绍兴市七年级下册末数学试卷及答案

一、填空题
1．若20212a -=，其中a ，b 均为整数，则符合题意的有序数对(),a b 的组数是______．
答案：5 【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a 、b 所有的可能值，即可得到答案． 【详解】
解：∵，且，均为整数， 又∵，，
∴可分为以下几种情况： ①，， 解得：，； ②，， 解得：或，； ③，
解析：5 【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a 、b 所有的可能值，即可得到答案． 【详解】
解：∵20212a -=，且a ，b 均为整数，
又∵20210a -≥0≥， ∴可分为以下几种情况：
①20210a -=2， 解得：2021a =，2017b =-；
②20211a -=1=， 解得：2020a =或2022a =，2020b =-；
③20212a -=0 解得：2019a =或2023a =，2021b =-； ∴符合题意的有序数对(),a b 共由5组； 故答案为：5． 【点睛】
本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握非负的性质进行解题．
2．一副三角板按如图所示（共定点A ）叠放在一起，若固定三角板ABC ，改变三角板ADE
的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝___°时，DE∥AB．
答案：30或150
【分析】
分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】
解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图2所示，当ED∥AB时，∠D
解析：30或150
【分析】
分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】
解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图2所示，当ED∥AB时，∠D=∠BAD=180°，
∵∠D=30°
∴∠BAD=180°-30°=150°；
故答案为：30°或150°． 【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
3．教材在第七章复习题的“拓广探索”中，曾让同学们探索发现：在平面直角坐标系中，线段中点的横坐标（纵坐标）分别等于对应线段的两个端点的横坐标（纵坐标）和的一半．例如：点(1,1)A 、点(5,1)B ，则线段AB 的中点M 的坐标为(3,1).请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，点(3,)E a a +，(,1)F b a b ++，若线段EF 的中点G 恰好在x 轴上，且到y 轴的距离是2，则a b -=______
答案：或19 【分析】
根据线段的中点坐标公式即可得求出、的值，从而可得到答案． 【详解】 解：点，， 中点，，
中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2， ，
解得：或， 或19；
故答案为：或19． 【点睛
解析：5-或19 【分析】
根据线段的中点坐标公式即可得求出a 、b 的值，从而可得到答案． 【详解】
解：点(3,)E a a +，(,1)F b a b ++，
∴中点3(
2a b G ++，
1
)2
a a
b +++，
中点G 恰好位于x 轴上，且到y 轴的距离是2，
∴1
02
3||22
a a
b a b +++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩， 解得：23a b =-⎧⎨=⎩
或613a b =⎧⎨=-⎩，
5a b ∴-=-或19；
故答案为：5-或19． 【点睛】
本题考查坐标与图形性质，中点坐标公式，解题的关键是根据线段的中点坐标公式求出
a 、
b 的值．
4．如图，在直角坐标系中，A (1，3)，B (2，0)，第一次将△AOB 变换成△OA 1B 1，A 1(2，3)，B 1(4，0)；第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，A 2(4，3)，B 2(8，0)，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，……，则B 2021的横坐标为______．
答案：【分析】
根据点B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)可得规律为横坐标为，由此问题可求解． 【详解】
解：由B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)可 解析：20222
【分析】
根据点B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)可得规律为横坐标为12n +，由此问题可求解． 【详解】
解：由B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)可得：()1
2,0n n B +，
∴B 2021的横坐标为20222； 故答案为20222． 【点睛】
本题主要考查图形与坐标，解题的关键是根据题意得到点的坐标规律．
5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断移动，每移动一个单位，得到点1(0,1)A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，…，那么点2021A 的坐标为__________．
答案：【分析】
由题意可知，每隔四次移动重复一次，继续得出A5，A6，A7，A8，…，归纳出点An 的一般规律，从而可求得结果． 【详解】 ∵，，，
∴根据点的平移规律，可分别得：，，，，，，，，…，，， 解析：()1010,1
【分析】
由题意可知，每隔四次移动重复一次，继续得出A 5，A 6，A 7，A 8，…，归纳出点A n 的一般规律，从而可求得结果． 【详解】
∵1(0,1)A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A
∴根据点的平移规律，可分别得：()52,1A ，()63,1A ，()73,0A ，()84,0A ，()94,1A ，
()105,1A ，()115,0A ，()126,0A ，…，()4322,1n A n --，()4221,1n A n --，()4121,0n A n --，
()42,0n A n
∵2021=505×4+1
