人教A版高中数学高二版必修5同步学案 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1)

第一课时 二元一次不等式（组）与平面区域
一、 课前准备
1、课时目标：
（1）知识与技能：了解二元一次不等式（组）的几何意义，能用平面区域表示二元一次不
等式（组）；
（2）过程与方法：经历从吃鸡情景中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能
力；
（3）情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

2、基础预探：
（1）满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序数对(y x ,)称为二元一次不等式
（组）的一个 ，所有这样的 数对(y x ,)构成的集合称为
（2）二元一次不等式（组）的每一个解 作为点得坐标对应坐标平面上的一
个 ，二元一次不等式（组）的解集对应平面直角坐标系中的一个
（3）直线)0(0:不全为B A C By Ax l <=++把直角坐标平面划分为两部分，其中一部分
（半个平面）对应二元一次不等式 ，另一部分对应二元一次不等式
二、基本知识习题化
1、不在 3x + 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是 （ ）
A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（0，2）
D ．（2，0）
2、若点（1，3）和（－4，－2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是（ ）
A ．m<-5或m>10
B ．m=-5或m=10
C ．-5<m<10
D ．-5≤m ≤10
3、下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩
，表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，
4、点（2，3），（1，2）在直线y=2x ＋1的 （填“同侧”、“异侧”）
三、学习引领
1、在平面直角坐标系中，二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一
侧所有点组成的平面区域；
2.、要断定0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域，只需取某
个特殊点),(00y x 作为测试点即可.当直线不过原点时常选用原点检验，当直线过原点
时，常选用（1,0）或（0，1）代入检验。

（直线定界，特殊点定域）
3、二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式
表示的平面区域的公共部分，要注意是否包含边界.
4、画二元一次不等式组所表示的平面区域，先画出各个不等式所表示的平面区域，再取它
们的公共部分,所画平面区域常用阴影表示出来，注意边界是实线还是虚线的含义.
四、典例导析：
题型一 画出不等式表示的平面区域
例1、画出不等式44x y +<表示的平面区域.
思路导析：平面内所有的点被直线44x y +=分成三类：在直线上；在直线的右下方区域；在直线的左上方区域，重点讨论左上方和右下方区域各用哪个不等式来表示.适时定义边界. 解：先画直线44x y +=（画成虚线）.
取原点（0，0），代入x +4y -4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在44x y +<表示的平面区域内，不等式44x y +<表示的区域如图：
规律总结：画二元一次不等式所表示的平面区域时，其一般步骤为：
第一步：“直线定界”，即画出边界直线直线0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线 第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由000Ax By C ++=的符号
就可以确定出所求不等式表示的平面区域，（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）
变式练习1、画出不等式062<-+y x 表示的平面区域。

题型二 画出不等式组表示的平面区域
例2、画出不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 所表示的平面区域.
思路导析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：先画出直线05=+-y x （画成实线）
如图，取原点)0,0(，代入5+-y x ，05500>=+-
∴原点在05>+-y x 表示的平面区域内，
即05≥+-y x 表示直线05=+-y x 上及其右下方的点的集合；
同理可得：0≥+y x 表示直线0=+y x 上及右上方的点的集合；
3≤x 表示直线3=x 上及其左方的点的集合，最后取它们的公共部分，如图所示，阴影部分即为不等式组所表示的平面区域.
规律总结：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.画二元一次不等式所表示的平面区域时，其一般步骤为：第一步：“直线定界”，即画出边界直线直线0Ax By C ++=，要注意是虚线还是
实线；第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由000Ax By C ++=的符号就可以确定出所求不等式表示的平面区域，（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）；第三步：取公共部分.
变式练习2、用平面区域表示不等式组3122y x x y <-+⎧⎨
<⎩的解集.
例3、求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3表示的平面区域的面积.
思路导析：本题在处理的时候我们可以先把不等式组对应的三条直线画出来：x －y ＋6＝0；
x ＋y ＝0，x ＝3；再利用特殊点定域找出所对应的直线所对应的区域，最后由三条直线确定出区域为一个三角形，然后任意其中两条直线联立解出交点坐标，然后便可以求出所对应的面积.
解：利用点（0，0）进行验证，我们不难可以得出：不等式x －y ＋6≥0表示直线
x －y ＋6＝0的含有原点的那部分区域，即表示该直线上面得点及右下方的点的集合；同理，利用点（1，0）我们可以判断出：不等式x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，不等式x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，从而我们可以得出不等
式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋6≥0，x ＋y ＝0，
x ≤3表示的平面区域如图所示. 由图形我们可以看出该区域面积也就是△ABC 的面积.
根据已知条件容易求得B 点坐标为(3，－3)，
C 点的坐标为（3，9），A 点的坐标为（-3，3）.
故BC=12，点A 到直线BC 的距离为6.∴S △ABC ＝12
×12×6=36. 故原不等式组表示的平面区域的面积等于36.
规律总结：求平面区域的面积实质是对不等式表示平面区域的一个
应用，其关键是正确画出所求平面区域，注意图形的分解和转化.
变式练习3、不等式组所表示的平面区域的面积等于(C )
A. B. C. D.
五、随堂练习：
1、点P （a ，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，且在不等式2x+y<3表示的平面区域内，
则a 的值是（ ）
Ａ．－3 Ｂ．3 Ｃ．7 Ｄ．－7
C
2、如果点1 ,
4
P a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
在：
⎩⎪
⎨
⎪⎧0≤x≤
1
2
1
2
≤y≤1
x－y＋
1
2
≥0
所确定的区域内，则点P的纵坐标的取值
范围为（）
A.
13
24
y
≤≤ B.
13
44
y
≤≤ C.
13
25
y
≤≤ D.
11
42
y
≤≤
3、不等式
(5)()0,
03
x y x y
x
-++≥
⎧
⎨
≤≤
⎩
表示的平面区域是一个（）
A．三角形B．直角三角形C．梯形D．矩形
4、原点（0,0）和点P（1,1）在直线0
x y a
+-=的两侧，则a的取值范围是
5、由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为
6、画出不等式0
)1
)(
(≤
-
-
-y
x
y
x表示的平面区域
六、课后作业：
1、在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的
是（）
A B C D
2、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）
A．
2,
3260,
y
x y
x
≥-
⎧
⎪
-+>
⎨
⎪<
⎩
B．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≤
⎩
C．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+>
⎨
⎪≤
⎩
D．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+<
⎨
⎪<
⎩
3、在坐标平面上，不等式组⎩
⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为 4、下图所示的阴影区域用不等式组表示为
5、画出不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x 表示的平面区域；
6、设集合{(,)|,,1•A x y x y x y =--是三角形的三边长，画出A 所表示的平面区域。

