2-1单纯形法原理

bl' a'
lmk
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4、迭代运算
写成增广矩阵的形式,进行迭代.
x1 x2 xm xm1....xl
xn
b
1
a1m1 ...a1mk ...a1n ....... ...... .......
1
alm1 ...almk ...aln
....... ...... ........
1 amm1 ...ammk ...amn
xm
的
k
mk
0
并且对应的非基变量的系数
a' 0, i 1,2,..m i ,mk
则具有无界解（或无最优解）。
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2、最优性检验与解的判别
（4）之证明： x1
b1'
a x ' 1mk mk
x2
b2'
a' 2mk
xmk
........
.......... .
xm
bm'
a' mmk
xmk
X (2) (2,3,0,8,0)T 最优解
X (3) (4,2,0,0,4)T 目标函数为： Z 14 1.5x3 0.125x4
最优值Ｚ＝１４
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代入目标函数 Z 9 2 • 结合图形法分析（单纯形法的几何意义）
令：x1 x5 0, 得一基可
x2
X (1) (0,3,2,16,0)T
j m 1
j m1
cm1xm1 ... cn xn
m
n
m
cibi'
(c j ciai'j )x j
i 1
j m 1
i 1
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2、最优性检验与解的判别
m
令：Z0 cibi' i 1
m
Z j ciai'j i 1
n
Z Z0 (c j Z j )x j j m1
第一节 单纯形法原理
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第一节 单纯形法原理
本节通过一个引例，可以了解利用 单纯形法求解线性规划问题的思路，并 将每一次的结果与图解法作一对比，其 几何意义更为清楚。
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引例（上一章例）
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
换基，继续
z 0 2x1 3x2
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第4步 基变换
• 换入基变量：
z 0 2x1 3x2 0 1x1 2 x2
1, 2 0, x1, x2 均可换入。
一般选取 max( 对1,应2)的变量
（即选最大非负检验数对应的变量）
换入变量 x2
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• 换出变量
8
4 x1
x4
16
4 x2
x5 12
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
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求解线性规划问题的基本思路
从线性规划解的性质可知求解 1、构线造性初规始划可问行题基的；基本思路。 2、求出一个基可行解（顶点） 3、最优性检验：判断是否最优解； 4、基变化，转2。要保证目标函数值比
min{x5ab为 112 ,换ab222出, ab变332 量 ak2 0} min( 8 / 2,,12 / 4) 3
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x2 min( 8 / 2
x2 为换入变量，应换出 x5变为量换 。 出变量
因此，基由 B (P3 P4 P5) 变为 B ( P3 P4 P2 )
转第2步：基变量用非基变量表示。
第3步：最优性判断
检验数
存在正，按第4步换基继续迭代
均非正，停止
（这时的解即是最优解）
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xx33
转
第x4x2424步xx2242xx1182226
8
1x16
41x21
x1 4 x1
x5
x5
xx33
2
8 x1
12x5x1
1 2
x5
x4x4 16 41x16 4 x1
有：
xi bi
(i 1, 2,...m)
X (b1, b2 ,..., bm , 0, 0,..., 0)T 是一初始基可行解。
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2、最优性检验与解的判别
一般情况下，对于基可行解：
x1
b1'
a
' 1m1
xm1
...
a
' 1n
xn
x2
b2'
a
' 2 m 1
xm1
...
a
' 2n
xn
Z Z0 mk xmk
• 出基变量确定
Z大
xmk 大
x1
b1'
a' 1m k
xmk
0
（在可行的范围内）
x2
b2 '
a' 2mk
xmk
0
........
...........
xm bm' a'mmk xm则k 对 应0 的 x为l 出基变量.
min
i
a
bi'
' im
k
a' imk
0
1 20 1 0 0 8
4 00 0 1 0 16
0
14
0
0
1
12
主元
Z 0 2 x1 3x2
X (0) (0,0,8,16,12)T
通过初等行变 换化主列为
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4、迭代运算
每次迭代的信息都 在增广矩阵及目标
函数中。
xx xx x
12 34
5
b
1 0 1 0 -1/2 2
原来更优。
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第1步 确定初始基可行解
根据
1 2 1 0 0
A (P1,..., P5 ) 4 0 0 1 0
0
4
0
0
1
显然 ，P3, P4, P5 可构成初等可行基B 。
1 0 0
令：B
( P3 ,
P4 ,
P5 )
0
1
0
x3, x4, x5 为基变量
0 0 1
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x3 使换入的变量越大越x好4 同时，新的解要可行。
x5
选非负i的最小者对应的x2变量换m出in( 8 / 2
x2 为换入变量，应换出 ？x5为 变量换 。 出变量
时思会ak考当怎2x3：样0？x4
8 2x2 0
16
0
x5 12 4x2 0
x2 min( 8 / 2,,12 / 4) 3
N
无可行解
以后 讨论
某非基变量 检验数为零
Y 无穷多最优解回
3、基变换
入基变量确定
若
max( j
m
j
| m j
0)
，一般则
mk
取xk为入基变量。
此时，目标函数 Z Z0 mk xmk
注意：只要 j 0 对应的变量x j
均可作为入基变量
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3、基变换
b1 M
bl
M
bm
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4、迭代运算
例：
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
4x1
x4 16
4 x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
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4、迭代运算
非基变量
基变量
x x x x x b x11 x22 x33x44x5 5 b
• （2）唯一最优解判别定理：若所有
j 0 j m 1,..., n
则存在唯一最优解。
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2、最优性检验与解的判别
• （3）无穷多最优解判定定理：若：
j 0, j m
且存在某一个非基变量
1,..., n
x 的
k
k
0
则存在无穷多最优解。
•（4）无界解判定定理：若有某一个非基
变量
........