∴2021A 的横坐标为2×505=1010，纵坐标为1 即2021(1010,1)A 故答案为：()1010,1 【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的规律问题，点平移的坐标特征，体现了由特殊到一般的数学思想，关键是由前面若干点的的坐标寻找出规律．
6．如图，点()11,1A ，点1A 向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点2A ；点2A 向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点3A ；点3A 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到4A ，…，按这个规律平移得到点2021A ；则点2021A 的横坐标为________．
答案：【分析】
先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一半套就出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】
点A1的横坐标为， 点A2的横坐标为， 点A3的横坐标为， 点A4的横坐标为， …
解析：202121-
【分析】
先求出点A 1，A 2，A 3，A 4的横坐标，再从特殊到一半套就出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】
点A 1的横坐标为11=2-1， 点A 2的横坐标为23=2-1， 点A 3的横坐标为37=2-1， 点A 4的横坐标为415=2-1， …，
按这个规律平移得到点点A n 的横坐标为2-1n ，
∴点2021A 的横坐标为20212-1，
故答案为：202121-． 【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，解题关键是学会套就规律的方法．
7．新定义一种运算，其法则为
3
2a c
a d bc
b d =÷，则2
2
3x x x
x
--=__________ 答案：【分析】
按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照同底幂除法运算法则计算可得． 【详解】
故答案为： 【点睛】
本题考查定义新运算，解题关键是根据题干定义的运算规则，转化为我们熟知的形式进行求解 解析：3x
【分析】
按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照同底幂除法运算法则计算可得． 【详解】
22
2322333()()x x x x x x x x x
--=-⋅÷-⋅= 故答案为：3x 【点睛】
本题考查定义新运算，解题关键是根据题干定义的运算规则，转化为我们熟知的形式进行求解．
8．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：
326+
+=__________．
答案：351 【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值． 【详解】 =1 =3 =6 =10
发现规律：1+2+3+ ∴1+2+3=351 故答案为：351 【点
解析：351 【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值． 【详解】
3n ++=1+2+3+n +
∴
326++=1+2+3
26+=351
故答案为：351 【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
9．已知5a ，5b ，则2019()a b +=________．
答案：1 【分析】
根据4＜7＜9可得，2＜＜3，从而有7＜5+＜8，由此可得出5+的整数部分是7，小数部分a 用5+减去其整数部分即可，同理可得b 的值，再将a ，b 的值代入所求式子即可得出结果． 【详解】
解析：1 【分析】
根据4＜7＜9可得，2＜3，从而有7＜＜8，由此可得出
7，小数部分a 用b 的值，再将a ，b 的值代入所求式子即可得出结果． 【详解】 解：∵4＜7＜9，
∴23，∴-3＜＜-2，
∴7＜＜8，2＜3，
∴7，2，
∴，
∴2019()a b +=12019=1． 故答案为：1． 【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各数的小数部分是解题关键．
10．对于正整数n ，定义2,10
()(),10n n F n f n n ⎧<=⎨≥⎩其中()f n 表示n 的首位数字､末位数字的平方
和．例如：2(6)636F ==，2(123)(123)1F f ==2310+=．规定1()()F n F n =，
()1()()k k F n F F n +=．例如：1(123)(123)10F F ==，()21(123)(123)F F F =(10)1F ==．按此定义2021(4)F =_____．
答案：145
根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）=F8（4），然后根据所得的规律即可求解． 【详解】
解：F1（4）=16，F2（4）=F （16）=37， F3（4
解析：145 【分析】
根据题意分别求出F 1（4）到F 8（4），通过计算发现，F 1（4）=F 8（4），然后根据所得的规律即可求解． 【详解】
解：F 1（4）=16，F 2（4）=F （16）=37， F 3（4）=F （37）=58，F 4（4）=F （58）=89， F 5（4）=F （89）=145，F 6（4）=F （145）=26， F 7（4）=F （26）=40，F 8（4）=F （40）=16， ……
通过计算发现，F 1（4）=F 8（4）， ∴202172885÷=，
∴20215(4)(4)145F F ==；
故答案为：145． 【点睛】
本题考查了有理数的乘方，新定义运算，能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
11．若我们规定[)x 表示不小于x 的最小整数，例如[)33=，[)1.21-=-，则以下结论：①[)0.21-=-；②[)001-=；③[)x x -的最小值是0；④存在实数x 使[)0.5x x -=成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
答案：③④ 【分析】
根据的定义逐个判断即可得． 【详解】
①表示不小于的最小整数，则，结论错误 ②，则，结论错误
③表示不小于x 的最小整数，则，因此的最小值是0，结论正确 ④若，则 此时， 因此，存在实
【分析】
