苏科版-数学-七年级上册-《2.6有理数的乘法与除法》同步测试含解析

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2.6 有理数的乘法与除法
一．选择题 1．﹣5 的倒数是（ ） A ．﹣5 B ．5
C
．
D ．
（﹣21）÷7 的结果是（ ） A ．3 B ．﹣3
C
．
D ． 3．的倒数的绝对值是（
） A ．1
B ．﹣2
C ．±2
D ．2
4．如果 a 与﹣3 互为倒数，那么 a 是（ ） A ．﹣3
B ．
C ．3
D ．
5．有理数﹣的相反数的倒数是（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
6．若﹣的倒数与 m +4 互为相反数，那么 m 的值是（ ） A ．m=1
B ．m=﹣1
C ．m=2
D ．m=﹣2
二．填空题
7．﹣2017 的倒数是 ．
8
．
P
为正整数
，现
规9．﹣的倒数的相反数是 ． 10．计算：2﹣2×（﹣3）=
．
11．若 a 、b 是互为倒数，则 2ab ﹣5= ． 12．在 3，﹣4，5，﹣6 这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是
． 13．已知 A =2×3×3×a ，B=2×2×3×a ，且 A 、B 的最大公因数是 30，则 a= ．
14．一个数的相反数是﹣5，则这个数的倒数是 ． 三．解答题
15．已知有理数a，b，c 满足，求的值．
16．小红研究了“十位数字相加等于10，个位数字相等”的两位数乘法的口算技巧：如34×74=2516．结果中的前两位数是用3×7+4 得25，后两位数是用4
×4=16，经过直接组合就可以得到正确结果2516．
（1）请用上述方法直接计算45×65=；56×56=；
（2）请用合适的数学知识解释上述方法的合理性．
17．现有一种计算13×12 的方法，具体算法如下：
第一步：用被乘数13 加上乘数12 的个位数字2，即13+2=15．
第二步：把第一步得到的结果乘以10，即15×10=150．
第三步：用被乘数13 的个位数字3乘以乘数12 的个位数字2，即3×2=6．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即150+6=156．
于是得到13×12=156．
（1）请模仿上述算法计算14×17 并填空．
第一步：用被乘数14 加上乘数17 的个位数字7，即．
第二步：把第一步得到的结果乘以10，即．
第三步：用被乘数14 的个位数字4乘以乘数17 的个位数字7，即．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即．
于是得到14×17=238．
（2）一般地，对于两个十位上的数字都为1，个位上的数字分别为a，b （0
≤a≤9，0≤b≤9，a、b 为整数）的两位数相乘都可以按上述算法进行计算．请你通过计算说明上述算法的合理性．
18．已知a和b互为相反数，c 和d互为倒数，m 是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m ﹣cd+m．
19．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab，如2*3=4×2×3=24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
参考答案与试题解析 一．选择题
（2017•徐州）﹣5 的倒数是（ ）
A ．﹣5
B ．5
C ．
D ．
【分析】根据倒数的定义可直接解答． 【解答】解：﹣5 的倒数是﹣； 故选 D ．
【点评】本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是 1，我们就称 这两个数互为倒数．
（2017•
（﹣21）÷7 的结果是（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．
D ． 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】解：原式=﹣3， 故选 B ． 【点评】本题考查有理数的除法法则，属于基础题．
3． 的倒数的绝对值是（ ）
A ． 1
B ．﹣2
C ．±2
D ． 2
【分析】根据倒数的定义，两数的乘积为 1，这两个数互为倒数，先求出﹣的 倒数，然后根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出所求的值． 【解答】解：∵﹣的倒数是﹣2， ∴|﹣2|=2， 则﹣
的倒数的绝对值是 2． 故
选：D ．
【点评】此题考查了倒数的求法及绝对值的代数意义，其中求倒数的方法就是用 “1”除以这个
的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0 的绝对值还是0．
4．如果a与﹣3 互为倒数，那么a是（）
A．﹣3 B．C．3 D．
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，﹣3×（﹣）=1．
【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，
