苏教版高二数学选修2-1讲义(含答案)：第1部分 第2章 2.6 2.6.3 曲线的交点

2．6.3
曲线的交点
[对应学生用书P43]
给出下列两组直线，回答问题． (1)l 1：x ＋2y ＝0，l 2：2x ＋4y －3＝0； (2)l 1：2x －y ＝0，l 2：3x ＋y －7＝0. 问题1：两组直线的位置关系． 提示：(1)平行；(2)相交．
问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？ 提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定．第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系．
问题3：如何求两曲线的交点坐标．
提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标．
已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.
(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧
f 1(x 0，y 0)＝0，
f 2(x 0，y 0)＝0.
(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
f 1(x ，y )＝0，
f 2(x ，y )＝0的实数解．
(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax 2＋bx ＋c ＝0 方程特征 交点个数
位置关系 直线与椭圆 a ≠0，Δ>0 2 相交 a ≠0，Δ＝0 1 相切 a ≠0，Δ<0 0 相离
直线与双曲线
a ＝0
1
直线与双曲线的渐近线平行，两者相交
a≠0，Δ>0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ<00 相离
直线与
抛物线
a＝0 1
直线与抛物线的对称轴平行，两者
相交
a≠0，Δ>0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ<00 相离
[对应学生用书P44]
直线与圆锥曲线的位置关系
[例1]已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
(1)l与C无公共点；
(2)l与C有惟一公共点；
(3)l与C有两个不同的公共点．
[思路点拨]直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[精解详析]将直线与双曲线方程联立消去y，得
(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①
当1－4k2≠0时，
有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．
(1)当1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－
5
2或k＞
5
2时，l与C无公共点．
(2)当1－4k2＝0，即k＝±
1
2时，显然方程①只有一解．
当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±
5
2时，方程①只有一解．
故当k＝±
1
2或k＝±
5
2时，l与C有惟一公共点．
(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，即－
5
2＜k＜
5
2，且k≠±
1
2时，方程有两解，l与C有两
个公共点．
[一点通] 直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两个点； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相交于一个点； Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．
1．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24
＋y 2
＝1的位置关系．
解：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 24＋y 2
＝1，
消去y 得x 2
4＋(x ＋m )2＝1，
整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m <5时，Δ>0， 直线与椭圆相交；
当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 直线与椭圆相切；
当m <－5或m >5时，Δ<0， 直线与椭圆相离．
2．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
解：(1)当k ＝0时，直线l 与x 轴平行，易知与抛物线只有一个交点．
(2)当k ≠0时，联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)＋1，
y 2＝4x ，
消去x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0， Δ＝16－4k ×4(2k ＋1)．
①当Δ＝0，即k ＝－1或1
2时，直线l 与抛物线相切，只有一个公共点；
②当Δ>0，即－1<k <1
2且k ≠0时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；
③当Δ<0，即k <－1或k >1
2时，直线l 与抛物线相离，没有公共点．
综上：当k ＝－1或1
2或0时，
直线l 与抛物线只有一个公共点；
当－1<k <1
2，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；
当k <－1或k >1
2时，直线l 与抛物线没有公共点．
直线被圆锥曲线截得的弦长问题
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，
求弦AB 的长．
[思路点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A 、B 坐标间的联系，进行整体运算．
[精解详析] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2.
∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 由方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，
得交点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫
53，43. 则AB ＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2 ＝
(0－53)2＋(－2－4
3
)2＝
1259＝55
3
.
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1的公共解．
对方程组消去y ，得3x 2－5x ＝0. 则x 1＋x 2＝5
3，x 1·x 2＝0.
∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB )
＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝
(1＋22)[(53)2－4×0]＝55
3
.
法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，
消去y ，得3x 2－5x ＝0，
则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝5
3
.
由圆锥曲线的统一定义，得AF 1＝1
5
×(5－x 1)， F 1B ＝
1
5
×(5－x 2)， 则AB ＝AF 1＋F 1B ＝15×[10－(x 1＋x 2)]＝15×253
＝553.
[一点通] 弦长的求法：
(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解． (2)结合根与系数的关系，利用变形公式 l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或 l ＝
(1＋1
k
2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解．
(3)利用圆锥曲线的统一定义求解．
3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________． 解析：由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，
得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 答案：16
4．直线y ＝2x －3与双曲线x 22
－y 2
＝1相交于两点A 、B ，则AB ＝________.
解析：设直线y ＝2x －3与双曲线x 22
－y 2
＝1两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －3，x 22
－y 2＝1，得7x 2－24x ＋20＝0，
∴x 1＋x 2＝247，x 1x 2＝207，
∴|AB |＝
1＋22|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·(247)2－4×207＝457
.
答案：45
7
5．如图，椭圆x 216＋y 2
9＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l
经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．
解：由椭圆的方程x 216＋y 2
9＝1知，a ＝4，b ＝3，
∴c ＝
a 2－
b 2＝7.
由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 又直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1
消去x ，整理得25y 2－187 y －81＝0，
∴y 1＋y 2＝18 725，y 1y 2＝－81
25.
∴|y 1－y 2|＝
(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝
⎝⎛⎭
⎫187252＋4×8125＝72225，
∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2 7×72 225＝7214
25
.
两曲线相交的综合问题
[例3] 已知椭圆x 216＋y 2
4＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线
方程．
[思路点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y ，得关于x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．
[精解详析] 法一：设所求直线的方程为 y －1＝k (x －2)，
代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上面的方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )
4k 2＋1，
因为P 为弦AB 的中点， 所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )
4k 2＋1
，
解得k ＝－1
2，所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为P 为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 又因为A ，B 在椭圆上，
所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 2
2＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，
即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.