根据[)x 的定义逐个判断即可得． 【详解】
①[)0.2-表示不小于0.2-的最小整数，则[)0.20-=，结论错误 ②[)00=，则[)000-=，结论错误
③[)x 表示不小于x 的最小整数，则[)0x x -≥，因此[)x x -的最小值是0，结论正确 ④若 1.5x =，则[)1.52= 此时，[)1.5 1.52 1.50.5-=-=
因此，存在实数x 使[)0.5x x -=成立，结论正确 综上，正确的是③④ 故答案为：③④． 【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义是解题关键．
12．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A 、B ，则点A 表示的数为______.
答案：. 【分析】
利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A 的距离（即点A 的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A 表示的数. 【详解】
∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为
解析：13 【分析】
利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A 的距离（即点A 的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A 表示的数. 【详解】
∵正方形的面积为3， ∴3， ∴A 点距离031 ∴点A 表示的数为13
【点睛】
本题考查实数与数轴，解决本题时需注意圆的半径即是点A到1的距离，而求A点表示的数时，需求出A点到原点的距离即A点的绝对值，再根据绝对值的性质和数轴上点的特征求解.
13．对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的
方程[34
7
x-
]=2的整数解为_____．
答案：6，7，8
【解析】
【分析】根据已知可得，解不等式组，并求整数解可得. 【详解】因为，,
所以，依题意得，
所以，，
解得,
所以，x的正数值为6，7，8.
故答案为：6，7，8.
【点睛】此题
解析：6，7，8
【解析】
【分析】根据已知可得
34
23
7
x-
≤，解不等式组，并求整数解可得.
【详解】因为，
34
2
7
x-
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
,
所以，依题意得
34
23
7
x-
≤，
所以，
34
2
7
34
3
7
x
x
-
⎧
≤
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩
，
解得
1 68
3
x
≤,
所以，x的正数值为6，7，8.
故答案为：6，7，8.
【点睛】此题属于特殊定义运算题，解题关键在于正确理解题意，列出不等式组，求出解集，并确定整数解.
14．如图，动点P从坐标原点(0,0)出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点(1,0)，第2秒运动到点(1,1)，第3秒运动到点(0,1)，第4秒运动到点(0,2)…则第2068秒点P所在位置的坐标是_______________．
答案：【分析】
分析点P 的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
【详解】
解：由题意分析可得，
动点P 第8=2×4秒运动到（2，0）
动点P 第24=4×6秒运动到（4，0）
动点P 第48=6×8秒运
解析：(45,43)
【分析】
分析点P 的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
【详解】
解：由题意分析可得，
动点P 第8=2×4秒运动到（2，0）
动点P 第24=4×6秒运动到（4，0）
动点P 第48=6×8秒运动到（6，0）
以此类推，动点P 第2n(2n+2)秒运动到（2n ，0）
∴动点P 第2024=44×46秒运动到（44，0）
2068-2024=44
∴按照运动路线，点P 到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位 ∴第2068秒点P 所在位置的坐标是（45，43）
故答案为：（45，43）
【点睛】
此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
15．220a b a --=，则2+a b 的值是__________；
答案：10
【分析】
根据二次根式的性质和绝对值的性质求出a ，b 计算即可；
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是10．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，结合二次根式的性质和绝对值的性质计算即可． 解析：10
【分析】
根据二次根式的性质和绝对值的性质求出a ，b 计算即可；
【详解】 ∵220a b a -+-=，
∴2020a b a -=⎧⎨-=⎩
， ∴24
a b =⎧⎨=⎩， ∴22810a b +=+=．
故答案是10．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，结合二次根式的性质和绝对值的性质计算即可． 16．如图，数轴上点A 的初始位置表示的数为2，将点A 做如下移动：第1次点A 向左移动2个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动4个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动6个单位长度至点
3A ，按照这种移动方式进行下去，点5A 表示的数是__________，如果点n A 与原点的距离等于10，那么n 的值是__________．
答案：-4, 8或11
【解析】
序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少2，分别为0，-2，-4，-6，-8，-10……，序号为偶数的点在点A 的右侧，各点所表示的数依次增加2，分
解析：-4, 8或11
【解析】
序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少2，分别为0，-2，-4，-6，-8，-10……，序号为偶数的点在点A 的右侧，各点所表示的数依次增加2，分别为4，6，8，10……，所以A 5表示的数是-4，当点n A 与原点的距离等于10时，n 为8或11，故答案为-4；n 为8或11.