∴a 是﹣．
故选B．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
5．有理数﹣的相反数的倒数是（）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】依据相反数和倒数的定义解答即可．
【解答】解：有理数﹣的相反数是，的倒
数是．
所以有理数﹣的相反数的倒数是．故选：
C．
【点评】本题主要考查的是倒数和相反数的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
6．若﹣的倒数与m+4 互为相反数，那么m的值是（）
A．m=1 B．m=﹣1 C．m=2 D．m=﹣2
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣的倒数与m+4 互为相反数，得
m+4=2，
解得 m =﹣2， 故选：D ．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣” 号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．不 要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
二．填空题
7．﹣2017 的倒数是 ﹣
．
【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得答案． 【解答】解﹣2017 的倒数是﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
8
．
P 为正整数，现规定 P !=P （P 【分析】根据规定 p !是从 1，开始连续 p 个整数的积，即可． 【解答】解：∵P
!=P （P （P ﹣
2）…×2×1， ∴m!=1×2×3×4×…×（m ﹣1）m=24， ∵1×2×3×4=24， ∴m=4， 故答案为：4． 【点评】此题是有理数的乘法，主要考查了新定义的理解，理解新定义是解本题 的关键． 9．﹣的倒数的相反数是 2 ． 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【解答】解：﹣ 的倒数是﹣2，
﹣2 的相反数是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一数的倒数的关键，再求相反数．
10．计算：2﹣2×（﹣3）= 8 ．
【分析】先算乘法，再算加法即可，
【解答】解：2﹣2×（﹣3）=2+6=8，
故答案为：8．
【点评】此题是有理数的乘法，主要考查了有理数的运算，掌握运算顺序是解本题的关键，此题是常规题．
11．若a、b 是互为倒数，则2ab﹣5= ﹣3 ．
【分析】互为倒数的两数之积为1，从而代入运算即可．
【解答】解：∵a、b 是互为倒数，
∴ab=1，
∴2ab﹣5=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意互为倒数的两数之积为1．
12．在3，﹣4，5，﹣6 这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是24 ．
【分析】两个数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可．
【解答】解：∵（﹣4）×（﹣6）=24＞3×5．
故答案为：24．
【点评】此题考查的知识点是有理数的乘法及有理数大小比较，关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
13．已知A=2×3×3×a，B=2×2×3×a，且A、B 的最大公因数是30，则
a= 5 ．
【分析】根据最大公因数的定义，可以得到a的值，从而可以解答本题．
【解答】解：A=2×3×3×a，B=2×2×3×a，且A、B 的最大公因数是30，
∴a=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查有理数的乘法，解答本题的关键是明确有理数乘法的法则和最大公因数的定义．
14．一个数的相反数是﹣5，则这个数的倒数是．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，一个数的相反数是﹣5，那么这个数是5；
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，5×=1．
【解答】解：根据相反数和倒数的定义得：一个数的相反数是﹣5，
所以这个数是5；
5×=1，因此倒数是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相反数与倒数的知识，只有符号不同的两个数是互为相反数；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
三．解答题
15．已知有理数a，b，c 满足，求的值．
【分析】根据可以看出，a，b，c 中必有两正一负，从而可得出求
的值．
【解答】解：∵，
∴a，b，c 中必有两正一负，即a bc 之积为负，
∴=﹣1．
【点评】本题考查了有理数的乘法，注意从所给条件中获得有用信息，即 a ，b ， c 中必有两正一负．
