高考数学压轴专题人教版备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习含答案解析

新高考数学《集合与常用逻辑用语》专题解析
一、选择题
1．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：
①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN
③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45o
其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①③
B ．①②④
C ．③④
D ．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.
【详解】 Q 截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,
又MN ⊂Q 平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，
PQ ∴//平面ADC ，
PQ ⊂Q 平面ABC ，平面ABC I 平面ADC AC =
PQ AC ∴//，同理可得PN BD //
由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；
由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，
得AC //平面PQMN ，则②正确；
由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以AC AD MN DN
=， 同理可证
BD AD PN AN
=， 由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等， 则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；
由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，
由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.
2．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.
3．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…
；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题的是（ ）
A ．p
B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．p q ∧
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项.
【详解】
命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥
由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝
⎭，
可知当34x π=-104x π⎛⎫++< ⎪⎝
⎭，故p 为假； 命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是
5m =-
若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切，则
d == 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真，
故()p q ⌝∧为真，
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
4．“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】 因为方程22
117x y m m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<. 故“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
5．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1- 【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.
【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
6．14
a =-是函数2()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】
【分析】 将14
a =-
代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】 当14a =-时，2
211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭
，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要.
故选：A .
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
7．“a b >”是“a a b b >”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】 首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件.
【详解】 22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩
，函数是奇函数，并且在R 上单调递增， 所以a b >时，a a b b >， 反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.
8．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误.
故选：A
【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．已知下列四个命题
1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；
2P ：若()x x f x e e -=-，则,()()x R f x f x ∀∈-=-
3P ：若1()1
f x x x =++则()00(0,),1x f x ∃∈+∞= 4P ：在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >
其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面垂直关系判断1P 错误；根据函数奇偶性判定2P 正确，利用基本不等式性质判断3P 不正确，结合三角形边角关系判定4P 正确.
【详解】
解：1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥不一定成立，必须是任意直线；故命题1P 错误，
2P ：若()x x f x e e -=-，则()()x x f x e e f x --=-=-，即,()()x R f x f x ∀∈-=-成
立；命题正确，
3P ：当1x >-时，11()11121111f x x x x x =+
=++-=-=++…， 当且仅当111
x x +=+，即2(1)1x +=，得0x =时取等号，则()00(0,),1x f x ∃∈+∞=不成立，故命题为假命题，
4P ：在ABC V 中，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin A B >，即命题为真命题. 则正确的命题的个数是2，
故选：B .
【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
10．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( )
A ．(1,3)
B ．(－∞，－1)
C ．(－1,1)
D ．(－3,1)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解.
【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)，
∴A ∩B ＝(－1,1)．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．下列命题中是假命题的是
A ．对任意x ∈R ，30x >
B ．对任意()0x ∈+∞，，sin x x >
C ．存在0x ∈R ，使20log 0x =
D ．存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案.
【详解】
因为函数30x y =>，所以“对任意x ∈R ，30x >”为真命题；利用导数知识易证当0x >时，sin 0x x ->恒成立，所以“对任意()0x ∞∈+，
，sin x x >”为真命题；当01x =时，202log log 10x ==，所以“存在0x ∈R ，使20log 0x =”为真命题；因为
000πsin cos 4x x x ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭，故“存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=”为假命题. 故选D ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，解答本题的关键熟悉运用不等式、对数函数、三角函数的性质．
12．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=
”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
必要性显然成立；由()12
n n n a a S +=，()111(1)2n n n a a S ---+=，得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案.
【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若()12
n n n a a S +=，所以当2n …时，()111(1)2n n n a a S ---+=， 所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，
所以当3n …
时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②， ①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()12
n n n a a S +=
”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
13．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.
【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111()22x a x x x +<=+恒成立，
11()12x x +≥=Q ，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞.
故选：C ．
【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
14．给出下列四个结论：
①若()f x 是奇函数，则()2f x 也是奇函数；
②若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；
③“若3πθ=，则sin θ=的否命题是“若3πθ≠，则sin θ≠.”； ④若p ：11x
≤；q ：ln 0x ≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，逐一分析，即可判断得出结论.
【详解】
解：①若()f x 是奇函数，有()()f x f x -=-，
则()()22f x f x -=-，所以()2f x 也是奇函数，①正确；
②若()f x 不是正弦函数，而()f x 可以是余弦函数，是周期函数，所以②错误； ③根据否命题的定义可知：对原命题的条件和结论都否定，可知③正确；
④中，由p ：11x
≤，解得0x <或1x ≥；由q ：ln 0x ≥，解得1x ≥，
则p 是q 的必要不充分条件，故④错误.
综上可知，正确结论的个数为2个.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及定义法判断函数的奇偶性、周期函数、否命题以及充分必要条件的定义等知识.
15．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记
(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .
【详解】
若(),0a b ϕ=，
0a b -=a b =+
两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =
当0a =0b b b =-= ，
0b ∴≥ ，即a 与b 互补，
同理0b =时，a 与b 互补，
反过来，当0ab =时，
0a b -= ，
即(),0a b ϕ= ，
故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.
16．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】 若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞
； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；
故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
17．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
【详解】 Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.
因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
18．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋
14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sinx ＋cosx 成立”．则下列判断正确的是（ ）
A ．p ∨q 为假命题
B ．p ∧q 为真命题
C ．非p ∧q 为真命题
D ．非p ∨非q 是假命题 【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：：∵任意x ∈R 时，都有x 2-x+
14=（x−12）2≥0， ∴p 是假命题；
∵sin （x+
4π），当x=4
π时，， ∴q 是真命题，
∴p ∨q 是真命题，非p n q 为真命题，故选C
考点：复合命题的真假
19．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4π”的（） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，
由“1a <-”，可得4π
θ>，再举特例34πθ=，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π” 不能得到“1a <-”，即可得解.
【详解】
解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则
tan 1a θ=->，即4π
θ>，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π”， 若“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4π”，不妨令34πθ=， 则3tan 14
a π=-=，则不能得到“1a <-”， 即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4
π”的充分而不必要条件， 故选A.
【点睛】 本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
20．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞
【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.。