2019-2020高中数学必修一课件:1.2.2 第1课时函数的表示法
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第十五页,编辑于星期日:点 三十五分。
2.已知函数f(x+1)=x2-2x,则f(x)=________. 【答案】x2-4x+3 【解析】方法一:(换元法)令x+1=t,则x=t-1,可得f(t) =(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3. 方法二:(配凑法)因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3=(x +1)2-4(x+1)+3,所以f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3,即f(x)= x2-4x+3.
第九页,编辑于星期日:点 三十五分。
【方法规律】待定系数法求函数解析式的步骤如下 (1)设出所求函数含有待定系数的解析式,如一次函数解析 式设为 f(x)=ax+b(a≠0),反比例函数解析式设为 f(x)=kx (k≠0),二次函数解析式设为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程 组. (3)解方程或方程组,得到待定系数的值. (4)将所求待定系数的值代回原式.
第十三页,编辑于星期日:点 三十五分。
(2)把原式中的 x 换为1x得
f1x-2f(x)=3x+2,与原式联立,得
fx-2f1x=3x+2, f1x-2fx=3x+2,
解得 f(x)=-x-2x-2.
第十四页,编辑于星期日:点 三十五分。
【方法规律】对于形如f[g(x)]的解析式,求f(x)的解析式,可 采用配凑法或换元法:配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关 于g(x)的形式,进而求出f(x)的解析式;换元法可令g(x)=t,解出 x,即用t表示x,然后代入f[g(x)]中即可求得f(t),从而求得f(x).
第二十三页,编辑于星期日:点 三十五分。
因忽略函数的定义域而出错
【示例】已知f(x2+2)=x4+4x2,求f(x)的解析式. 【错解】∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 设t=x2+2,则f(t)=t2-4,∴f(x)=x2-4. 【错因】采用换元法求函数的解析式时,一定要注意换元后 的自变量的取值范围.如本题中令t=x2+2后,则t≥2.
第四页,编辑于星期日:点 三十五分。
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示.( ) (2)一个函数可以用不同的表示方法来表示.( ) (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)×
第五页,编辑于星期日:点 三十五分。
________.
【答案】(1)f(x)=x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1}
第六页,编辑于星期日:点 三十五分。
3.思一思:根据函数的图象能够准确求出每一个自变量对应 的函数值?
【解析】不能,只能近似的求出函数值且误差较大.
第七页,编辑于星期日:点 三十五分。
待定系数法求函数的解析式 【例1】(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,求f(x)的解析 式; (2)已知一次函数y=f(x),f(1)=1,f(-1)=-3,求f(3). 【解题探究】设出f(x)的解析式,带入已知条件列出方程或 方程组,求出系数写出解析式
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)是一次函数,若f(1)=1,f(2)=2,则函数f(x)的解 析式是________. (2)某教师将其1周课时节次列表如下:
X/星期
12345
Y/节次
24531
从 这 个 表 中 看 出 这 个 函 数 的 定 义 域 是 ________ , 值 域 是
1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
第一页,编辑于星期日:点 三十五分。
目标定位
重点难点
1.掌握函数的三种表示方法: 重点:函数解析式的求法及
解析法、图象法、列表法. 函数图象的画法.
2.会根据不同的需要选择恰当 难点:求函数的解析式和图
方法表示函数.
象的表示方法.
第二页,编辑于星期日:点 三十五分。
第二十五页,编辑于星期日:点 三十五分。
1.函数的三种表示法的优缺点比较
比较 解析法
列表法 图象法
优点
变量关系特别明显 ,给定任意自变量 可直接代入式子, 好求值
不用计算只需看, 任意给定变量值, 表中查找很容易
很形象也很直观, 变化趋势很明显
缺点
不形象、不直观, 变化趋势难判断, 有些函数无法使用
1.函数的表示法 (1)解析法:用__数_学__表__达__式__表示两个变量之间的对应关系. (2)图象法:用__图__象__表示两个变量之间的对应关系. (3)列表法:列出__表__格__来表示两个变量之间的对应关系.
第三页,编辑于星期日:点 三十五分。
2.对三种表示法的说明 (1)解析法:利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关 系明确,且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域. (2)图象法:图象既可以是连续的曲线,也可以是离散的点. (3)列表法:采用列表法的前提是函数值对应清楚,选取的 自变量要有代表性.
第二十四页,编辑于星期日:点 三十五分。
【正解】∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 令t=x2+2(t≥2),则f(t)=t2-4(t≥2). ∴f(x)=x2-4(x≥2). 【警示】本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面错 误的解法,似乎是无懈可击,然而从其结论,即f(x)=x2-4来 看,并未注明f(x)的定义域,那么按一般理解,就应认为其定义 域是全体实数,但是f(x)=x2-4的定义域不是全体实数.
