2008年广东深圳高三年级第一次调研考试理

2008年广东省深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题（理科）
本试卷共21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效.
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
参考公式： 圆柱体的侧面积公式S 圆柱体=ch ，其中c 表示底面的周长，h 表示圆柱的高；
锥体的体积公式sh V 3
1
=
，其中S 表示底面积，h 表示锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，有
且只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B =ð（ ）
A ．∅
B ．{1,2,3,4}
C ．{0,1,2,3,4}
D ．{2,3,4}
2．复数13i z =+，21i z =-，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直
径为1的圆，那么这个几何体的全面积为
（ ）
A ．3
π2
B ．2π
C ．3π
D ．4π
4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -=
（ ）
A ．1
B ．
14
C ．1-
D ．114
-
5．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列
的公比是
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．
1
2
6．函数2
()ln(1)f x x x
=+-
的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)
C ．(2,)e
D ．(3,4)
7．为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间X （单位：分钟），按锻炼时间分下
列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；
③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是 （ ）
A ．3800
B ．6200
C ．0.38
D ．0.62
8．如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB
上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）
A ．
B ．6
C ．
D ．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13—15小题是选做题，考生只
能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．
9．在ABC ∆中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，若60B =︒，75C =︒，8a =，则边b 的长
等于 ．
10．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校
的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答）
11．在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则
222
111
h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ．
12．已知定义在区间[0,1]上的函数()y f x =的图像如图所示，对于满足1201x x <<<的任
意1x 、2x ，给出下列结论：
①2121()()f x f x x x ->-； ②2112()()x f x x f x >；
③
1212()()
22f x f x x x f ++⎛⎫
<
⎪⎝⎭
． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是 ，
它与方程π
4
θ=
（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是 ．
14．（不等式选讲选做题）已知点P 是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分
别为x 、y 、z ，则x 、y 、z 所满足的关系式为 ，222x y z ++的最小值是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、
B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、TB 于D 、E 两点，已知2PT =
，PB =，
则PA = ，
TE
AD
= ．
P
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅． （Ⅰ）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若8()5f θ=
，求πcos 224θ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值． 17．（本小题满分12分）
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小
球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
1
2
．
（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3=ξ的
概率和ξ的数学期望3=ξ．
18．（本小题满分14分）
如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，
CB AB DA EA 2===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．
（Ⅰ）求证：DM EB ⊥；
（Ⅱ）求二面角M BD A --的余弦值． 19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点)0,2(A 、)0,2(-B ，P 是平面内一动点，
直线PA 、PB 的斜率之积为3
4
-．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求
直线MA 的斜率k 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知2
7
21)(,ln )(2++=
=mx x x g x x f ，
（0m <），直线l 与函数)(x f 、)(x g 的图像都相切，且与函数)(x f 的图像的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；
（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当0b a <<时，求证：()(2)2b a
f a b f a a
-+-<． 21．（本小题满分14分）
如图，111(,)P
x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<<）是曲线C ：
23y x = （0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,,i n =）在x 轴的正半轴上，且
1i i i A A P -∆是正三角形（0A 是坐标原点）．
（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；
（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设123
21111
n n n n n
b a a a a +++=
++++
，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈
-时，不等式21
26
n t mt b -+
>恒成立，求实数t 的取值范围．。