黄金分割导学案

龙文教育个性化辅导教学案学生:日期: 年月日第次时段: 教学课题线段的比与黄金分割—导学案
教学目标考点分析(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；
(2)会进行黄金分割的有关计算。

重点难点了解黄金分割的意义，并能运用.找黄金分割点和画黄金矩形. 教学方法讲练结合法、启发式教学
教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课
P109中的五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
讨论：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算
AB
AC
、
AC
BC
,它们的
值相等吗？（
AC
BC
AB
AC
=）
1.黄金分割的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC
BC
AB
AC
=,那么称线段AB被点C黄金
分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中
AB
AC
≈0.618.
2.作一条线段的黄金分割点.
P110,学生讨论作法和理由根据。

证明：∵AB=1,AC=x,BD=
2
1
AB=
2
1
∴AD=x+
2
1
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+
2
1
）2=12+（
2
1
）2∴x2+x+
4
1
=1+
4
1
∴x2=1－x ∴x2=1·（1－x）∴AC2=AB·BC
即：
AC
BC
AB
AC
=即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中整理，得x2+x－1=0∴x=
2
5
1
2
4
1
1±
-
=
+
±
-
∵AC为线段长，只能取正∴AC=
2
1
5-
≈0.618
∴
AB
AC
≈0.618 ∴黄金比约为0.618.
3.想一想
图4－8
古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BC
AB
BE BC =
,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？ 一、创设问题情境，引出基本概念 问题引入：
根据两个生活中的现象，主持人应站在舞台的C 点位置才会有较好的音响效果、千金钩应钩在二胡琴弦的C 点位置会有较好的音质产生。

这两个生活中的例子反映了一个共同的特点，在线段AB 上，存在着一个特定的点，当这个点在某个特定的位置上时，生活中可以出现一些较好的现象。

那么这个点到底在线段的什么位置呢？ 二、剖析概念，揭示本质内含 黄金分割的定义：
在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC
BC
AB AC =
,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中
618.02
1
5≈-=AB AC A
B
C
三、探究作图
（师）既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.
1.
如何作一条线段的黄金分割点.
如上图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=
2
1
AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.
（3）在A B 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？
若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足
AC
BC
AB AC =
. 2.
根据作图回答下列问题
（1）如果设AB=2，那么BD ，AD ，AC ，BC 分别等于多少？ （2）点C 是线段AB 的黄金分割点吗？
(3) 讨论：一条线段有几个黄金分割点？
3.
练一练
做一矩形，如图1使得该矩形宽与长之比为
2
1
5- 。

［师］请大家互相讨论，学生尝试作图
4.1线段的比-4.2黄金分割 同步练习
课堂练习
理解线段的比，比例线段的概念；掌握比例的基本性质，会进行简单的比例变形和计算；了解黄金分割的意义.
一、选择题
1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )
A.3∶2
B.
3∶1
C.2∶3
D.1∶3
2.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a =2，b =3，c =2，d =3 B.a =4，b =6，c =5，d =10
C.a =2，b =5，c =23，d =15
D.a =2，b =3，c =4，d =1
3.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d =c ∶b B.a ∶b =c ∶d C.d ∶a =b ∶c D.a ∶c =d ∶b
4.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.
d
c b a = B.
c
c
b d d a +=
+ C.c d b
a =22
D.
d
a cd a
b = 5.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )
A.AM ∶B M =AB ∶AM
B.AM =
2
1
5-AB
C.BM =
2
1
5-AB D.AM ≈0.618AB 二、填空题
6.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________.
7.正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________. 8.若2x －5y =0，则y ∶x =________，x
y
x +=________. 9.若
53=-b b a ，则b a
=________. 10.若AE
AC AD AB =
，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________. 三、解答题 11.已知
3
4
2=+x y x ，求y x .
12.在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为1.5 m 的测杆的影
长为2.5 m ，那么古塔的高是多少?
13.在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C.
14.现有三个数1，2，2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？
*15.如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，
2
1
5-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是
否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.
图1 课外练习
一、请你填一填
（1）如图4—2—1，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.
图4—2—1
（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.
（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm. （4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. （5）若d c b
a =
=3（b +d ≠0），则d
b c a ++=________.
二、认真选一选 （1）已知y
x
2
3=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y B.xy =6 C.
3
2
=y x
D.
3
2=x y （2）把ab =2
1cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b
d c
a 2= B.
b d
c a =2 C.
b
d c a =2
D.d
a b
c 2=
（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 （4）有以下命题:
①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d
c b
a =
②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项
③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、细心算一算 已知实数a ,b ,c 满足
c b a b a c a c b +=+=+,求a
c
b +的值.
四、好好想一想
以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图4—2—2.
图4—2—2
（1）求AM、DM的长.
（2）求证：AM2=AD·DM.
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
教学小结
4.1-4.2 线段的比与黄金分割同步练习
◆基础训练
一、选择题
1．若3a=4b，则（a-b）：（a+b）的值是（）．
A．
1
7
B．7 C．-
1
7
D.-7
2．已知P是线段AB上一点，且AP：PB=2：5，则AB：PB等于（）．
A．7：5 B．5：2 C．2：7 D．5：7
3．已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，•以PB、AB 为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（）．
A．S1>S2B．S1<S2C．S1=S2D．S1≥S2
二、填空题
4．若点C是线段AB的黄金分割点且AC>BC，则______,
AB BC
AC AB
=_______．
5．等边△ABC中，AD⊥BC，AB=4，则高AD与边长AB的比是______．
三、解答题
6．求下列各式中的x：
（1）7：4=11：x；（2）2：3=（5-x）：x．
7．已知a
b
=
112
,
a c
c b a b c
-
+=
-
求证:．
◆能力提高
一、填空题
8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．
9．如图，已知
3
,(1)
2
AB AC BC CE
AD AE DE AE
===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE
的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．
二、解答题
10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？
11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，
1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．
◆拓展训练
12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？
学生对于本次课评价：
○特别满意○满意○一般○差学生签字：教师评定：
1、上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化
2、上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化教师签字：
教务主任签字：___________
龙文教育教务处。