知/ ACB= 60°,uuir uuu uuu uuu uuu uuu 5 AC • CB =— CA • CB =— | CA || CB |cos / ACB= — _._ 5 答案：—29.已知△ ABC 是直角三角形，CA= CB D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且 AE = 2EB 求证：ADL CE证明：如图，以 C 为原点，CA 所在直线为 设 AC= a ,则 A (a, 0) , B (0 , a ),a 1 2D 0, 2 , qo,0) ,E 3a , 3a .uur a 所以 AD = — a , ,10 N ，则每根绳子的l uuuruuir|OC | = 10,10 N.x 轴，建立平面直角坐标系.uuu 1 2 CE = 3a, 3a .U UUU 1 a 2 所以AD • CE = ―a ・ 3a+ 2 ' 3a = 0,UULT UUU所以AD 丄CE , 即 ADLCE10.已知点AA 2 , - 1).求过点A 与向量a = (5,1)平行的直线方程. 解：设所求直线上任意一点P ( x , y ),uuir则 AP = (x - 2, y + 1).uur由题意知 AP // a ,故 5(y + 1) - (x — 2) = 0,即 x — 5y — 7 = 0.故过点A 与向量a = (5,1)平行的直线方程为x — 5y — 7= 0.层级二应试能力达标1.已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A. 10 m/sB. 2 26 m/s C 4 6 m/sD. 12 m/s解析：选B 设河水的流速为V 1,小船在静水中的速度为 V 2,船的实际速度为 v ,则| V 1|=2, | v | = 10, v 丄 V 1,「. V 2= v — V 1, v • V 1 = 0,••• | V 2| = v v 2 — 2v • V 1+ v 1= 2 26(mi/s).UULT 1 UULT UUL T在厶 ABC 中, AB= 3, AC = 2, BD = 2 BC ，贝U AD5 B.5C.UUULT 1 5 AB 2 ) =；(2 — 3)=—：,选 C.44lUUUT 3.如图，在矩形ABCDKAB= 2,BC= 2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上若ABUULT UULTuuir -BD 的值为( A.解析：选CUULT 1 UULT 因为BD = 2BC ,所以点D 是BC 的中点, UULT 1 UULT 则 AD = 0( AB +LULTUUIT1 UULT 1 UULT=J BC = 2( AC —UULT UULTUULT AB )，所以 AD • BD1 UULT UU 1 UUUU U 1 UULT UULT =2( AB + AC ) • -( AC — AB ) = 4( AC UULTAFB. 22，则AE • BF的值是() A. 2C. 0D. 1UU LT AB uuur uuur uuur 解析：选 A •/ AF = AD + DF , uuur • DF = AB • DF =岑2| DF | = . 2, • | DF uuur •- AE • imr UL LT BFuuu r LU LT uuur uuur =(AB + BE ) •( -1) + 1X 2=— 2 + 2 + 2= 2,故选4.如图，设P 为厶ABC 内一点，且 1 A.— 5 1 C.4 解析：选设AB 的中点是D.uuu ••• PA + uu u PB uuur 1 urnr =2PD =— 2 PC , uu ur uiu r 1 • PD 一 4PC , ••• P 为CD 的五等分点,•••△ ABP 的面积为△ ABC 的面积的 uuur uuur uuur AB • AF = AB • uuur uuur BC + CF )= uuur A. uuu uuur 2 PA + 2PB 2 B.— 5 1 D.31 5. uuur uuur uuur uuur(AD + DF ) = AB • AD + uuur I = 1, I CF | = . 2 uuur AB uuur -CF + uuur BE • -1, uuur BC 一 2( 2 uu ur +) uuu且满足(OB — UUL T OC )uuu uuur uuiu-(OB + OC — 2OA ) = 0,则uuu unr uuu uuur uuu解析：( OB —OC •( OB + OC — 2OA ) uuur uuur uuu uuiu u uu =(AB —AC ) •( OB — OA+ OC —OA ) uuur uuur uuir =(AB —AC ) •( AB + AC ) uuur r uuur ”=| AB | —| AC | =0,uuur uuur•I AB | = | AC |.5.若0为厶ABC 所在平面内一点, △ ABC 的形状为 _______ 答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为 37° (sin 37 ° = 0.6)，高为2 m 的斜 面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体 m 受到的摩擦力是它 对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为 J ，重力所做的功为 _ J( g = 9.8 m/s 2). 210解析：物体 m 的位移大小为| s | = = _(m), sin 373则支持力对物体 m 所做的功为W = F -s = | F || s |cos 90 ° = 0(J);重力对物体m 所做的功为⑵求证：A G C 三点共线. uuur uuur urnr 1 解：(1) BE = AE — AB = ^b — a ,uuur uuir uuur 1 即 AG = AB + 口 BE = (1 — 口 ) a +2 u b ,W G- s =| G l S |cos53°=5X 9.8 X0.6 = 3 98(J)答案：0 98 7.