2011年广东省教研室推荐高考数学必做38套(13) 文

2011年广东省教研室推荐高考必做38套（13）
数学文
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目悬想的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 费选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个项目指定区域内相应位置上；如需改动，先花掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，在作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：
锥体的体积公式V=1
3
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{}0,2,A a =,{}
21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4 2.已知i 为虚数单位,则复数2
(1)(1)i i -+等于（ ）
A.22i -+
B.22i --
C.22i +
D.22i - 3.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题：( )
①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β； 则真命题的个数为
A ．0
B ． 1
C ．2
D ．3
4.“1a =”是“对任意的正数x ，21a
x x
+
≥”
（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。

N a ，其中收入记为正数，支出记为负数。

该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）
A ． A>0,V=S-T
B ．A<0,V=S-T
C ．A>0, V=S+T
D ．A<0, V=S+T 6.已知函数()()sin ,0
4f x x x R πωω⎛
⎫
=+
∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，所得函数y=f(x)为偶函数时，则ϕ的一个值是
（ ）
A.
2π B.38π C. 4π D.8
π
7.在平面直角坐标系中，若不等式组10
1010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（α为常数）所表示的平面区域内的面积
等于2，则a 的值为（ ）
A. -5
B. 1
C. 2
D. 38.两个正数a 、b 的等差中项是92
，一个等比中项是,b a >则双曲线122
22=-b y a x 的
离心率为（ ） A ．
5
3
B
C ．5
4
D
9.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
{(),(),()()f x f x k
k k f x k
f x ≤>=取函数()2x
f x -=，当K =
1
2
时，函数()k f x 的单调递增区间为 （ ）
A (,0)-∞
B (0,)+∞
C (,1)-∞-
D (1,)+∞
10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289
B.1024
C.1225
D.1378 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

(一)必做题(11~13题)
11．已知平面向量(1,2)a =，(1,3)b =-，()c a a b b =-⋅，则a 与c 夹角的余弦值为 。

12.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）。

则该几何体的体积为 3m 。

13．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人。

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14（极坐标与参数方程选做题） 在极坐标系中，方程θρcos 2=所表示的图象与方程
1sin 3cos -=-θρθρ所表示的图象有 个交点。

15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）
已知向量)c o s 2s i n 7,c o s
s i n 6(),cos ,(sin αααααα-+==b a
，设函数b a f
⋅=)(α.
(Ⅰ)求函数)(αf 的最大值；
(Ⅱ)在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()6f A =， 且ABC ∆的面积为3
，2b c +=+,求a 的值.
17．（本小题满分13分）
如图，已知直角梯形ABCD 中
, ,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===+过A 作AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得
DE EC ⊥.
(Ⅰ)求证：BC CDE ⊥面； （Ⅱ）求证：//FG BCD 面；
(Ⅲ)在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由.
A
B
C
D
E
G
F ·
· A
B
C
D
E
G
F
18．（本题满分13分）
从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160．第二组
[)160,165；…第八组[]190,195，右图是按上述分组方法得到的条形图.
(Ⅰ) 根据已知条件填写下面表格：
组别 1
2
3
4
5
6 7 8
样本数
(Ⅱ) 估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； (Ⅲ) 在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？
19．（本小题满分14分）
已知圆O :2
2
2x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为
长轴,
离心率为
2
的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交直线X ＝-2于点Q .
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；
(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.
20．（本小题满分14分）
设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式：3tS n－（2t+3）S n－1=3t(t＞0，n=2，3，4……)。

(Ⅰ)求证：数列{a n}是等比数例；
(Ⅱ)设数列{a n}的公比为ƒ (t),作数列{b n}，使b1=1，bn＝ƒ(
1
b n-1)(n=2,3,4……)，求数列{b n}的通项
b n；
(Ⅲ)求和：b
1
b2－b2b3+b3b4－…+b2n-1b2n－b2n b2n-1.
21.（本小题满分14分）
已知函数ƒ (x)=a x2+bx+c(a＞b＞c)图像上有两点A（m1，ƒ (m1)）、B(m2，ƒ (m2))满足f(1)=0,且a2+( ƒ (m1)+ ƒ (m2)) a+ ƒ (m1) ƒ (m2)=0。