17．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x ，y)，如果点Q(x ，'y )的纵坐标满足
()()x y x y y y x x y -≥⎧=⎨-<'⎩
当时当时，那么称点Q 为点P 的“关联点”．请写出点(3，5)的“关联点”的坐标_______；如果点P(x ，y)的关联点Q 坐标为(－2，3)，则点P 的坐标为________． 答案：（3，2）； （-2，1）或（-2，-5）．
【分析】
根据关联点的定义，可得答案．
【详解】
解：∵3＜5，根据关联点的定义，
∴y′=5-3=2，
点（3，5）的“关联点”的坐标（
解析：（3，2）； （-2，1）或（-2，-5）．
【分析】
根据关联点的定义，可得答案．
【详解】
解：∵3＜5，根据关联点的定义，
∴y′=5-3=2，
点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2）；
∵点P （x ，y ）的关联点Q 坐标为（-2，3），
∴y′=y -x=3或x-y=3，
即y-（-2）=3或（-2）-y=3，
解得：y=1或y=-5，
∴点P 的坐标为（-2，1）或（-2，-5）．
故答案为：（3，2）；（-2，1）或（-2，-5）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，理清“关联点”的定义是解答本题的关键．
18．规定：用符号[x ]表示一个不大于实数x 的最大整数，例如：[3.69]＝3，＝2，
[﹣2.56]＝﹣3，[＝﹣2．按这个规定，[1]＝_____．
答案：－5
【详解】
∵3<<4，
∴−4<−<−3，
∴−5<−−1<−4，
∴[−−1]=−5.
故答案为−5.
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，解决此题的关键是求出的范围. 解析：－5
【详解】
∵3<13<4， ∴−4<−13<−3，
∴−5<−13−1<−4，
∴[−13−1]=−5.
故答案为−5.
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，解决此题的关键是求出13的范围. 19．如图，//AC BD ，BC 平分ABD ∠，设ACB ∠为α，点E 是射线BC 上的一个动点，若:5:2BAE CAE ∠∠=，则CAE ∠的度数为__________．（用含α的代数式表示）．
答案：或
【分析】
根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据
解析：41203α︒-或
36047α︒-
【分析】
根据题意可分两种情况，①若点E 运动到1l 上方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由
5:2BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠+∠，列出等量关系求解即可得出结论；②若点E 运动到1l 下方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由5:2
BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠-∠列出等量关系求解即可得出结论．
【详解】
解：如图，若点E 运动到l 1上方，
//AC BD ，
CBD ACB α∴∠=∠=， BC 平分ABD ∠，
22ABD CBD α∴∠=∠=，
1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-， 又5:2BAE CAE ∠∠=， 5():2BAC CAE CAE ∴∠+∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒-+∠∠=
， 解得180241205312
CAE αα︒-∠==︒--； 如图，若点E 运动到l 1下方，
//AC BD ，
CBD ACB α∴∠=∠=，
BC 平分ABD ∠， 22ABD CBD α∴∠=∠=，
1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-，
又5:2BAE CAE ∠∠=，
5():2
BAC CAE CAE ∴∠-∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒--∠∠=
， 解得180236045712
CAE αα︒-︒-∠==+． 综上CAE ∠的度数为41203α︒-或
36047α︒-． 故答案为：4
1203α︒-或36047
α︒-．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键． 20．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（//PQ MN ）各安置一探照灯A ，BC （A 在B 的左侧），灯A 发出的射线AC 从AM 开始以a 度/秒的速度顺时针旋转至AN 后立即回转，灯B 发出的射线BD 从BP 开始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ 后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线AC 第一次经过点B ，此时55ABD ∠=︒，则a =________，两灯继续转动，射线AC 与射线BD 交于点E （如图2），在射线．．．BD ．．到达．．BQ ．．之前．．
，当120AEB ∠=︒，MAC ∠的度数为________．
答案：或．
【分析】
（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；