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力 F i , F 2, F 3的作用，沿 北偏东45°的方向移动了 8 m 其中|F i | = 2 N,方向为北偏东30°;压| =4 N ，方向为北偏东 60°; | F 3| = 6 N ，方向为北偏西 30°,求合力 F 所做的功. 解：以O 为原点, 正东方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系， 如图所示，则F = (1 , ：3), F 2= (2 ；3, 2), =(4 ：2 , 4 ,；2)，故合力F 所做的功为 W= F-s F 3= ( — 3,3⑶，所以 F = F 1+ F 2+ F s = (2 ；3 — 2,2 + 4 ：3).又位移 s =(2 '3 — 2) X4 ,：2 + (2 + 4 ⑶ X42 =4 '2 X6 3 =24 ：6(J). 即合力F 所做的功为 24 ：6 J. 8.如图，平行四边形 uuur =a , AD = b . ABCDK E, F 分别是 uuurAD AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点.若ABUULT (1)试以a , b 为基底表示BE , uuurDF uuur uuurDF = AFuuirAD 1 =尹―b .(2)证明：因为G, F 三点共线，则 uuur DG 八 uuurDF ,uuur UULT 即AG = AD +入uuur 1DF = 2 入久 + (1—入)b .uuir因为B, G E 三点共线，则BG =uuur BE ,1入=1 —口，由平面向量基本定理知2解得入=（1 = 3,lur 1 1 uuur二A G = 3（a+ b）= 3 A C ,所以A, G C三点共线.。
人教版高中数学 高一人教A版必修4课时检测(二十四) 平面向量应用举例
课时达标检测（二十四） 平面向量应用举例一、选择题1．若向量1OF ＝(1,1)，2OF ＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10B ．2 5 C. 5 D.15答案：C2．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积答案：A3．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N 答案：B 4．已知△ABC 满足AB 2＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形答案：C5．△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( )A ．0B ．0C ．ABD ．AC 答案：B二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x 7．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________.答案：－528．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案：10三、解答题9．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2，所以c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，所以e ·(c －d )＝0.因为BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，所以AD ·BC ＝e ·(d －c )＝0，所以AD ⊥BC ，即AD ⊥BC .10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解：如图，由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角． 设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G |＝100，①且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°.②由①②解得|F a |＝1502－506，∴A 处所受力的大小为(1502－506) N.11.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b .(1)试以a ，b 为基底表示BE ，DF ；(2)求证：A ，G ，C 三点共线．解：(1)BE ＝AE －AB ＝12b －a ，DF ＝AF －AD ＝12a －b .(2)证明：D ，G ，F 三点共线，则DG ＝λDF ，AG ＝AD ＋λDF ＝12λa ＋(1－λ)b .B ，G ，E 三点共线，则BG ＝μBE ，AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋12μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧ 12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝23，∴AG ＝13(a ＋b )＝13AC ，所以A ，G ，C 三点共线．。
2019-2020学年新教材高中数学课时跟踪检测二十四向量基本定理
