§1 变化的快慢与变化率

12 (乙的经营成果好,甲的年获利为 =2(万元/年), 6
4 乙的年获利为 =4(万元/年),所以乙获利快) 1
(3)可用什么量来刻画实例(1)、(2)中的变化(加 速、年获利)快慢问题? (平均变化率)
1:对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变 为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为
解决此类问题应先弄清用什么方法 去刻画治污效果,如何比较.这里选定哪家企业减 排速度快,即平均变化率的绝对值大的为效果好的 , 然后通过平均变化率的公式得出结论.
通过本节课的学习,你有什么收获? 1.理解了平均变化率与瞬时变化率的关系; 2.掌握了平均变化率刻画了函数在某区间 [x0,x0+Δ x]上变化的快慢;瞬时变化率刻画了 函数在某点 x0 处变化的快慢; 3.知道求平均变化率的一般步骤:一差、二比.
f (t0 t ) f (t0 ) ,表示物体在 t0 到 t0+Δ t 这段时间 t
内运动的平均速度,那怎么求 t0 时刻的瞬时速度呢?
f (t0 t ) f (t0 ) (让Δt 趋于 0 时, 趋近的值即为 t
t0 时刻的瞬时速度)
2:对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,若设Δ x=x1-x0,Δ y=f(x1)-f(x0),则 函数的平均变化率为
f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1
通常我们把自变量的变化 x2-x1 称作自变量的改变量,记作Δ x,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量,记作Δ y. 这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自
y f ( x2 ) f ( x1 ) 变量的改变量之比,即 = . x2 x1 x
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2 Δ x)-f(x0)=2(x0+Δ x) +1-(2 x 0 +1)=4x0·Δ x+2(Δ x) ,
2 2
所以函数的平均变化率为
y 4 x0 x 2(x)2 = =4x0+2Δ x. x x
此类问题仅仅是简单地套用公 式,解答过程相对简单,只需注意运算过程就 可以.
【例 2】 国家环保局对甲、乙两家企业进行检查,其连 续检查结果如图所示.试问哪个企业治污效果好(其中 W 表示排污量,W1(t)表示甲的排污量,W2(t)表示乙的排 污量).
2 2
π ·Δ r+4π .
S 当Δ r→0 时, →4π . r
∴r=2 时 S 的瞬时变化率为 4π .
瞬时变化率就是当Δx 趋于 0 时 平均变化率的值,可用逼近法估计,也可以直接 利用定义求解.
变式训练 2 1:已知函数 f(x)=x +x,估计 x=0 时的瞬时 变化率. 解:Δ x=0.1
解:当自变量由 t0-Δ t 变化到 t0 时,甲的平均变化率
W1 (t0 ) W1 (t0 t ) W 甲= , t W2 (t0 ) W2 (t0 t ) 乙的平均变化率 W 乙= , t
由图可知 W1(t0)=W2(t0),|W1(t0-Δ t)|>|W2(t0-Δ t)|,可 得|W 甲|>|W 乙|,所以说,在单位时间内企业甲比企业乙 的平均治污率大,因此,企业甲比企业乙略胜一筹.
π(2 0.1) 2 π 22 = =4.1π ; 0.1
S S (2 0.01) S (2) 当Δ r=0.01 时, = 0.01 r
π(2 0.01) 2 π 22 = =4.01π ; 0.01
S S (2 0.001) S (2) 当Δ r=0.001 时, = r 0.001
S 0.01,0.001,…,计算 ,看与哪个值越来越接 r
近.或先求 r=2 到 r=2+Δr 的平均变化率,再求 当Δr 趋近于 0 时的平均变化率.
解:法一:圆的面积公式为 S=π r2,r=2 时平均变化率为
S S (2 r ) S (2) = , r r
S S (2 0.1) S (2) 当Δ r=0.1 时, = 0.1 r
=1.001;…… 由上估计 x=0 时瞬时变化率为 1.
变化率的应用
【例 3】 子弹在枪筒中的运动可以看成匀加速运动,其位
1 2 移公式为 s= at (a 表示加速度),如果它的加速度 2
a=5.0×105 m/s2,子弹在枪筒中运动时间 t=1.6×10-3 s,求 子弹射出枪口时的瞬时速度. 名师导引:瞬时速度与平均速度什么关系?(在时间段
§1
变化的快慢 与变化率
学习目标要求 问题情境导学 课堂互动探究
栏 目 导 航
课堂归纳总结
1.理解平均变化率的概念. 2.了解平均变化率的几何意义. 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 及瞬时变化率. 4.掌握平均变化率在实际生活中的运用 及在函数中的运用.