（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC 没到达AN 时，；②
解析：120︒或60︒．
【分析】
（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；
（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC 没到达AN 时，120AEB ∠=︒；②射线AC 到达AN 后，返回旋转的过程中，120AEB ∠=︒；分别求出答案即可．
【详解】
解：（1）如图，射线AC 第一次经过点B ，
∵//PQ MN ，
∴M AB ABP ABD DBP ∠=∠=∠+∠，
∴55MAB DBP ∠=︒+∠，
∴5555551
a=︒+⨯︒，
a=；
解得：2
故答案为：2．
（2）①设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，
由旋转的性质，则1802
∠=︒-︒，PBE t
EAN t
∠=︒，
∵EF//MN//PQ，
∴1802
∠=∠=︒，
AEF EAN t
∠=∠=︒-︒，FEB PBE t
∵120
∠=∠+∠=︒，
AEB AEF FEB
∴1802120
︒-︒+︒=︒，
t t
t=（秒），
∴60
∴260120
∠=⨯=︒；
MAC
②设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，此时AC为达到AN之后返回途中的图像；
与①同理，
∴3602
MAC t
∠=︒-︒，180
∠=︒-︒，
QBE t
∵120
∠=∠+∠=︒，
AEB AEF FEB
∴3602180120
︒-︒+︒-︒=︒，
t t
t=（秒）；
解得：120
∴360212060
MAC
∠=︒-⨯=︒；
∠的度数为：120︒或60︒；
综合上述，MAC
故答案为：120︒或60︒．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题．
21．已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转
至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
答案：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，
解得，t＝15（s）；
②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，
即4t﹣180＝180﹣（45+t），
解得，t＝63（s）；
③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQ C′，
即4t﹣360＝t+45，
解得，t＝135（s）；
综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．
故答案为：15秒或63秒或135秒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
22．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则 EPF 的度数为 _____．
答案：45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
过作，
，
，
，，
，
，
同理可得，
由折叠可
解析：45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
MN AB，
过M作//
//
AB CD，
∴，
////
AB CD NM
∴∠=∠，NMF MFC
AEM EMN
∠=∠，
∠=︒，
EMF
90
90AEM CFM ∴∠+∠=︒，
同理可得P AEP CFP ∠=∠+∠， 由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 1()452
P AEM CFM ∴∠=∠+∠=︒， 如图2，
过M 作//MN AB ，
//AB CD ，
////AB CD NM ∴，
180AEM EMN ∴∠+∠=︒，180NMF MFC ∠+∠=︒，
360AEM EMF CFM ∴∠+∠+∠=︒，
90EMF ∠=︒，
36090270AEM CFM ∴∠+∠=︒-︒=︒，
由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 12701352
P ∴∠=︒⨯=︒， 综上所述：EPF ∠的度数为45︒或135︒，
故答案为：45°或135°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF 的度数．
23．如图，AB ∥CD ，CF 平分∠DCG ，GE 平分∠CGB 交FC 的延长线于点E ，若∠E ＝34°，则∠B 的度数为____________．
答案：68°
【分析】
如图，延长DC 交BG 于M ．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x ，
∠CGE=∠MGE=y ．构建方程组证明∠GMC=2∠E 即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意
解析：68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有
22
x y GMC
x y E
=+∠
⎧
⎨
=+∠
⎩
①
②
，
①-2×②得：∠GMC=2∠E,
∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°，
故答案为:68°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．