所以所求直线的方程为y －1＝－1
2(x －2)，
即x ＋2y －4＝0.
[一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时，“点差法”是最常用的方法．
6．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1F A ＋1
FB 为定值．
证明：(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫
p 2，0， 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为 y ＝k (x －p
2)(k ≠0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －p 2
)，y 2＝2px 消去y ， 得
k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋
k 2p 2
4
＝0. 由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 2
4(定值)．
当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 2
4也成立．
(2)由抛物线的定义知，F A ＝x 1＋p 2，FB ＝x 2＋p
2.
1F A ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1
x 2＋
p
2 ＝
x 1＋x 2＋p
p 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24
＝
x 1＋x 2＋p
p 2(x 1＋x 2)＋p 22
＝
x 1＋x 2＋p p 2
(x 1＋x 2＋p )＝2
p (定值)．
7．设双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .
(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA u u u r ＝512
PB u u u r
，求a 的值．
解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a
2－y 2
＝1(a ＞0)中得(1－a 2)．x 2＋2a 2x －2a 2＝0.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
1－a 2≠0，
4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，
解得0＜a ＜2，且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2
a
＝1
a 2
＋1， 所以e ＞
6
2
，且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA u u u r ＝512
PB u u u r
，
所以(x 1，y 1－1)＝5
12(x 2，y 2－1)．
由此得x 1＝5
12x 2.
由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0
的两根，且
1－a 2≠0，所以
1712x 2＝－2a 21－a 2，5
12
x 22＝－
2a 2
1－a 2
. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960
.由a ＞0，解得a ＝17
13.
8．(陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．
解： (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意得，O 1A ＝O 1M . 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，
∴O 1M ＝ x 2＋42， 又O 1A ＝ (x －4)2＋y 2，
∴
(x －4)2＋y 2＝
x 2＋42，
化简得y 2＝8x (x ≠0)．
当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，
∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .
(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)·x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.
由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2，①
x 1x 2＝b 2
k
2，②
因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2
x 2＋1，
即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③
将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．
讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去x 或y ，得出一个一元二次方程，通过研究判别式Δ的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察Δ的情况即可．若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况．这是特别要注意的问题．同时还要注意直线斜率不存在时的情形．
[对应课时跟踪训练(十七)]
1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是________． 解析：当y ＝0时，得x 2－3x －4＝0， 解得x 1＝4或x 2＝－1.
所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)． 答案：(4,0)，(－1,0)
2．曲线x 2
＋y 2
＝4与曲线x 2
＋y 2
9
＝1的交点个数为________．
解析：由数形结合可知两曲线有4个交点． 答案：4
3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．
解析：由y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－2. 则Q 点坐标为(－2,0)． 设直线y ＝k (x ＋2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，
得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0. 若直线l 与y 2＝8x 有公共点， 则Δ＝(4k 2－8)2－16k 4≥0. 解得－1≤k ≤1. 答案：[－1,1]
4．曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个不同的公共点，则实数m 的范围是________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，y ＝x 2
－x ＋2，
消去y ，得x 2－2x ＋2－m ＝0.
若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m )>0， ∴m >1.
答案：(1，＋∞)
5．如果椭圆x 236＋y 2
9＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是
________．
解析：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P (4,2)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.
又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22
)＝0，
即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12.
即直线l 的斜率为－1
2
.
∴所求直线方程为x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝0
6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为42，离心率为64
. (1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l 与该椭圆交于M 、N 两点，MN 的中点为A (2，－1)，求直线l 的方程． 解：(1)由题意2a ＝42， ∴a ＝22，又e ＝c a ＝c 22＝6
4，
∴c ＝ 3.
∴b 2＝a 2－c 2＝8－3＝5.
故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2
5＝1.
(2)∵点A 在椭圆内部，
∴过A 点的直线必与椭圆有两交点．
当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －2)，它与椭圆的交点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋1＝k (x －2)，x 28＋y 25＝1.
消去y 得 (8k 2＋5)x 2－16k (2k ＋1)x ＋8[(2k ＋1)2－5]＝0， ∴x 1＋x 2＝16k (2k ＋1)8k 2＋5
，
又∵A (2，－1)为弦MN 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，即16k (2k ＋1)
8k 2
＋5
＝4，
∴k ＝5
4
，从而直线方程为5x －4y －14＝0.
7．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
(1)求C 1，C 2(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M ，N 且满
足OM u u u u r ⊥ON u u u r
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设抛物线C 2：y 2
＝2px (p ≠0)，则有y 2
x
＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)，
(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2＝4x .
设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝
⎛⎭⎫2，2
2代入得
⎩⎨⎧
4
a 2
＝1，2a 2
＋1
2b 2
＝1，
解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1. ∴C 1的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l 的斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y 得， (1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，
于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2. ①
所以y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]
＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2. ② 由OM u u u u r ⊥ON u u u r ，即OM u u u u r ·
ON u u u r
＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. ③ 将①②代入③式得，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 2
1＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2.
所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.
8．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)．
由题意得a ＋c ＝3，a －c ＝1， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
x 24＋y 23
＝1得，
(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， ∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 即3＋4k 2－m 2>0.
∴x 1＋x 2＝－8mk
3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.
y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )
＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)
3＋4k 2
.
∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)， k AD ·k BD ＝－1，
∴y 1x 1－2·y 2x 2－2
＝－1，化简得 y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，
即3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，
化简得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，
解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k
7
，且满足3＋4k 2－m 2>0.
当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾； 当m ＝－2k
7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫
27，0.。