我对齐次坐标在3D图形中应用的部分理解

我对齐次坐标在3D图形中应⽤的部分理解
齐次坐标是我之前⼀直不太理解的，之后有听到这句话
“齐次坐标表⽰是计算机图形学的重要⼿段之⼀，它既能够⽤来明确区分向量和点，同时也更易⽤于进⾏仿射（线性）⼏何变换。

”—— F.S. Hill, JR。

如何来理解这句话呢？
这⾥不谈严格的其次坐标和齐次矩阵的严格数学定义（如有所需请找其他的相关资料），只谈我的理解之下的它的应⽤
1.基于3D空间的"平移矩阵"
普通的3D向量和点只需要 (x,y,z) 3个分量
但是我们没办法区分他是⼀个点，还是⼀个向量（在书⾯记法上可以⽤圆括号横写表⽰点，⽤⽅括号竖写表⽰向量），并且只能应⽤于线性变换（3X3矩阵）
如果需要进⾏平移操作（仿射变换），则需要4X4矩阵，这就需要让我们的向量、点从3个分量扩展到4个分量 (x,y,z,w)
此时矩阵为
可以将矩阵的第四个基向量l的其中三个分量△x,△y,△z ⽤作平移，这样我们就可以直接基于矩阵的运算法则，将平移操作的能⼒加⼊到对我们关⼼的3D空间中了。

2.区分点和向量
基于上⾯的4X4矩阵，若我们传⼊的向量（x,y,z,w)中的w分量等于0，则表⽰这是⼀个向量，有”关闭平移功能”的含义。

若w分量不为0 ，表⽰是⼀个点，有“打开平移功能”的含义。

另外，在数学上的点和向量的⼀些定义：
对于⼀个向量v，以及基oabc，可以找到⼀组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1）在数学上研究向量时，默认是认为它的箭头尾部始终是起始于原点
　对于⼀个点p，则可以找到⼀组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2）有的书中把这样的向量叫做位置向量
对于（2）中的点p，也可以转化成，在表达这个向量的同时⽤等价的⽅式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)
所以，如果我给出 (1,2,3) 你不知道它是⼀个点还是向量，但如果我给出
(1,2,3,0) 你知道它是⼀个向量，因为它关闭了平移功能，满⾜（1）的定义，关闭了仿射变换，只可以⽤线性变换
(1,2,3,1) 你知道它是⼀个点，因为它打开了平移功能，满⾜（3）的定义，打开了仿射变换
由于⽤了4个分量表达3D中的概念，且遵循线性代数中矩阵的运算法则，⽀持了平移及已延伸功能，如绕⾮原点旋转等，所以⾮常⽅便的完成了3D中更多的，常见的，只⽤3D向量表⽰的话⽐较⿇烦的变换功能。

3.和3D透视投影的关系
另外齐次坐标在3D透视摄像机投影的计算中，往往⽤在最后⼀步：齐次化
代数上通过给出⼀个4分量的点，表⽰为齐次化为的形式，这⾥主要的使⽤⽬的是：齐次化的操作，⽀持除法，⽽除法操作是透视投影中需要的
让点，根据近⼤远⼩，相似三⾓形原理，齐次化为
总结
所以⽤4个分量表⽰的齐次坐标，来表达3D中的概念，扩展了⼀些功能
⽀持区分点还是向量的能⼒，⽀持仿射变换（平移）的能⼒，⽀持齐次化（除法）的能⼒。