第十页,编辑于星期日:点 三十五分。
1.已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,求该二次 函数的解析式.
【解析】设二次函数的解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题意得ca=+1b,+c=2, 4a+2b+c=5,
解得ab= =10, , c=1,
故 f(x)=x2+1.
第二十七页,编辑于星期日:点 三十五分。
1.函数y=1+x x的大致图象是(
)
【答案】A
【解析】y=
x 1+x
定义域为{x|x≠-1},排除C,D;当x=
0时,y=0,排除B.故选A.
第二十八页,编辑于星期日:点 三十五分。
2.(2019年广东揭阳期中)若g(x)=1-2x,f[g(x)]=
1-x2 x2
5.已知f(x)=x+b,f(ax+1)=3x+2,求a,b的值.
【解析】由f(x)=x+b,得f(ax+1)=ax+1+B.
∴ax+1+b=3x+2. ∴a=3,b+1=2,即a=3,b=1.
第三十一页,编辑于星期日:点 三十五分。
【解析】(1)方法一:x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2 -1,
∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). 方法二:令 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1),代入原式有 f(t) =(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1).
,
则f12的值为(
)
A.15
B.3
C.115 【答案】A
D.13
【解析】令1-2x=12,则x=14,∴f12=1-14142 2=15.
第二十九页,编辑于星期日:点 三十五分。
3.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个 数x(个)的函数,则y与x的函数关系式为________.
第十六页,编辑于星期日:点 三十五分。
函数图象的作法及应用 【例 3】作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y=2x,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 【解题探究】解答本题可利用函数图象的作法,并结合函数 定义域来分析、作图.
第十七页,编辑于星期日:点 三十五分。
第十九页,编辑于星期日:点 三十五分。
(3)列表:
x -2 -1 0 1 2
y
0
-1 0 3 8
图象是抛物线 y=x2+2x 在-2≤x≤2 之间的部分.
由图可得函数的值域是[-1,8].
第二十页,编辑于星期日:点 三十五分。
【方法规律】1.作函数图象的三个步骤 1列表.先找出一些有代表性的自变量x的值,并计算出与这 些自变量相对应的函数值fx,用表格的形式表示出来. 2描点.把第1步表格中的点x,fx一一在坐标平面上描出 来. 3连线.用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来. 2.函数图象很直观,在解题过程中常用来帮助理解问题的数 学本质.
只能在数量不多时 使用
近似表达对应值, 误差较大
联系
解析、列 表和图象 三法各有 优缺点, 面对实际 问题时根 据需要恰 当选择
第二十六页,编辑于星期日:点 三十五分。
2.作函数图象时应注意以下几点 (1)在定义域内作图. (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬 托整个图象. (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的 交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
第十一页,编辑于星期日:点 三十五分。
求函数的解析式
【例 2】根据条件,求函数解析式. (1)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x); (2)f(x)-2f1x=3x+2,求 f(x). 【解题探究】(1)把 x+1 看作整体,换元或配凑; (2)把 x 与1x看作两个变量进行互换.
第十二页,编辑于星期日:点 三十五分。
第二十一页,编辑于星期日:点 三十五分。
3.作出下列函数图象并求其值域. (1)y=1-x(x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 【解析】(1)因为x∈Z,所以图象为一直线上的孤立点(如图 ①),由图象知,y∈Z.
第二十二页,编辑∈[0,3),故图象是一段抛物线(如图②), 由图象知,y∈[-5,3).
【解析】(1)列表:
x0
1 2
1
3 2
2
y1
2
3
4
5
当 x∈[0,2]时,图象是直线 y=2x+1 的一部分,观察图象
可知,其值域为[1,5].
第十八页,编辑于星期日:点 三十五分。
(2)列表:
x2 3
4
5…
y1
2 3
1 2
2… 5
当 x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数 y=2x的一部分,观
察图象可知其值域为(0,1].
第八页,编辑于星期日:点 三十五分。
【解析】(1)设反比例函数 f(x)=kx(k≠0), 则 f(3)=3k=-6,解得 k=-18,故 f(x)=-1x8. (2)设一次函数 f(x)=ax+b(a≠0), ∵f(1)=1,f(-1)=-3, ∴a-+ab+=b1=,-3, 解得ab= =-2,1. ∴f(x)=2x-1. ∴f(3)=2×3-1=5.
【答案】y=2.5x,x∈N 4.若函数f(x)对任意实数x,恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x) =__________. 【答案】x+1 【解析】2f(x)-f(-x)=3x+1,① 以-x换x,得2f(-x)-f(x)=-3x+1.② 由①②,得f(x)=x+1.