(Ⅰ)求证：b≥0；
(Ⅱ)问：能否保证ƒ (mί+3)( ί=1,2)中至少有一个为正数？请证明你的结论。

2011年广东省教研室推荐高考必做38套（13）
数学参考答案及评分标准
一、解答部分给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答
案
D D C A C C D D C C
二、填空题
题
号 11 12 13 14
15 答案
4
60
1
3
三、解答题
16、解:(Ⅰ))cos 2sin 7(cos )cos sin 6(sin )(ααααααα-++=⋅=b a f
226sin 2cos 8sin cos 4(1cos 2)4sin 22αααααα=-+=-+-
)24π
α=-+ …………………………………………………4分
∴max
()
2f α= …………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()f A
=)264
A π
-+=
，sin(2)4A π-=
因为02
A π
<<
，所以4
π
-
<324
4A π
π-
<
，2,444
A A πππ
-== ……………………………………………8分
1sin 324
ABC S bc A ∆==
=bc ∴=，
又2b c +=+ (10)
分
22222cos ()22a b c bc A b c bc bc ∴=+-=+--
2
(2210
=+-⨯
=a
∴=分
17. (本小题满分14分)
解:（1）证明：由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥面ABCE……2分
∴DE⊥BC，又BC⊥CE，∴BC⊥面DCE………….3分
（2）证明：取AB中点H，连接GH，FH...............4分
∴GH‖BD，BD⊂面BCD, GH⊄面BCD
∴GH‖面BCD……………..6分
同理FH‖面BCD
∴面FHG‖面BCD ∴GF‖面BCD……….7分
（3）分析可知，R点满足3AR=RE时，面BDR⊥面BDC…………8分
证明：取BD中点Q，连结DR、BR、CR、CQ、RQ
容易计算CD=2，BD=
5
2,CR=
13
2,DR=2
21
,CQ=2,………..9分
在▲BDR中∵BR=
5
2，DR=2
21
，BD=21，可知RQ=
5
2……….10分∴在▲CRQ中，CQ2+RQ2=CR2，∴CQ⊥RQ..........................11分.
又在▲CBD中，CD=CB，Q为BD中点∴CQ⊥BD.........................12分.
∴CQ⊥面BDR，∴面BDC⊥面BDR........................13分.
18．（本题满分12分）
解:（Ⅰ）由条形图得第七组频率为
1(0.0420.0820.220.3)0.06,0.06503
-⨯+⨯+⨯+=⨯=…………………1分∴第七组的人数为3人
组别 1 2 3 4 5 6 7 8
样本
中人数
2 4
1
1
1
5
4 3 2
（Ⅱ）由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82，
………………………………………4分
后三组频率为1－0.82=0.18 …………………………………5分
……………………………………………3分
估计这所学校高三年级身高在180cm 以上（含180cm ）的人数800×0.18=144（人） ……………………7分
(Ⅲ)第二组四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 为男生，b 、c 、d 为女生，第七组三人记为1、2、3，
其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：
a b c d 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3 3a 3b 3c 3d
所以基本事件有12个 …………………………………………………10分
恰为一男一女的事件有1b ，1c ，1d ，2b ，2c ，2d ，3a ；共7个 ………12分 因此实验小组中，恰为一男一女的概率是7
12
. …………………13分
19．（本题满分14分） 解：(Ⅰ)
因为a e =
=
,所以c=1 ………….1分 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2
212
x y += …………….3分 (Ⅱ)因为P (1,1),所以1
2
PF k =
,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x ………………………..…………….……….5分
又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4) ……………………..6分 所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥, 故直线PQ 与圆O 相切 ……………………………..8分
(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切 ………..9分
证明:设00(,)P x y
(0x ≠),则22
002y x =-,所以001PF y k x =
+,00
1
OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为00
1
x y x y +=- ……………………………………..11分
所以点Q(－2,
00
22
x y +) …………………………..12分
所以0022000000000000
22
(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x x
k x x y x y y +-
-+--====-+++,又00OP y k x =,
所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切
…………………………..14分
20．（本题满分14分）
解：（1）由S 1=1a =1，S 2=1+2a 代入已知等式中，得
3t(1+2a )－(2t+3)=3t………………………………………………1分
解得 2a =2t+3
3t , 1a =1 ∴ 可看作2a 1
a =2t+33t .………………2分
由已知：3tS n －(2t+3)S n-1=3t,①
3tS n-1－(2t+3)S n-2=3t.②…………………………………3分
①－②得
3t a n －(2t+3)a n-1=0.
∴a n
a
n-1
= 2t+3
3t , n=2,3,4，……… 所以{a n }是首项为1，公比为2t+3
3t 的等比数列………………………5分 （2）由ƒ ( t ) = 2t+33t = 23 + 1
t ,得……………………………………6分 b n = ƒ ( 1b n-1 )= 23 + b n-1 即 b n －b n-1= 2
3 , 所以，{b n }是首项为1，公差为2
3 的等差数列。