24．如图，已知AB∥CD,∠EAF =1
4
∠EAB,∠ECF=1
4
∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关
系是_____________________________
答案：4∠AFC=3∠AEC
【详解】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18
解析：4∠AFC=3∠AEC
【详解】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出
∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），
∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC=3
∠AEC，
4
即：4∠AFC=3∠AEC，
故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
25．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
答案：y=90°-x+z．
【分析】
作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90
解析：y=90°-x+z．
【分析】
作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，
∠CDH =∠2，∠HDE =∠z ，由∠C ＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y =∠z +∠2，可证∠y =∠z +90°-∠x 即可．
【详解】
解：作CG ∥AB ，DH ∥EF ，
∵AB ∥EF ，
∴AB ∥CG ∥HD ∥EF ，
∴∠x =∠1，∠CDH =∠2，∠HDE =∠z
∵∠BCD ＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y =∠CDH +∠HDE =∠z +∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x ，
∴∠y =∠z +90°-∠x ．
即y =90°-x +z ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 26．如图，将直角三角形ABC 沿AB 方向平移得到三角形4,1,4,3DEF AD EF CH ===，三角形ABC 周长为12．下列结论：①//BH EF ；②AD BE =；③ACB DFE ∠=∠；④四边形ACFE 的周长为14；⑤阴影部分的面积为203
．其中正确的是_________．
答案：①②③④
【分析】
①由平移变换可知，因为点B 、H 、C 三点在同一条直线上可得出结论； ②由平移变换可知，可得到，，即可得出结论；
③因为平移前后角的度数是不变的，即可得出结论；
④由平移变换可知四边
解析：①②③④
【分析】
①由平移变换可知//BC EF ，因为点B 、H 、C 三点在同一条直线上可得出结论； ②由平移变换可知DE AB =，可得到AB AD DB =+，DE BE DB =+，即可得出结论； ③因为平移前后角的度数是不变的，即可得出结论；
④由平移变换可知四边形ADFC 是平行四边形，四边形ACFE 的周长为：
AD CF DE EF AC ++++，求解即可；
⑤S 阴影=ADFC HCF S
S -，根据条件求解即可． 【详解】
①DEF 是由ABC 平移得来的，
//,BC EF ∴ 又点B 、H 、C 三点在同一条直线上，
∴//BH EF ，
∴①正确；
②DEF 是由ABC 平移得来的，
,
,,,
DE AB AB AD DB DE BE DB AD BE ∴==+=+∴=
∴②正确；
③DEF 是由ABC 平移得来的，
∴平移前后角的度数是不变的，
∴ACB DFE ∠=∠，
∴③正确； ④三角形ABC 周长为12，
12AB BC AC ∴++=， DEF 是由ABC 平移得来的，
∴边的长度不变且//AC DF ，
12,
12,DE EF DF DE EF AC ∴++=∴++=
∴四边形ADFC 是平行四边形，
1,AD CF ∴==
四边形ACFE 的周长为：AD CF DE EF AC ++++，
∴四边形ACFE 的周长为：2+12=14，
∴④正确；
⑤由④得四边形ADFC 是平行四边形，
1CF AD ∴==， S 阴影=ADFC HCF S S -，
,
,,
BC AE BC AD BC CF ⊥∴⊥∴⊥
S ∴阴影=12AD EF HC CF -
1414123
243
10,3
=⨯-⨯⨯=-= ∴⑤错误．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换，平行线的公理，平行四边形的性质，有一定综合性，熟练掌握和运用这些性质是解题的关键．
27．如图，已知//AB CD ，13EAF EAB ∠=∠，13
ECF ECD ∠=∠，86AFC ∠=︒，则AEC ∠的度数是__________．
答案：【分析】
连接AC ，设∠EAF ＝x ，∠ECF ＝y ，∠EAB ＝3x ，∠ECD ＝3y ，根据平行线性质得出∠BAC ＋∠ACD ＝180°，求出∠CAE ＋∠ACE ＝180°−（2x ＋2y ），求出∠AEC ＝2
解析：129︒
【分析】
连接AC ，设∠EAF ＝x ，∠ECF ＝y ，∠EAB ＝3x ，∠ECD ＝3y ，根据平行线性质得出∠BAC ＋∠ACD ＝180°，求出∠CAE ＋∠ACE ＝180°−（2x ＋2y ），求出∠AEC ＝2（x ＋y ），∠AFC ═2（x ＋y ），即可得出答案．
【详解】
解：连接AC ，