【实例】 (1)一款法拉利汽车速度从 0 增加到 100 千米/小时需 3.6 秒,另一款宝马汽车需 3.8 秒. (2)在经营某商品过程中,甲用 6 年时间挣到 12 万元,乙用 6 个月时间挣到 2 万元.
y f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) = = .当Δ x 趋 x1 x0 x x
于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x 0 点的瞬时变化率, 瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
2:(1)函数的平均变化率和瞬时变化率在 本质上有什么不同? (平均变化率刻画的是函数值在区间[x0,x0+Δx]或 [x0+Δx,x0]上变化的快慢;瞬时变化率刻画的是函数 值在点 x0 处变化的快慢) (2)Δ x 趋于 0 是指Δ x 越来越小吗? (不是.因为Δx 取值可正、可负,所以Δx 趋于 0,是指 |Δx|越来越小,越来越接近于 0)
=0.305g(m),
s1 0.305 g 所以 v 1 = = =3.05g(m/s). t1 0.1 s 2 0.03005 g 同理 v 2 = = =3.005g(m/s). t2 0.01
s3 0.0030005 g v3 = = =3.0005g(m/s), t3 0.001
函数的平均变化率
【例 1】 求 y= x 在 x0 到 x0+Δ x(x0>0)之间的平均变化率. 解:当自变量从 x0 变到 x0+Δ x 时, 函数值的增量Δ y= x0 x 所以函数的平均变化率为
x0 =
x x0 x x0
,
y = x
x x0 x x0 x
2
y f (0.1) f (0) 0.12 0.1 0 时, = = =1.1; 0.1 x 0.1 y f (0.01) f (0) 0.012 0.01 0 Δ x=0.01 时, = = 0.01 x 0.01
=1.01;Δ x=0.001 时,
y f (0.001) f (0) 0.0012 0.001 0 = = 0.001 x 0.001
我们用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
1:(1)你能从平均变化率的定义中总 结出求 y=f(x)在 x0 附近的平均变化率的步骤吗? (①求函数值的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
y f ( x0 x) f ( x0 ) ②求平均变化率 = .简 x x
记一差二比)
=
1 x0 x x0
.
(1)求平均变化率的一般步骤是 什么? (一差、二比)
y (2)作出比值 后,化简的方向和常见技巧是 x
什么? (化简的方向是“约”掉分母中的Δx,常见的技 巧有因式分解、分子有理化、通分等)
函数的瞬时变化率
【例 2】 圆的面积随半径的变化而变化,试写出 圆的面积在半径等于 2 时的瞬时变化率. 名师导引:用逼近法估计,分别取Δr=0.1,
2
1 s s ∴ =at+ aΔ t.当Δ t 趋于 0 时, 趋于 at. 2 t t
又 a=5.0×10 m/s ,t=1.6×10 s, ∴at=800 m/s,即子弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.
5 2 -3
解此类题首先要弄清物体的运 动方程,然后根据瞬时速度的定义,代入公式就 可以求解.
一、函数的平均变化率
1:(1)实例(1)中哪款车的加速性能更好? 为什么? (法拉利加速性能更好,法拉利的平均加速率为
100 0 100 = ,宝马的平均加速率为 3.6 3.6 100 0 100 100 100 = , > ,所以法拉利加速性能更好) 3.8 3.8 3.6 3.8
(2)实例(2)中,谁的经营成果好?如何评价?
π(2 0.001) π 2 = =4.001π ; 0.001
2 2
…… 由上可以估计,r=2 时 S 的瞬时变化率为 4π .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
法二:圆的面积公式为 S=π r ,当半径 r 从 2 变到 2+Δ r 时平均变化率为
2
S S (2 r ) S (2) π(2 r ) π 2 = = = r r r
∴ v1 > v 2 > v 3 . ∴做自由落体运动的物体在[3,3.1]内的平均 速度最大.
【例 1】 求 y=2x +1 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率. 名师导引:利用求函数平均变化率的一般步骤,计算Δ
2
y y=f(x0+Δx)-f(x0),再计算 . x
解:当自变量从 x0 变到 x0+Δ x 时,函数值的增量Δ y=f(x0+
s(t t ) s(t ) [t,t+Δt]或[t+Δt,t]内,平均速度 v = , t
当Δt→0 时, v 趋向的值即为在 t 时的瞬时速度)
1 2 1 解:∵子弹的位移公式是 s= at ,Δ s= a(t+ 2 2 1 2 1 2 Δ t) - at =atΔ t+ a(Δ t) , 2 2
变式训练 3 1:做自由落体运动的物体的运动方
1 2 程为 s= gt ,试比较 t 从 3 s 到 3.1 s,3.01 2
s,3.001 s 各段时间内的平均速度(位移 s 的单 位为 m)哪一个最大?
解:设在[3,3.1]内平均速度为 v 1 , 则Δ t1=3.1-3=0.1(s),
1 Δ s1=s(3.1)-s(3)= g·(3.12-32) 2
(2)定义中的Δ x 必须为正吗? (平均变化率的实质是增量比,即
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) = = ,式中 x2 x1 x x
Δx,Δy 的值可正,可负,但Δx 的值不能为 0)
二、瞬时变化率
2:设物体运动的路程与时间的函数关系是 S=f(t),在时间段[t0,t0+Δ t]内的平均变化率是