人教A版新教材高中数学第二册课时作业10：8.5.3第一课时平面与平面平行的判定

8.5.3 平面与平面平行
第一课时平面与平面平行的判定
基础达标
一、选择题
1.下列四个说法中正确的是()
A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β
B.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β
C.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β
D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β
『解析』由面面平行的判定定理知C正确.
『答案』 C
2.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
『解析』∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
『答案』 A
3.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
『解析』由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.
『答案』 D
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，点E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()
A.平面ABB1A1
B.平面BCC1B1
C.平面BCFE
D.平面DCC1D1
『解析』取AB，DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)，故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
『答案』 C
5.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()
A.1个或2个
B.0个或1个
C.1个
D.0个
『解析』①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
『答案』 B
二、填空题
6.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________________.
『解析』b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故『答案』为相交或平行.
『答案』相交或平行
7.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).
『解析』若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.
『答案』平行
8.已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面的周长为________. 『解析』如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即四边形
GMNH为过点G且与侧面ABB1A1平行的截面.易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.
『答案』12
三、解答题
9.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EF∥AC，G是DE的中点.求证：平面ACG∥平面BEF.
证明如图，连接BD交AC于点O，连接OG，易知O是BD的中点，故OG∥BE.
又BE⊂平面BEF，OG⊄平面BEF，
所以OG∥平面BEF.
因为EF∥AC，AC⊄平面BEF，
所以AC∥平面BEF.
又AC∩OG＝O，AC⊂平面ACG，OG⊂平面ACG，
故平面ACG∥平面BEF.
10.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q
分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC. 又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
能力提升
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
『解析』连接HN，FH，FN.∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，∴M∈FH.
『答案』M在线段FH上
12.如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点.
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明.
(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得F 为AE的中点，
∴GF为△AEC的中位线，
∴GF∥AC.
又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)解平面GFP∥平面ABC，证明如下：连接FP，GP.
∵点F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.
又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，
∴FP∥平面ABC，
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP，
∴平面GFP∥平面ABC.
创新猜想
13.(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的
一个充分条件是()
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C.存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
『解析』对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交.若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选CD.
『答案』CD
14.(多选题)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中()
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.BC∥平面P AD
C.AB∥平面PCD
D.平面P AD∥平面P AB
『解析』把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.
同理可证EF∥平面ABCD，
又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；
平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；
∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面P AD，故选项B，C正确.
『答案』ABC。