设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠CAE＋3x＋∠ACE＋3y＝180°，
∴∠CAE＋∠ACE＝180°−（3x＋3y），∠FAC＋∠FCA＝180°−（2x＋2y）
∴∠AEC＝180°−（∠CAE＋∠ACE）
＝180°−[180°−（3x＋3y）]
＝3x＋3y
＝3（x＋y），
∠AFC＝180°−（∠FAC＋∠FCA）
＝180°−[180°−（2x＋2y）]
＝2x＋2y
＝2（x＋y），
∠AFC＝129°．
∴∠AEC＝3
2
故答案为：129°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形内角和定理求解是解答此题的关键．
28．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN，MF交于点O．若∠E+60°＝2∠F，则∠AMF的大小是___．
答案：【分析】
作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数．
【详解】
解：作，如图，
，
，
，，
是的平分线，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
解析：40︒
【分析】
作//EH AB ，则1AME ∠=∠，2CNE ∠=∠，而12AME AMF ∠=∠，所以12MEN AMF CNE ∠=∠+∠，同理可得12
F AMF CNE ∠=∠+∠，变形得到22F AMF CNE ∠=∠+∠，利用等式的性质得322
F E AMF ∠-∠=∠，加上已给条件602MEN F ∠+︒=∠，于是得到3602
AMF ∠=︒，易得AMF ∠的度数． 【详解】
解：作//EH AB ，如图，
//AB CD ，
//EH CD ，
1AME ∴∠=∠，2CNE ∠=∠，
EM 是AMF ∠的平分线，
12
AME AMF ∴∠=∠， 12MEN ∠=∠+∠，
12
MEN AMF CNE ∴∠=∠+∠， 同理可得，
12
F AMF CNE ∠=∠+∠， 22F AMF CNE ∴∠=∠+∠，
322
F MEN AMF ∴∠-∠=∠， 602MEN F ∠+︒=∠，即260F MEN ∠-∠=︒，
∴3602
AMF ∠=︒， 40AMF ∴∠=︒，
故答案为：40︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，合理作辅助线和把一般结论推广是解决问题的关键．
29．如图，将一副三角板按如图放置（60E ∠=︒，45B ∠=︒），则下列结论： ①13∠=∠；
②如果230∠=︒，则有//BC AE ；
③如果123∠=∠=∠，则有//BC AE ；
④如果//AB ED ，必有30EAC ∠=︒．
其中正确的有___（填序号）．
答案：①③④
【分析】
根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．
【详解】
解：，
，故①正确，
当时，，，
，
故与不平行，故②错误，
当时，可得，
，故③正确，
取与的交点为，
，，
，
，
解析：①③④
【分析】
根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．
【详解】
解：90EAD CAB ∠=∠=︒，
13∠∠∴=，故①正确，
当230∠=︒时，360∠=︒，445∠=︒，
34∴∠≠∠，
故AE 与BC 不平行，故②错误，
当123∠=∠=∠时，可得3445∠=∠=︒，
//BC AE ∴，故③正确，
取AC 与ED 的交点为F ，
60E ∠=︒，//AB ED ，
90FAB EFA ∴∠=∠=︒，
906030EAC ∴∠=︒-︒=︒，
故④正确，
故答案是：①③④．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角板的性质．
30．将1，2，3，6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，如（5，4）表示的数是2（即第5排从左向右第4个数），那么（2021，1011）所表示的数是 ___．
答案：1
【分析】
所给一系列数是4个数一循环，看是第几个数，除以4，根据余数得到相应循
环的数即可．
【详解】
解：前2020排共有的个数是：，
表示的数是第个数，
，
第2021排的第1011个数为1．
解析：1
【分析】
所给一系列数是4个数一循环，看(2021,1011)是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．
【详解】
解：前2020排共有的个数是：
(20201)2020 123420202041210
2
+⨯
++++⋯⋯+==，
(2021,1011)
∴表示的数是第204121010112042221
+=个数，
204222151055541
=⨯+，
∴第2021排的第1011个数为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关键．
31．三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B 比a多买7件商品．则先生C购买的商品数量是________．
答案：7件．
【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y
解析：7件．
【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答．
【详解】
解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品．
则有x2-y2=48，即（x十y）（x-y）=48．
∵x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，。