七下八次系列课之动点最值问题

几何模型
手拉手模型、半角模型
动点最值问题
绝对值，数轴，三角形
初中数学思想方法初一篇 第八讲 动点最值问题
七年级上册
一、最值问题 二、动点问题
七年级下册
一、最值问题 二、动点问题
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绝对值的最值问题，
用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数 形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能 取得事半功倍的效果．
2、如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离， 且a、b满足|a＋2|＋（b＋3a）²＝0 （1）求A、B两点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； （3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动； 同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽 略球的大小，可看作一点）以 原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间 为t（秒）， ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
值为
．
（5）|x＋1|−|x−3|的最大值为多少？
（6）式子|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋|x−4|＋…＋|x−197|＋|x−198|＋|x−199|有最小
值为
解：（1）.6−2.＝4，.−2−1.＝3，答案为：4，3； （2）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x和1两点之间的距离为.x−1.，数轴上 表示x和−3两点之间的距离为 .x＋3.，故答案为：.x−1.，.x＋3.； （3）x对应点在点−5和3之间时的任意一点时|x−3|＋|x＋5|的值都是8，故答案为： 8； （4）x对应点在点−4和3之间时的任意一点，|x−3|＋|x＋4|的值最小是7，当x对应 点是3时，|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋|x−4|＋|x−5|的最小值为6，故答案为：7，6； （5）当x对应点不在−1和3对应点所在的线段上，即x＜−1或x＞3时，|x＋ 1|−|x−3|的最大值为4，故答案为：4．当 x＜−1 时，|x＋1|−|x−3|＝−4 应该是： 当x＞3时，|x＋1|−|x−3|的最大值为4，
1、如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是−1 1，点A沿数轴匀速平移经过原
2
点到达点B． （1）如果OA＝OB，那么点B所对应的数是什么？ （2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度． （3）在（2）的条件下，从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒， 且KC＝KA，分别求点K和点C所对应的数
二、动点问题
1、什么是动点问题？
所谓"动点问题"是指在题设图形中存在一个或多个在线段、直线上运动的点的一 类开放性题目，
此类题目灵活性较强.解决这类问题的关键是"动中取静",换言之就是一切动点问 题全部静点化。以不动应万变，灵活运用有关数学知识将问题解决.
2、动点问题的解题思路解题关键:
一切动点问题全部静点化。数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想考察范围：学生对几何图形运动变化分析能力和相关几何知识综合运用能力
（6）式子|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋|x−4|＋…＋|x−197|＋|x−198|＋|x−199|有最 小值为99＋98＋97＋…＋1＋0＋1＋…＋97＋98＋99＝9900．
2、一条公路旁有6个村庄，分别为A，B，C，D，E，F，现在政府要在公路边 建一个公交站，请问建在哪一段比较合理
解：（1）设x秒后，甲到A，B，C的距离和为40个单位．B点距A，C两点的距离为14＋20＝
34＜40，A点距B、C两点的距离为14＋34＝48＞40，C点距A、B的距离为34＋20＝54＞40， 故甲应位于AB或BC之间．①AB之间时：4x＋（14−4x）＋（14−4x＋20）＝40，x＝2s； ②BC之间时：4x＋（4x−14）＋（34−4x）＝40，x＝5s， （2）设xs后甲与乙相遇4x＋6x＝34，解得：x＝3.4s，4×3.4＝13.6，−24＋13.6＝ −10.4 （3）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，B点距A，C两点的距离为14＋20＝
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偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间 时，其值为最小，x可能有无数个取值；
奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其 值为最小，x只有一个取值。
1、点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两
点之间的距离AB＝|a−b|．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
Hale Waihona Puke 3、动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正 方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4 （速度单位：单位长度/秒）． （1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3 秒时的位置； （2）若A、B两点从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，A、 B两点到原点的距离恰好相等？
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−2的两点之间的距离为 ；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为 ，数轴上表示x和−3两点之间的距离为 （3）
若x表示一个实数，且−5＜x＜3，化简|x−3|＋|x＋5|＝
；
（4）|x＋3|＋|x−4|的最小值为 ，|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋|x−4|＋|x−5|的最小
4、已知数轴上有A，B，C三点，分别代表−24，−10，10，两只电子蚂蚁甲，乙 分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒． （1）问多少秒后，甲到A，B，C的距离和为40个单位？ （2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点同时相向 而行，问甲，乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）（2）的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返 回．问甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
初中数学思想方法讲解之初一篇
课次 第一讲 第二讲
第三讲
第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲
内容
主要涉及知识点
整体代入思想
整式加减乘除
分类讨论思想
绝对值，数轴，方程求解、 线段、角、三角形
方程思想
线段、角度长度、三角形相 关知识
数形结合思想
代数计算，几何求值
几何思想-如何证明 如何证明三角形全等
几何思想-证明技巧 截长补短、倍长中线法