............. .........
xm
bm'
a
' mm1
xm1
...
a
' mn
xn
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2、最优性检验与解的判别
代入目标函数，有：
Z c1x1 c2 x2 ... cn xn
n
n
c1(b1'
a1' j x j ) ... cm (bm'
am' j x j )
1、初始基可行解的确定
x1
b1 a1m1xm1 ... a1n xn
.....x..2...............b..2.....a..2.m...1..x..m...1 ... a2n xn
xm
bm amm1xm1 ... amn xn
令所有非基变量等于零：xm1 ... xn 0
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1、初始基可行解的确定
• 观察法:直接观察得到初始可行基 • ≤约束条件: 加入松弛变量即形成可
行基。（下页） • ≥约束条件: 加入非负人工变量, 以
后讨论.
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1、初始基可行解的确定
不妨设 x1, x2为,松,弛x变m 量，则约束方
程组可表示为
x1
a1m1xm1 ... a1n xn b1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
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单纯形法迭代原理
从引例中了解了线性规划的求解 过程，将按上述思路介绍一般的 线性规划模型的求解方法——单 纯形法迭代原理。
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单纯形法迭代原理
由定理3可知，如果线性规划问题 存在最优解，一定有一个基可行 解是最优解。因此单纯形法迭代 的基本思想是：先找出一个基可 行解，判断其是否为最优解，如 为否，则转换到相邻的基可行解 ，并使目标函数值不断增大，一 直找到最优解为止。
.....x..2..............a..2.m...1..x..m...1........... a2n xn b2
xm amm1xm1 ... amn xn bm
x1, x2 ,..., xn 0
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1、初始基可行解的确定
其系数矩阵中存在一单位矩阵
1 0L 0
(
P1
,
P2
,
......,
Pm
)
0
M
1L M
0 M
0
0L
1
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1、初始基可行解的确定
P1, P2,......., Pm 称为基向量，同时对应的变量 x1, x2,......., xm 称为基变量，其它变量 xm1, xm2,......., xn
称为非基变量。
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x2
x32
3
1 4
x5
1 4
x5
代 代入入目目 标函标数函Z数
9
Z2 x1
93 4
x5
2 x1
3 4
x5
令 令：：x1x1 x5 x05, 得一0,基得可一 行解基X (可 1) 行解X (1)
XX ((11) )(0,(30,2,,316,,20),16,0)T
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继续迭代, 可得到:
6—
X (2) X((22),3,0(2,8,3,0,0),T8,0)T
5—
A4(0—,3)
3—
X (3) X((43),2,0(4,0,2,,40),T0,4)T B(2,目 3) C标 (4,2)函目数 标为 函数 ：为：
2—
1— |
|
|
Z 14Z11.45
| D(|4,0|) | | |
x31.50x3.1205.1
第2步 求出基可行解
基变量用非基
x3
是否是 最优x4解？x5
8 16 12
x1 4x1
2变令x2量非表基示变，量并为
0时对应的解
4 x2
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考虑将 x1 或 x2
第3步 最优性检验换入为量基变
分析目标 函数
只要取 x1 或0 x2 的 0, z
值可能增大。
检验数
<=0 时，最优解 >0 时， 无解
4
0
0
1
0
16
0 1 0 0 1/4 3
Z
9
2 x1
3 4
x5
X (1)检验数(0, 3, 2,16, 0)T
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第一节 单纯形法迭代原理
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令： j (c j Z j )
检验数
n
Z Z0 j x j j m1
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2、最优性检验与解的判别
• (1) 最优解判别定理：若：
X (0) (b1' , b2' ,..., bm' , 0,...0)T
为基可行解，且全部 j 0, j m 1,..., n
则 为X 最(0) 优解。
a' imk
0, 对任意xmk
0,即解都可行，
Z Z0 mk xmk
当xmk , Z .
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最优解判断小结
（用非基变量的检验数） 换基继续
j 0j 0 N
所有 j 0
Yj 0
N
对任j 一0j 0
Y 有 aik aik0 0
无界解
基变量中aik有 0 Y
非零人工变量