山西省运城市临猗县孙吉中学高一数学文上学期期末试题含解析

山西省运城市临猗县孙吉中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合S={A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在S上定义运算“⊕”为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
【考点】整除的基本性质．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】本题为信息题，学生要读懂题意，运用所给信息式解决问题，对于本题来说，可用逐个验证法
【解答】解：当x=A0时，（x⊕x）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0
当x=A1时，（x⊕x）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A4=A0
当x=A2时，（x⊕x）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2
当x=A3时，（x⊕x）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A0=A0
当x=A4时，（x⊕x）⊕A2=（A4⊕A4）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A1
当x=A5时，（x⊕x）⊕A2=（A5⊕A5）⊕A2=A2⊕A2=A0
则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为：3个．
故选C．
【点评】本题考查学生的信息接收能力及应用能力，对提高学生的思维能力很有好处
2. 中,,,若点满足,则( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
略3. 一艘船上午在A处，测得灯塔S在它的北偏东300处，且与它相距海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750，此船的航速是( )
参考答案：
D
4. 在中，内角的对边分别是，若，，则
( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
5. 数列{a n}为等比数列，且，公比，则（）
A．2 B．4 C．8 D．16
参考答案：
B
，故选B。

6. 直线:,圆:,与的位置关系是
（）
A．相交B．相离C．相
切D．不能确定
参考答案：
A
由圆，即，
表示以为圆心，半径为的圆，
所以圆心到直线的距离为，所以直线和圆相交，故选
A.
7. 下列函数中，在区间为增函数的是（）
....[来源:学科网]
参考答案：
A
略
8. 已知等比数列的前项和为，且依次成等差数列，若，则
A．16 B．31 C．32 D．63
参考答案：
B
9. （4分）圆（x﹣2）2+y2=4过点P（1，）的切线方程是（）
A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0
参考答案：
D
考点：圆的切线方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：先求出k CP==﹣，再求出圆（x﹣2）2+y2=4过点P（1，）的切线斜率，即可求出圆（x﹣2）2+y2=4过点P（1，）的切线方程．
解答：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），则k CP==﹣，
∴圆（x﹣2）2+y2=4过点P（1，）的切线斜率为，
∴圆（x﹣2）2+y2=4过点P（1，）的切线方程是y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0，
故选：D．点评：本题主要考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，确定圆（x﹣2）2+y2=4过点P（1，）的切线斜率是解答本题的关键．
10. 函数的反函数为
A. B.
C. D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
略
12. 若向量与的夹角为，与的夹角为，则______.
参考答案：
【分析】
根据向量平行四边形法则作出图形，然后在三角形中利用正弦定理分析
.
【详解】
如图所示，，
，所以在
中有：
，则
，故
.
【点睛】本题考查向量的平行四边形法则的运用，难度一般.在运用平行四边形法则时候，可以适当将其拆分为三角形，利用解三角形中的一些方法去解决问题. 13. 数列
满足
，则。

参考答案：
161
14. 已知函数
则函数（e =2.71828…，是自然对数的底数）的
所有零点之和为______.
参考答案：
15. 若，则
参考答案： 1
16. 三个数的最大公约数是_________________。

参考答案：
24
17. 函数的零点个数是 ．
参考答案： 2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题12分）已知
，且，。