课时跟踪检测（二十四） 向量基本定理A 级——学考水平达标练1．(多选题)设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．AD ―→与AB ―→ B ．DA ―→与BC ―→ C ．CA ―→与DC ―→D ．OD ―→与OB ―→解析：AC 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD ―→与AB ―→不共线，CA ―→与DC ―→不共线；而DA ―→∥BC ―→，OD ―→∥OB ―→，故A 、C 可作为基底．2.如图所示，矩形ABCD 中，若BC ―→＝5e 1，DC ―→＝3e 2，则OC ―→等于( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2＋5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析：选A OC ―→＝12AC ―→＝12(BC ―→＋AB ―→)＝12(BC ―→＋DC ―→)＝12(5e 1＋3e 2)．3．对于向量a ，b 有下列表示： ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．4．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选 A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)，则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ＋y ＝________.解析：∵向量e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.所以x ＋y ＝7.答案：77．如果3e 1＋4e 2＝a,2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .答案：3a －4b 3b －2a8.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，那么EF ―→用AB ―→与AD ―→可表示为EF ―→＝________.解析：因为EC ―→＝12AB ―→，CF ―→＝23CB ―→＝－23AD ―→，所以EF ―→＝EC ―→＋CF ―→＝12AB ―→－23AD ―→. 答案：12AB ―→－23AD ―→9．已知向量a ，b 不共线，若AB ―→＝λ1a ＋b ，AC ―→＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，试探求实数λ1，λ2满足的关系式．解：∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→＝k AC ―→(k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1.10．已知：在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD ―→＝2BC ―→，∴AD ―→与BC ―→共线，且|AD ―→|＝2|BC ―→|. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．B 级——高考水平高分练1．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 不妨令a ＝CA ―→，b ＝CB ―→，则a －b ＝CA ―→－CB ―→＝BA ―→，由平行四边形法则可知BA ―→＝e 1－3e 2.2．已知向量AB ―→＝a ＋3b ，BC ―→＝5a ＋3b ，CD ―→＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ―→，由于BD ―→与AB ―→有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．3.如图所示向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的终点在同一直线上，且AC ―→＝ －3CB ―→，设OA ―→＝p ，OB ―→＝q ，OC ―→＝r ，则下列等式中成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p解析：选 A ∵AC ―→＝－3CB ―→，∴AB ―→＝－2CB ―→＝2BC ―→.∴r ＝OC ―→＝OA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝OA ―→＋AB ―→＋12AB ―→＝OA ―→＋32(OB ―→－OA ―→)＝32OB ―→－12OA ―→＝－12p ＋32q .4.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ―→＝m AM ―→，AC ―→＝n AN ―→，则m ＋n 的值为______．解析：AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝m 2AM ―→＋n 2AN ―→. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2. 答案：25.如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，求实数m的值．解：AP ―→＝AN ―→＋NP ―→＝14AC ―→＋NP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，∴NP ―→＝m AB ―→－344AC ―→.又NB ―→＝NC ―→＋CB ―→＝34AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→－14AC ―→，设NP ―→＝λNB ―→ (0≤λ≤1)，则λAB ―→－14λAC ―→＝m AB ―→－344AC ―→，∴m ＝λ＝311.6．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ―→＝x BM ―→＋y BN ―→，求x ，y 的值． 解：(1)如图，由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→可知M ，B ，C 三点共线，令BM ―→＝λBC ―→ ⇒AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO ―→＝x BM ―→＋y BN ―→⇒BO ―→＝x BM ―→＋y 2BA ―→，BO ―→＝x 4BC ―→＋y BN ―→，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步单元小题巧练：(11)平面向量应用举例 Word版