16．小红研究了“十位数字相加等于 10，个位数字相等”的两位数乘法的口算技 巧：如 34×74=2516．结果中的前两位数是用 3×7+4 得 25，后两位数是用 4 ×4=16，经过直接组合就可以得到正确结果 2516．
（1）请用上述方法直接计算 45×65= 2925 ；56×56= 3136 ； （2）请用合适的数学知识解释上述方法的合理性．
【
（1）仿照以上方法求出原式的值即可； （2）根据题示规律等式右边为十位数的积与个位数和的 100 倍加上个位数的平 方，列式表示即可，验证可根据整式乘法展开结合十位数字和为 10 变形可得． 【解答
（1）45×65=100×（4×6+5）+52=2925， 56×56=100×（5×5+6）+62=3136， 故答案为：2925，3136； （
2
）
分
别用 a ，b 表示两个两位数的十=100ab +10c （a +b ）+c 2 =100ab +100c +c 2 =100（ab +c ）+c 2， ∴（10a （10b +c ）=100（ab +c ）+c 2． 【本题主要
考查整式的混合运 17．现有一种计算 13×12 的方法，具体算法如下： 第一步：用被乘数 13 加上乘数 12 的个位数字 2，即 13+2=15． 第二步：把第一步得到的结果乘以 10，即 15×10=150． 第三步：用被乘数 13 的个位数字 3 乘以乘数 12 的个位数字 2，即 3×2=6．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 150+6=156． 于是得到 13×12=156．
（1）请模仿上述算法计算 14×17 并填空． 第一步：用被乘数 14 加上乘数 17 的个位数字 7，即
14+7=21 ．
第二步：把第一步得到的结果乘以 10，即 21×10=210 ． 第三步： 用被乘数 14 的个位数字 4 乘以乘数 17 的个位数字 7 ， 即 4 ×
7=28 ．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 210+28=238 ． 于是得到 14×
17=238．
（2）一般地，对于两个十位上的数字都为 1，个位上的数字分别为 a ，b （0
≤a ≤9，0≤b ≤9，a 、b 为整数）的两位数相乘都可以按上述算法进行计算．请 你通过计算说明上述算法的合理性．
【
（1）仿照以上四步计算方法逐步计算即可； （
2）对于
（1
+
a ）×（10，先按照上述方法逐步列式表示，再根据整式的 乘法法则计算即可验证其正确性． 【解
答（1）计算 14×17， 第一步：用被乘数 14 加上乘数 17 的个位数字 7，即 14+7=21． 第二步：把第一步得到的结果乘以 10，即 21×10=210． 第三步：用被乘数 14 的个位数字 4 乘以乘数 17 的个位数字 7，即 4×7=28．
第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 210+28=238． 于是得到 14×17=238． 故答案为：14+7=21，21×10=210，4×7=28，210+28=238； （2）对于（10+a ）×（10， 第一步：用被乘数 10+a 加上乘数 10+b 的个位数字 b ，即 10+a +b ． 第二步：把第一步得到第三步：用被乘数 10+a 的个位数字 a 乘以乘数 10+b 的个位数字 b ，即 a b ． 第 四 步 ： 把 第 二 步 和 第 三 步 所 得 的 结 果 相 加 ， 即 10 （ 10+a +b ） +ab=100+10a +10b +ab ． 又（10+a ）×（10+b ）=100+10b +10a +ab ，
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故上述算法是合理的．
【点评】本题主要考查整式的混合运算和有理数的加法和乘法，寻找计算规律是 前提，并加以运用和推广是关键，主要考查了数学的类比思想，整式的运算是解 题的基础．
18．已知 a 和 b 互为相反数，c 和 d 互为倒数，m 是绝对值等于 2 的数，求式 子（a +b ）+m ﹣cd +m ．
【分析】根据相反数之和为 0，倒数之积等于 1，可得 a +b=0，cd=1，再根据 绝对值的性质可得 m =±2，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a 和 b 互为相反数，c 和 d 互为倒数，m 是绝对值等于 2 的数， ∴当 m =2 时，原式=0+2﹣1+2=3； 当 m =﹣2 时，原式=0﹣2﹣1﹣2=﹣5．
【点评】此题主要考查了代数式求值，关键是掌握相反数之和为 0，倒数之积等 于 1 是解题的关键．
19．若定义一种新的运算“*”，规定有理数 a *b=4ab ，如 2*3=4×2×3=24． （1）求 3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答（1）3*， =4×3×（， =﹣48； （﹣2）*（6， =（﹣2）*（4×6， =（﹣2）*（， =4×（﹣2）×=﹣576． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的 关键．。