第三十页,编辑于星期日:点 三十五分。
2.已知函数f(x+1)=x2-2x,则f(x)=________. 【答案】x2-4x+3 【解析】方法一:(换元法)令x+1=t,则x=t-1,可得f(t) =(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3. 方法二:(配凑法)因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3=(x +1)2-4(x+1)+3,所以f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3,即f(x)= x2-4x+3.
第九页,编辑于星期日:点 三十五分。
【方法规律】待定系数法求函数解析式的步骤如下 (1)设出所求函数含有待定系数的解析式,如一次函数解析 式设为 f(x)=ax+b(a≠0),反比例函数解析式设为 f(x)=kx (k≠0),二次函数解析式设为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程 组. (3)解方程或方程组,得到待定系数的值. (4)将所求待定系数的值代回原式.
第十三页,编辑于星期日:点 三十五分。
(2)把原式中的 x 换为1x得
f1x-2f(x)=3x+2,与原式联立,得
fx-2f1x=3x+2, f1x-2fx=3x+2,
解得 f(x)=-x-2x-2.
第十四页,编辑于星期日:点 三十五分。
【方法规律】对于形如f[g(x)]的解析式,求f(x)的解析式,可 采用配凑法或换元法:配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关 于g(x)的形式,进而求出f(x)的解析式;换元法可令g(x)=t,解出 x,即用t表示x,然后代入f[g(x)]中即可求得f(t),从而求得f(x).
第二十三页,编辑于星期日:点 三十五分。
因忽略函数的定义域而出错
【示例】已知f(x2+2)=x4+4x2,求f(x)的解析式. 【错解】∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 设t=x2+2,则f(t)=t2-4,∴f(x)=x2-4. 【错因】采用换元法求函数的解析式时,一定要注意换元后 的自变量的取值范围.如本题中令t=x2+2后,则t≥2.
第四页,编辑于星期日:点 三十五分。
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示.( ) (2)一个函数可以用不同的表示方法来表示.( ) (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)×
第五页,编辑于星期日:点 三十五分。
________.
【答案】(1)f(x)=x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1}
第六页,编辑于星期日:点 三十五分。
3.思一思:根据函数的图象能够准确求出每一个自变量对应 的函数值?
【解析】不能,只能近似的求出函数值且误差较大.
第七页,编辑于星期日:点 三十五分。
待定系数法求函数的解析式 【例1】(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,求f(x)的解析 式; (2)已知一次函数y=f(x),f(1)=1,f(-1)=-3,求f(3). 【解题探究】设出f(x)的解析式,带入已知条件列出方程或 方程组,求出系数写出解析式
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)是一次函数,若f(1)=1,f(2)=2,则函数f(x)的解 析式是________. (2)某教师将其1周课时节次列表如下:
X/星期
12345
Y/节次
24531
从 这 个 表 中 看 出 这 个 函 数 的 定 义 域 是 ________ , 值 域 是
1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
第一页,编辑于星期日:点 三十五分。
目标定位
重点难点
1.掌握函数的三种表示方法: 重点:函数解析式的求法及
解析法、图象法、列表法. 函数图象的画法.
2.会根据不同的需要选择恰当 难点:求函数的解析式和图
方法表示函数.
象的表示方法.
第二页,编辑于星期日:点 三十五分。
第二十五页,编辑于星期日:点 三十五分。
1.函数的三种表示法的优缺点比较
比较 解析法
列表法 图象法
优点
变量关系特别明显 ,给定任意自变量 可直接代入式子, 好求值
不用计算只需看, 任意给定变量值, 表中查找很容易
很形象也很直观, 变化趋势很明显
缺点
不形象、不直观, 变化趋势难判断, 有些函数无法使用
1.函数的表示法 (1)解析法:用__数_学__表__达__式__表示两个变量之间的对应关系. (2)图象法:用__图__象__表示两个变量之间的对应关系. (3)列表法:列出__表__格__来表示两个变量之间的对应关系.
第三页,编辑于星期日:点 三十五分。
2.对三种表示法的说明 (1)解析法:利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关 系明确,且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域. (2)图象法:图象既可以是连续的曲线,也可以是离散的点. (3)列表法:采用列表法的前提是函数值对应清楚,选取的 自变量要有代表性.
第二十四页,编辑于星期日:点 三十五分。
【正解】∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4, 令t=x2+2(t≥2),则f(t)=t2-4(t≥2). ∴f(x)=x2-4(x≥2). 【警示】本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面错 误的解法,似乎是无懈可击,然而从其结论,即f(x)=x2-4来 看,并未注明f(x)的定义域,那么按一般理解,就应认为其定义 域是全体实数,但是f(x)=x2-4的定义域不是全体实数.