姓名，年级：时间：同步单元小题巧练（11)平面向量应用举例1、在四边形ABCD 中，(1,2),(4,2)AC BD ==-,则该四边形的面积为( ) A.5 B 。
25 C 。
5 D 。
102、设O 为ABC △内部的一点,且230OA OB OC ++=，则AOC △的面积与BOC △的面积之比为( ) A.3:2 B.5:3 C.2:1 D 。
3:13、已知,,O N P 在ABC △所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=,且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点,,O N P 依次是ABC △的( ）A.外心、内心、垂心B 。
外心、垂心、内心C 。
外心、重心、垂心D 。
外心、重心、内心4、点G 为ABC △所在平面内一点且满足0GA GB GC ++=，则点G 为ABC △的( )A 。
重心B 。
内心 C.外心 D 。
垂心5、四边形ABCD 中，2AB a b =+，4,53BC a b CD a b =--=--，其中,a b 不共线，则该四边形ABCD 一定为( )A.平行四边形B.矩形 C 。
梯形 D 。
菱形6、若四边形ABCD 中，,0AC AB AD AC BD =+⋅=,则四边形ABCD 一定是（ ）A 。
矩形B 。
菱形C 。
正方形D 。
平行四边形7、物体G 在力F 的作用下，沿水平方向运动位移s ，且F 与竖直方向夹角为θ，如图所示，则F 对物体G 所做的功为( )A.cos F s θ⋅⋅B 。
sin F s θ⋅⋅ C.cos F s θ⋅⋅D.sin F s θ⋅⋅8、平面上三个力123,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，1211N,2N,F F F ==与2F 的夹角为45︒，则3F 大小为（ ） A.3N B.4N C 。
5N D 。
6N9、在长江南岸渡口处，江水以12。
5km/h 的速度向东流,渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江,则航向为____________。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(4)平面向量的应用
（4）平面向量的应用1、在ABC △中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC = （ ） A. 1B. 2C. 3D. 42、已知两个力12,F F u u r u u r 的夹角为90︒，它们的合力大小为10N ，合力与1F u u r的夹角为60︒，那么2F uu r 的大小为( )A.53NB.5NC.10ND.52N3、在ABC △中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于( ) A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒4、在ABC △中，已知4,1,AB AC ABC ==u u u r u u u r△的面积为3，则AB AC ⋅=u u u r u u u r ( )A.2±B.4±C.2D.45、在ABC △中，内角,,A B C 满足2sin cos sin B C A =，则ABC △的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.正三角形6、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=( )A ．6B ．5C ．4D ．37、已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC △的面积为2221()4a b c -+-，1sin 2B =，则A =( ) A.105︒B.75︒C.30︒D.15︒8、如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至点E ，使得DE CD =.若点P 为线段CD 的中点，且AP mAE nAB =+u u u r u u u r u u u r，则m n -=( )A.1B.12C.-1D.12-9、已知ABC △中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且3,33,30b c B ===︒，则AB 边上的中线的长为( ) 37B.34C.3237D.343710、如图所示，隔河可以看到对岸两目标,A B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的,C D 两点，测得75,45,30,45ACB BCD ADC ADB ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒(,,,A B C D 在同一平面内)，则两目标,A B 间的距离为( )85415215D.25km11、等腰梯形ABCD 中，//,2AB CD DC AB =，三个顶点的坐标分别为(1,2),(2,1),(4,2)A B C ，则点D 的坐标为_________.12、在平面四边形ABCD 中，75,2A B C BC ∠=∠=∠=︒=，则AB 的取值范围是_________.13、甲船在A 处观察乙船，发现乙船在它北偏东60︒方向且两船相距a 海里的B 处，乙船正在向北行驶，3θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=__________. 