（1）求
的值；
（2）求
的值。

参考答案：
（1）；（2）
19. 高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为_____、____、____、_______； （2）在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；
（3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率.
参考答案：
（1）① 1 ② 0.025； ③ 0.1 ④ 1 （2）略 （3）0315 【分析】
(1)根据直方图可以看出
对应的频率是0.025，当频率是0.3时，对应的频数是12，按照比例作出
的结果，用1减去其他的频率得到
的结果，
是合计，每一个表中这个位置都是1;(2)根据上
一问补充完整的频率分布表，画出频率分步直方图;(3)估计总体落在
中的概率，利用组中值
算得平均数，总体落在上的概率为
，得到结果．
【详解】根据直方图可以看出
对应的频率是
， 当频率是
时，对应的频数是12，按照比例作出
的结果，
用1减去其他的频率得到的结果，
处是合计1，
；；；
根据频率分布表得到频率分布直方图如图．
利用组中值算得平均数为：
；
故总体落在
上的概率为．
【点睛】本题考查频率分步直方图，考查频率分布表，考查等可能事件的概率，是一个典型的统计问题，注意解题时不要在数字运算上出错．
20. （1）当tanα=3，求cos 2α﹣3sinαcosα的值．
（2）设
，求
的值．
参考答案：
【考点】GH ：同角三角函数基本关系的运用；GL ：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）把cos 2
α﹣3sinαcosα的分母看作1，根据sin 2
α+cos 2
α=1化简，并在分子分母都除以cos 2α得到关于tanα的式子，代入求值即可；
（2）利用和与差的正弦余弦函数化简得到f （θ）=cos θ﹣1，把
代入求值即可．
【解答】解：（1）因为
，
且tanα=3，
所以，原式=
=．
（2）
=
=
，
∴．
【点评】考查学生运用同角三角函数基本关系的能力，运用和与差的正弦余弦函数公式的能力，以及三角函数恒等变换的能力．
21. 已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【分析】（Ⅰ）由1﹣3x≠0得x≠0，求得函数f（x）的定义域，由3x=＞0，求得f（x）的范围，可得f（x）的值域．
（Ⅱ）因为函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．解：（Ⅰ）由1﹣3x≠0得x≠0，
故函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
由f（x）=，可得3x=＞0，
求得f（x）＞1，或f（x）＜﹣1，
f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（x）为奇函数，理由如下：
因为函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且，
所以，f（x）为奇函数．
22. 设函数f（x）=|f1（x）﹣f2（x）|，其中幂函数f1（x）的图象过点（2，），且函数f2（x）=ax+b（a，b∈R）．
（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（2）设μ为常数，a为关于x的偶函数y=log4[（）x+μ?2x]（x∈R）的最小值，函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b），求函数u（b）的最小值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，均有|f2（x）|≤1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数与方程的综合运用；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出幂函数的解析式以及一次函数的解析式，化简函数f（x），然后求解单调区间．
（2）利用偶函数求出μ，求出最小值a，求出函数的最大值的表达式，然后再求解最大值的表达式的最小值．
（3）利用已知条件，转化求出b的范围，然后通过基本不等式以及函数的最值，通过分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）幂函数f1（x）的图象过点（2，），可得，a=．f1（x）=，函数f2（x）=1．
函数f（x）=|﹣1|=，函数的单调增区间为：[1，+∞），单调减区间：[0，1）．
（2）y=log4[（）x+μ?2x]是偶函数，可得log4[（）x+μ?2x]=log4[（）﹣x+μ?2﹣x]，
可得μ=1．
∴y=log4[（）x+2x]，（）x+2x≥2，当且仅当x=0，函数取得最小值a=．f1（x）=，函数f2（x）=+b．函数f（x）=|f1（x）﹣f2（x）|=|﹣b|，x∈[0，4]，
令h（x）=﹣b，x∈[0，4]，h′（x）=，令=0，解得x=1，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0
函数是增函数，当x∈（1，4）时，h′（x）＜0，函数是减函数．
h（x）的极大值为：h（1）=，最小值为h（0）=h（4）=﹣b，
函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b）=，
函数u（b）的最小值：．
（3）对于任意x∈[0，1]，均有|f2（x）|≤1，即对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
当a＞0时，显然b≥1不成立，
①当1＞b≥0时，对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，0≤a≤1，
可得0＜a+b≤1，则（a+1）（b+1）≤≤，此时a=b=．
（a+1）（b+1）∈[1，]．②b∈[﹣，0），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
转化为：0≤a+b≤1，则（a+1）（b+1）∈[，2），a=1，b=0时（a+1）（b+1）取最大值2．a=，b=﹣
，（a+1）（b+1）取得最小值．
③b∈[﹣1，﹣），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
转化为：x=0，|b|≤1恒成立．﹣1＜a+b≤1，
（a+1）＞0，（b+1）＞0，则（a+1）（b+1）≤，≤≤，
则（a+1）（b+1）∈[，]，
④当b＜﹣1时，对于任意x∈[0，1]，|ax+b|≤1，不恒成立．
当a=0时，可得|b|≤1，（a+1）（b+1）∈[0，2]．
当a＜0时，如果|b|＞1，对于任意x∈[0，1]，不恒有|ax+b|≤1，
则|b|≤1，当0≤b≤1时，a∈[﹣1，0）对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
a+1∈[0，1），b+1∈[1，2]．（a+1）（b+1）∈[0，2）．
﹣1＜b＜0，可得|a+b|≤1．可得﹣1≤a+b≤1，a+1∈[0，1），b+1∈（0，1）．
（a+1）（b+1）∈（0，1）．
综上：代数式（a+1）（b+1）的取值范围：[0，]．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值，分类讨论以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．。