第十页,编辑于星期日:点 三十五分。
1.已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,求该二次 函数的解析式.
【解析】设二次函数的解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题意得ca=+1b,+c=2, 4a+2b+c=5,
解得ab= =10, , c=1,
故 f(x)=x2+1.
第二十七页,编辑于星期日:点 三十五分。
1.函数y=1+x x的大致图象是(
)
【答案】A
【解析】y=
x 1+x
定义域为{x|x≠-1},排除C,D;当x=
0时,y=0,排除B.故选A.
第二十八页,编辑于星期日:点 三十五分。
2.(2019年广东揭阳期中)若g(x)=1-2x,f[g(x)]=
1-x2 x2
5.已知f(x)=x+b,f(ax+1)=3x+2,求a,b的值.
【解析】由f(x)=x+b,得f(ax+1)=ax+1+B.
∴ax+1+b=3x+2. ∴a=3,b+1=2,即a=3,b=1.
第三十一页,编辑于星期日:点 三十五分。
【解析】(1)方法一:x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2 -1,
∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). 方法二:令 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1),代入原式有 f(t) =(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1).
,
则f12的值为(
)
A.15
B.3
C.115 【答案】A
D.13
【解析】令1-2x=12,则x=14,∴f12=1-14142 2=15.
第二十九页,编辑于星期日:点 三十五分。
3.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个 数x(个)的函数,则y与x的函数关系式为________.
第十六页,编辑于星期日:点 三十五分。
函数图象的作法及应用 【例 3】作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y=2x,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 【解题探究】解答本题可利用函数图象的作法,并结合函数 定义域来分析、作图.
第十七页,编辑于星期日:点 三十五分。
第十九页,编辑于星期日:点 三十五分。
(3)列表:
x -2 -1 0 1 2
y
0
-1 0 3 8
图象是抛物线 y=x2+2x 在-2≤x≤2 之间的部分.
由图可得函数的值域是[-1,8].
第二十页,编辑于星期日:点 三十五分。
【方法规律】1.作函数图象的三个步骤 1列表.先找出一些有代表性的自变量x的值,并计算出与这 些自变量相对应的函数值fx,用表格的形式表示出来. 2描点.把第1步表格中的点x,fx一一在坐标平面上描出 来. 3连线.用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来. 2.函数图象很直观,在解题过程中常用来帮助理解问题的数 学本质.
只能在数量不多时 使用
近似表达对应值, 误差较大
联系
解析、列 表和图象 三法各有 优缺点, 面对实际 问题时根 据需要恰 当选择
第二十六页,编辑于星期日:点 三十五分。
2.作函数图象时应注意以下几点 (1)在定义域内作图. (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬 托整个图象. (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的 交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
第十一页,编辑于星期日:点 三十五分。
求函数的解析式
【例 2】根据条件,求函数解析式. (1)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x); (2)f(x)-2f1x=3x+2,求 f(x). 【解题探究】(1)把 x+1 看作整体,换元或配凑; (2)把 x 与1x看作两个变量进行互换.
第十二页,编辑于星期日:点 三十五分。
第二十一页,编辑于星期日:点 三十五分。
3.作出下列函数图象并求其值域. (1)y=1-x(x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 【解析】(1)因为x∈Z,所以图象为一直线上的孤立点(如图 ①),由图象知,y∈Z.
第二十二页,编辑∈[0,3),故图象是一段抛物线(如图②), 由图象知,y∈[-5,3).
【解析】(1)列表:
x0
1 2
1
3 2
2
y1
2
3
4
5
当 x∈[0,2]时,图象是直线 y=2x+1 的一部分,观察图象
可知,其值域为[1,5].
第十八页,编辑于星期日:点 三十五分。
(2)列表:
x2 3
4
5…
y1
2 3
1 2
2… 5
当 x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数 y=2x的一部分,观
察图象可知其值域为(0,1].
第八页,编辑于星期日:点 三十五分。
【解析】(1)设反比例函数 f(x)=kx(k≠0), 则 f(3)=3k=-6,解得 k=-18,故 f(x)=-1x8. (2)设一次函数 f(x)=ax+b(a≠0), ∵f(1)=1,f(-1)=-3, ∴a-+ab+=b1=,-3, 解得ab= =-2,1. ∴f(x)=2x-1. ∴f(3)=2×3-1=5.
【答案】y=2.5x,x∈N 4.若函数f(x)对任意实数x,恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x) =__________. 【答案】x+1 【解析】2f(x)-f(-x)=3x+1,① 以-x换x,得2f(-x)-f(x)=-3x+1.② 由①②,得f(x)=x+1.
第三十页,编辑于星期日:点 三十五分。