14、已知ABC △的内角,,A B C 对的边分别为,,,sin 22sin ,3a b c A B C b +==，则cos C 的最小值等于___________.15、在静水中某船的速度为20m /min ，水流的速度为10m /min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：设ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则3a =，13c =，120C ∠=︒，由余弦定理得21393b b =++，解得1b =，即1AC =.2答案及解析： 答案：A解析：∵60α=︒，∴2F uu r 的大小为3sin 601053(N)F ⋅︒=⨯=u u u r 合.故选A.3答案及解析： 答案：B解析：由()()3a b c b c a bc +++-=得[][]()()3b c a b c a bc +++-=，即22()3b c a bc +-=，整理得222b c a bc +-=，根据余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.因为(0,180)A ∈︒︒，所以60A =︒.故选B.4答案及解析： 答案：A解析：因为4,1,AB AC ABC ==u u u r u u u r △311sin 41sin 322ABC S AB AC A A =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=u u u r u u u r △所以3sin A =21cos 1sin 2A A =±-=±.所以1cos 4122AB AC AB AC A ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯±=± ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选A.5答案及解析： 答案：B解析：∵2sin cos sin B C A =， ∴2cos a b C =，∴22222a b c a b ab+-=⋅，∴22b c =，∴b c =，∴ABC △的形状是等腰三角形.故选B.6答案及解析： 答案：A解析：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A7答案及解析： 答案：D解析：∵ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的面积为2221()4a b c -+-，∴22211sin ()24ABC S ab C a b c ==-+-△12cos 4ab C =-⨯，∴sin cos ,tan 1C C C =-=-. ∵0180C ︒<<︒，∴135C =︒. ∵1sin ,2B B =为锐角，可得30B =︒，∴18015A B C =︒--=︒. 故选D.8答案及解析： 答案：D解析：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图所示，则(1,0),(1,1)B E -， ∴(1,0),(1,1)AB AE ==-u u u r u u u r.∵(,)AP mAE nAB n m m =+=-u u u r u u u r u u u r，点P 为CD 的中点，∴1,12AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，∴121n m m ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，∴132mn=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12m n-=-.故选D.9答案及解析：答案：C解析：∵3,33,30b c B===︒，∴由余弦定理得2222cosb ac ac B=+-，可得23927233a a=+-⨯⨯⨯，整理可得29180a a-+=，解得6a=或3.如图，CD为AB边上的中线，则1332BD c==，在BCD△中，由余弦定理得2222cosCD a BD a BD B=+-⋅⋅，可得22233333626CD⎛⎫=+-⨯⨯⨯⎪⎪⎝⎭或22233333323CD⎛⎫=+-⨯⨯⨯⎪⎪⎝⎭，解得AB边上的中线32CD=或37.10答案及解析：答案：B解析：由已知，在ACD△中，30,120CAD ACD∠=︒∠=︒，由正弦定理，sin sinCD ADCAD ACD=∠∠，所以34sin243(km)1sin2CD ACDADCAD⋅∠===∠.在BCD△中，60,45CBD BCD∠=︒∠=︒，由正弦定理，sin sinCD BDCBD BCD=∠∠，所以24sin 462sin 3CD BCDBD CBD⋅∠===∠.在ABD △中，由余弦定理，22232462802cos 4824333AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯=， 解得415AB =. 则两目标,A B 415. 故选B.11答案及解析： 答案：(2,4)解析：设点D 的坐标为(,)x y . 因为2DC AB =，所以2DC AB =u u u r u u u r.因为(4,2)(,)(4,2)DC x y x y =-=--u u u r，(2,1)(1,2)(1,1)AB =-=-u u u r，所以(4,2)2(1,1)x y --=-， 即(4,2)(2,2)x y --=-，所以4222x y -=⎧⎨-=-⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩.故点D 的坐标为(2,4).12答案及解析： 答案：(62,62)解析：如图所示，延长,BA CD 交于点E ，过C 作//CF AD 交AB 于F . 