因为b n =1+ 23 (n-1) = 2n+1
3 ;…………………………………………8分 （3）由b n = 2n+13 ，可知{b 2n-1}和{b 2n }是首项分别为1和53 ，公差均为4
3 的等差数列，
于是b 2n =
4n+1
3 ，………………………………………………………10分
∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n-1b 2n －b 2n b 2n-1 = b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n-1－b 2n+1) =－4
3 (b 2+b 4+…+b 2n ) =－43 ·12 (53 ＋4n+13 )
=－4
9 (2n 2+3n). ………………………………………………………14分
21．（本题满分14分）
解：（1）∵ƒ(m 1)，ƒ(m 2)满足方程a 2+(ƒ(m 1)+ƒ(m 2))a +ƒ(m 1)+ƒ(m 2)=0，
即[a +ƒ(m 1)]·[a +ƒ(m 2)]=0，
∴ƒ(m 1)=－a 或ƒ(m 2)= －a …………………………2分
∴m1或m2是方程a2+(ƒ(m1)+ƒ(m2))a+ƒ(m1)+ƒ(m2)=0的一实根，∴△b2－4a(a+c)≥0，即b2≥4a(a+c)。

………………3分
∵ƒ(1)=0，∴a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0且b= ―a―c,…………………………5分
∴b2―4a b,即b(b+4a)≥0,
∴a＞0，c＜0，∴3a－c＞0，∴b≥0。

…………………….6分
（2）设ƒ(x)=a x2+bx+c=0的两根分别为x1、x2，显然其中一根为1，另一根为c a
……………………………………7分∴a＞0，c＜
0，∴c
a＜1。

∵a＞b＞c，且b= ―a―c
∴a＞―a―c＞c.∴―2＜c
a＜－
1
2,
∴3
2＜|x1－x2| =1－
c
a＜3……………………….9分
设ƒ(x)=a(x－x1) (x－x2)=a(x－1) (x－c a)。

……………….10分
由已知ƒ(m1)= ―a或ƒ(m2)= ―a，不妨设ƒ(m1)= ―a，
则a(m1－1)(m1－c
a)= ―a＜0 ...................................11分
∴c
a＜m1＜1, ∴m1+3＞
c
a+3,………………………12分
∴m1+3＞1.又ƒ(x)在（1，+∞）上是增函数，
∴ƒ(m1+3) ＞ƒ(1)=0。

……………………………13分
同理，当ƒ(m2)= ―a时有ƒ(m2+3)＞0
∴ƒ(m1+3)或ƒ(m2+3)中至少有一个正数。

……………………14分
试题知识分值分布表表2．试题知识分值分布。