第一课时答案
一、2、（1）解 二元一次不等式（组）的解集
（2）(y x ,) 点 平面区域
（3）0>++C By Ax 0<++C By Ax
二、1、D 解析：把点的坐标分别代入不等式3x + 2y < 6，只有（2，0）使不等式3x + 2y < 6
成立。

故选D.
2、C 解析：因为点（1，3）和（－4，－2）在直线2x+y+m=0的两侧，所以（m+5）(m-10)<0，
从而得-5<m<10，故选C.
3、C 解析：把点的坐标分别代入不等式组1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩
，，使得不等式组成立的点是(02)-，，故选C.
4、同侧 解析：因为2213⨯+>和2112⨯+>可知点（2，3），（1，2）在直线y=2x ＋
1的同侧.
四、变式训练1、先画直线062=-+y x ，再取个特殊点（0,0）验证如下图所示
x
12 1
32 y
O
变式训练2、解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右
下方的区域，2x y <表示直线2x y =右上方的区域，取两区域
重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.
变式训练
3、由340340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,可得(1,1)C ，故 1423
c S AB x =••=，选C. 五、1、A 解析：因点P （a ，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，又在不等式2x+y<3表示
的平面区域内，所以可得2334491a a +<⎧⎪=⎨-+⎪，解得43a =-，故选A.
2、A 解析：根据已知条件，由于点P 的横坐标为
14，带入其中的两条限制直线方程中，我们可以求出此时纵坐标的取值范围1324
y ≤≤，从而答案为A. 3、C 解析：把不等式(5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩转化为：50003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩或50003x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩
，然后分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，此区域为梯形.故选C
4、解析：0<a<2
解析：点在直线的异侧，两个不等式的不等号不相同，即乘积小于零.
5、解：20210210x y x y x y ++>⎧⎪++<⎨⎪++<⎩
直线定界，特殊点定域，不含边界不带等号.
六、1、B 解析：先将不等式 x ２－y 2≥0转化为00x y x y +≥⎧⎨-≥⎩或00x y x y +≤⎧⎨-≤⎩
，然后画出不等式组所表示的平面区域为，故选B.
2、C 解析：先找出此平面区域的边界所在的直线方程：0,2x y ==-和3260x y -+=，
然后在平面区域内任取一点(1,0)-，然后分别代入方程所对应的代数式得
x y (98,178)3x+5y=05x+3y-15=0x-y+1=0C B
A O 3x-5y-3=0-1-115
0,2,3260x y x y <>--+>，然后根据虚线不取实线取可得不等式组为2,3260,
0y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩
，故，选C. 3、23 解析：先等价转化不等式组为131;0y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩1310y x y x x ≥-⎧⎪≤+⎨⎪<⎩
画出区域，数形结合可求 4、解析：两点确定直线的方程，在根据特殊点定区域的方法可得答案01,2,1.5y y x x ≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
5、在画不等式组表示的平面区域时应先画出每一个不 等式所表示的区域，然后再取他们的公共部分.
6、根据题意得：11(1)2(1)1002100210
x y x y x y x x y y y x y x x x y y x y +>--⎧⎧⎪+>⎪+-->⎪⎪⎪+-->⎪⎪⇒<<⎨⎨>⎪⎪⎪⎪><<⎪⎪⎩-->⎪⎩表示的平面区域为。