因为75BAD B BCD ∠=∠=∠=︒， 则30,75,30E BFC BCF ∠=︒∠=︒∠=︒. 在BCE △中，2sin75sin30BE =︒︒， 解得62BE 在BCF △中，2sin30sin75BF =︒︒，所以AB 的取值范围为(62,62)-+.13答案及解析： 答案：30︒解析：如图所示，60,120CAB B θ∠=︒-∠=︒，设甲船追上乙船时，乙船行驶的距离为x 海里，则BC x =海里，3AC x =海里，在ABC △中，根据正弦定理sin sin BC ACCAB B=∠，得3sin(60)x x θ=︒-，解得1sin(60)2θ︒-=.又60θ︒-为锐角，所以6030θ︒-=︒，即30θ=︒.14答案及解析： 62- 解析：已知等式利用正弦定理化简得22a b c =， 两边平方得22(2)4a b c =， 即2222224a ab b c ++=，∴222224443222a b c a b ab +-=+-，即222223222a b aba b c +-+-=∴222223222cos 2a b c a b abC ab +-+-==132122(2622)88a b b a ⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭. 当且仅当32a bb a =，即32a b =时取等号， 则cos C 的最小值为62-. 故答案为62-.15答案及解析： 答案：作出示意图如图，设v 船与岸所成夹角为α，由图示可知v v v +=水船实际， 结合已知条件，可知四边形ABCD 为平行四边形.在Rt ABC △中，10m /min DC AB v ===u u u r u u u r水， 20m /min AD v ==u u u r船，所以101cos 202CD a AD===u u u ru u u r ， 所以60α=︒，即船行进的方向与水流方向成120︒角.。
2019学年高一数学人教A版必修4同步练习：2.5 平面向量应用举例(含解析)
第二章平面向量2．5 平面向量应用举例1．体会向量方法在几何问题中的应用．2．体会向量方法在物理中的应用．基础梳理一、向量方法在几何中的应用1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b()b≠0⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0 ⇔x1x2＋y1y2＝0．3．求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a·b|a||b|．4．求线段的长度或证明线段相等，能够利用向量的线性运算、向量模的公式||a ＝||a 2．思考应用1．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤是什么？解析：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系． 二、向量方法在物理中的应用 1．力、速度、加速度、位移是向量．2．力、速度、加速度、位移的合成与分解是向量的加法和减法运算，运动的叠加也用到向量的合成．3．动量m v 是向量．4．功即是力F 与所产生的位移s 的数量积． 思考应用2．你能利用向量解决物理上的常见问题吗？试一试：如图所示，一物体受到两个大小均为60 N 的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．解析：设OA→，OB →分别表示两力，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC→即为合力． 由已知可得△OAC 为等腰三角形，且∠COA ＝30°.过A 作AD ⊥OC 于D ，则在Rt △OAD 中， |OD →|＝|OA →|·cos 30°＝60×32＝303(N)． 故|OC →|＝2|OD →|＝603(N)，即合力的大小为60 3 N ，方向与水平方向成30°角．自测自评1．▱ABCD 的三个顶点坐标分别为A (－2，1)，B (－1，3)，C (3，4)，则顶点D 的坐标为(B )A ．(2，1)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(2，3)2．已知△ABC ，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b <0，则△ABC 的形状是(A )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．平行四边形ABCD 中，若⎪⎪⎪⎪AB →＋AD →＝⎪⎪⎪⎪AB →－AD →，则下列判断准确的是(A )A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是正方形C ．四边形ABCD 是邻边不相等的平行四边形 D ．四边形ABCD 是邻边不垂直的菱形4．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝2．解析：先建立平面直角坐标系，结合向量数量积知识求解． 如图，以A 为坐标原点AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (1，2)，∴AE→＝(1，2)，BD →＝(－2，2)， ∴AE→·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2.基础提升1．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为π6，人的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________．解析：W ＝F ·s ＝|F ||s |cos π6＝50×60×32＝1 500 3 J. 答案：1 500 3 J2．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(D )A ．