考研数学考试题及答案

考研数学考试题及答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值。

A. 3x^2-6x
B. 3x^2-6x+2
C. 3x^2-6x-2
D. 3x^2+6x-2
答案：A
2. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式值。

A. -2
B. 2
C. -4
D. 4
答案：B
3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx。

A. 1/3
B. 1/2
C. 2/3
D. 1
答案：B
4. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，求数列的通项公式。

A. an=2^n
B. an=2^(n-1)
C. an=n
D. an=n^2
答案：B
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设函数g(x)=x^2+3x+2，求g(-1)的值。

答案：0
2. 计算极限lim(x→0) (sinx/x)。

答案：1
3. 已知等比数列{bn}的公比为2，且b3=8，求b1的值。

答案：1
4. 设函数h(x)=ln(x+1)，求h'(x)的值。

答案：1/(x+1)
三、解答题（每题10分，共60分）
1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的极值点。

解答：首先求导f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或
x=11/3。

由于x=11/3不在区间[1,3]内，故只考虑x=1。

计算f(1)=0，f(3)=0，因此函数f(x)在区间[1,3]上没有极值点。

2. 证明：若a>0，b>0，则a+b≥2√(ab)。

证明：由基本不等式可知，对于任意正数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2-2ab+b^2≥0。

将不等式两边同时加上2ab，得到
a^2+2ab+b^2≥4ab，即(a+b)^2≥4ab。

由于a>0，b>0，所以
a+b≥2√(ab)。

3. 计算定积分∫(0到π) sinx dx。

解答：根据定积分的计算公式，有∫(0到π) sinx dx = [-cosx](0到π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。

4. 求由曲线y=x^2与直线y=2x-1所围成的图形的面积。

解答：首先求出曲线y=x^2与直线y=2x-1的交点，解方程组得到x=1或x=-2。

因此，所围成的图形的面积为∫(-2到1) (2x-1-x^2) dx = (x^2-1/3x^3)(-2到1) = 4/3。

5. 已知数列{cn}满足c1=2，cn+1=cn+n，求数列的前n项和Sn。

解答：首先写出前几项：c1=2，c2=3，c3=5，c4=8，c5=11，...。

可以发现，Sn=1+2+3+...+n+2+3+...+n=n(n+1)/2+n(n+1)/2=n(n+1)。

6. 求函数z=x^2+y^2在区域D={(x,y)|x>0, y>0}的最小值。