10 m/sB ．12 m/sC ．4 6 m/sD ．226 m/s3．已知作用在点A (2，2)的三个力F 1＝()2，3，F 2＝()1，－4，F 3＝()3，2，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为(B )A.()6，1B.()8，3C.()4，－1D.()3，84．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC→·OA →，则点O 是△ABC 的(D ) A ．三角形内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高的交点5．经过P (－2，0)且平行于a ＝(0，3)的直线方程为________________________________________________________________________．答案：x ＝－2巩固提高6．已知一物体在共点力F 1＝(2，2)，F 2＝(3，1)的作用下，产生位移s ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，32，则共点力对物体所做的功为(C )A ．4B ．3C ．7D ．2解析：合力F ＝F 1＋F 2＝(2，2)＋(3，1)＝(5，3)，F 对物体所做的功为F ·s ＝5×12＋3×32＝7.故选C7．如图所示，已知任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明：EF→＝EA →＋AB →＋BF →， ① EF→＝ED →＋DC →＋CF →， ② 又因为点E 、F 分别是AD 、BC 的中点， EA→＝－ED →，BF →＝－CF →， ①＋② 得 2EF→＝AB →＋DC →，即EF →＝12(AB →＋DC →)． 8．甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是(D )A ．1∶ 2 B.2∶1 C ．1∶ 3 D.3：1解析：设物体重为|G |，则|F 甲|＝|G |sin 60°＝32|G |，|F 乙|＝|G |sin30°＝12|G |，∴|F 甲|∶|F 乙|＝3∶1.故选D.9．如图，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF ∥AB ∥CD .证明：∵在梯形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE →＋DE→＝0. EF→＝12⎝⎛⎭⎫EB →＋EC →＝12⎝⎛⎭⎫AB →－AE →＋DC →－DE →＝ 12⎝⎛⎭⎫AB →＋DC →.∵CD ∥AB ，∴存有实数λ，使得AB →＝λDC →， EF →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋DC →＝1＋λ2DC →，∴EF ∥CD ，同理EF ∥AB. ∴EF ∥AB ∥CD.10．一艘船以5 km /h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角．求水流速度与船的实际速度．解析：如图，OA→表示水流速度，OB →表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC →表示船的实际速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km /h .∵四边形OACB 为矩形，∴|OA→|＝|AC →|tan 60°＝|OB →|·tan 60°＝5 3 (km /h )， |OC →|＝|OB →|sin 30°＝10 (km /h )．所以水流速度为5 3 km /h ，船实际速度为10 km /h .1．用向量解决平面几何问题，往往是利用向量的平行四边形法则和三角形法则及坐标运算，结合平面图形的性质解题，解决的一般问题是平行、垂直的问题．2．平面向量为解决物理问题又提供了方法，解题时先将物理问题转化为数学问题再用向量知识解决，一般涉及力、位移、速度、加速度等量．。
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课时跟踪训练(二十四)
(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)
题组一 向量在平面几何中的应用
1．在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( ) A ．2 5 B.52 5 C ．3 5
D.72
5 [解析] 设D (x ，y )，则D 为BC 中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7－42＝32y ＝7＋5
2＝6 ∴D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6 ∴|AD →|＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－42＋(6－1)2＝52 5. [答案] B
2．在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →
等于( ) A.
3＋3
3
B.92
C. 3
D.94
[解析] 建立如图平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
32，0， C ⎝
⎛⎭⎪⎫32，0，B ⎝
⎛
⎭⎪⎫0，－12. ∴E 点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫3
4
，－14，
∴AC →＝(3，0)，AE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33
4，－14，
∴AC →·AE →
＝3×334＝9
4.
[答案] D
3．在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →
)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．正三角形
D ．等腰三角形
[解析] BA →
·(2BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →＋AB →)＝BA →·(BC →＋AC →
)＝－BA →
·(CB →＋CA →
)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA ，CB 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC 一定是等腰三角形．
[答案] D
题组二 向量在物理中的应用
4．若OF 1→
＝(2,2)，OF 2→
＝(－2,3)分别表示F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为________． [解析] ∵F 1＋F 2＝(0,5)， ∴|F 1＋F 2|＝02
＋52
＝5. [答案] 5
5．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________千米/时．
[解析] 用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度，则v 0＋v 1表示船实际航行速度．∵|v 0|＝4，|v 1|＝8，
∴|v 0＋v 1|＝42
＋82
＝4 5. [答案] 4 5
6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.
[解析] 所做的功W ＝60×50×cos30°＝15003(J)． [答案] 1500 3
综合提升练(时间25分钟)
一、选择题
1．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →
)＝0，则△ABC
的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
[解析] DB →
＋DC →－2DA →＝(DB →＋AD →)＋(DC →＋AD →)＝AB →＋AC →
， ∴(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →
)· (AB →－AC →)＝AB →2－AC →
2
＝0. 即AB →
2＝AC →2
，∴|AB →|＝|AC →|. [答案] B
2．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )
A ．5 3 N
B ．5 N
C ．10 N
D ．5 2 N
[解析] 根据题意作出示意图，如图，有|F 1|＝|F |·cos60°＝10×1
2＝5(N)．
[答案] B
3．如图，在重600 N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A ．300 3 N,300 3 N
B ．150 N,150 N
C ．300 3 N,300 N
D ．300 N,300 N
[解析] 作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在▱OACB 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°， |OA →|＝|OC →
|cos30°＝300 3 N ，
|AC →|＝|OC →|sin30°＝300 N ，|OB →|＝|AC →
|＝300 N. [答案] C 二、填空题
4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →
＝________.
[解析] 根据题意得MA →·MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12CB →＋CD →＝－14|CB →|2
＋12CB →·CD →－12CB →·BA
→
＋BA →
·CD →
＝－14×(2)2
＋12×2×1×cos135°－12×2×2×cos135°＋2×1×cos0°＝
－12－1
2
＋1＋2＝2. [答案] 2
5．如图，在正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
①AC →＋AF →＝2BC →；
②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →；
④(AD →·AF →)·EF →＝AD →·(AF →·EF →)．
其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)
[解析] 如图AC →＋AF →＝AB →＋BC →＋AF →，依平行四边形法则，AF →＋AB →＝1
2
AD →＝BC →
，
∴AC →＋AF →＝2BC →
，命题①正确． ∵AF →＋AB →＝1
2
AD →
，
∴AD →＝2AB →＋2AF →
，命题②正确． ∵(AC →－AB →)·AD →＝BC →·AD → ＝2|BC →
|2
≠0，
∴AC →·AD →－AD →·AB →
≠0，故命题③不正确．
∵(AD →·AF →)·EF →＝(－2EF →·AF →)·EF →＝－2(EF →·AF →)·EF →＝(EF →·AF →)·AD → ＝(AF →·EF →)·AD →
，命题④正确，故答案为①②④. [答案] ①②④ 三、解答题
6．如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0,0)，B (4,1)，C (6,8)．
(1)求顶点D 的坐标；
(2)若DE →＝2EC →
，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标． [解] (1)设点D (m ，n )，因为AD →＝BC →
，所以(m ，n )＝(6,8)－(4,1) ＝(2,7)，
所以顶点D 的坐标为(2,7)．
(2)设点I (x ，y )，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，由于DE →＝2EC →
， ∴(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )，∴E ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫143，233，
由于BF →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，52， BI →
＝(x －4，y －1)，BF →∥BI →
， ∴5
2
(x －4)＝－3(y －1)， 又AE →∥AI →
，∴233x ＝14
3y ，联立方程组可得
x ＝74
，y ＝238
.则点I 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫74，238. 7．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离．
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
[解] (1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力F N，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)．支持力F N与位移方向垂直，不做功，
所以W N＝F N·s＝0.
重力G对物体所做的功为
W G＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为
W＝W F＋W N＋W G＝0.4(J)．。