备战2020年河北中考数学考点速练：攻克专题得分高 专题二 规律探索

专题二 探索规律
（10年9考，仅2019年未考查）
类型一 数式规律
（2014.20，2012.17）
1. (2019贺州)计算11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋…＋137×39
的结果是( ) A. 1937 B. 1939 C. 3739 D. 3839
2. (2019十堰)一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n 个数为57
，则n ＝( ) A. 50 B. 60 C. 62 D. 71
3. (2019武汉)观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2，….已知按一定规律排列的一组数：250，251，252，…，299，2100.若250＝a ，用含a 的式子表示这组数的和是( )
A. 2a 2－2a
B. 2a 2－2a －2
C. 2a 2－a
D. 2a 2＋a
4. (2019济宁)已知有理数a ≠1，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数是11－2
＝－1，－1的差倒数是11－（－1）＝12
.如果a 1＝－2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…依次类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是( )
A. －7.5
B. 7.5
C. 5.5
D. －5.5
5. (2019滨州)观察下列一组数：
a 1＝13，a 2＝35，a 3＝69，a 4＝1017，a 5＝1533
，…， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n ＝________(用含n 的式子表示)．
6. 如图，在数轴上，A 1、P 两点表示的数分别是1、2，若A 1与A 2到点O 的距离相等，A 2与A 3到点P 的距离相等，A 3与A 4到点O 的距离相等，A 4与A 5到点P 的距离相等，…，依此规律，则点A 10表示的数是________．
第6题图
7. 将连续正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对(m ，n )表示从上到下第m 排，从左到右第n 个数，如(3，2)表示正整数5，(4，3)表示正整数9，则(20，19)表示的正整数是________．
第7题图
8. (2019安徽)观察以下等式：
第1个等式：21＝11＋11
， 第2个等式：23＝12＋16
， 第3个等式：25＝13＋115
， 第4个等式：27＝14＋128
， 第5个等式：29＝15＋145
， …
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________________________________________________________________;
(2)写出你猜想的第n 个等式：________(用含n 的等式表示)，并证明．
9.(2019廊坊安次区二模)如图，自左向右，水平摆放一组小球，按照以下规律排列，如：红球，黄球，绿球，红球，黄球，绿球，…，嘉淇依次在小球上标上数字1，2，3，4，5，6，…，
尝试左数第三个黄球上标的数字是________；
应用若某个小球上标的数字是101，则这个小球的颜色是什么？它左边共有多少个与它颜色相同的小球？
发现试用含n的代数式表示左边第n个黄球所标的数字．
第9题图
10. (2019邢台一模)如下表所示，有A，B两组数：
根据表格所呈现的规律，解决下列问题：
(1)A组第4个数是________；
(2)用含n的代数式表示B组第n个数是______，并简述理由；
(3)在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等，请说明理由．
类型二图形变化规律
(10年3考：2016.19，2015.20，2014.20)
1. (2016河北19题3分)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A发出后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠
2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝________°.…若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝________°.
第1题图
2. (2015河北20题3分)如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．
第2题图
3. 如图①，以△ABC 的三个顶点和其内部的一点P ，共4个点，可将△ABC 分割成3个互不重叠的小三角形；如图②，以△ABC 的三个顶点和其内部不同的两点P 、Q ，共5个点，可将△ABC 分割成5个互不重叠的小三角形；如图③，以△ABC 的三个顶点和其内部不同的3个点P 、Q 、M ，共6个点，可将△ABC 分割成________个互不重叠的小三角形；…；依此类推，以△ABC 的三个顶点以及其内部的不同的m 个点，可将△ABC 分割成21个互不重叠的三角形，则m 的值为________．
第3题图 第4题图 4. 如图，已知点O 是射线AA 1上一点，过点O 作∠AOB ＝60°，在射线OB 上取点B 1，使得∠B 1AO ＝20°，过点B 1作射线AC 1，作∠C 1B 1O 的平分线交∠A 1OB 的平分线于点P ；将射线AC 1绕点A 逆时针旋转15°得到射线AC 2，与射线OB 交于点B 2，作∠C 2B 2O 的平分线与∠A 1OB 的平分线交于点P 1，则∠OP 1B 2的度数为________；将射线AC 2绕点A 逆时针旋转15°，得到射线AC 3，交射线OB 于B 3，作∠C 3B 3O 的平分线与∠A 1OB 的平分线交于点P 2，得到∠OP 2B 3，…，依此方式，将射线AC 1旋转n 次，可得到∠OP n B n ＋1，则n 的最大值为________．
5. (2019石家庄正定新区模拟)P n 表示多边形对角线的交点个数(指落在多边形内部的交点)，若这些交点都不重合(任意三条对角线不交于一点)，如图，四边形对角线交点个数P 4＝1，五边形对角线交点个数P 5＝5，
则六边形对角线交点个数P 6＝________；发现P n ＝n ·n －14·n －a a ·n －b b
(其中a ，b 是常数，n ≥4)，则P 12＝________．
第5题图
6. 如图，在△ABC 中，∠A ＝64°，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，则∠A 1＝________；∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…；∠A n －1BC 的平分线与∠A n －1CD 的平分线交于点A n ，得∠A n ，要使∠A n 的度数为整数， 则n 的值最大为________．
第6题图
7. (2019邢台三模)如图，A 、B 是直线MN 上的两点，直线l 1、l 2的初始位置与直线MN 重合，将l 1绕点A 顺时针以每秒10°的速度旋转，将l 2绕点B 逆时针以每秒5°的速度旋转，且两条直线从重合位置同时开始旋转，设旋转时间为n 秒(n 是正整数)．当n ＝1时，设l 1、l 2的交点为C 1; 当n ＝2时，设l 1、l 2的交点为C 2；当n ＝3时，设l 1、l 2的交点为C 3；…；那么当n ＝1时，l 1、l 2相交所得的钝角是________；当C n 落在MN 上方．．
时，n 的最小值是________．
第7题图
8. 如图①，△ABC 是⊙O 内接等边三角形，直线MN 与⊙O 相切于点A ，P 是BC ︵的中点，则∠P AM ＝90°；
如图②，正方形ABCD 是⊙O 内接正方形，直线MN 与⊙O 相切于点A ，P 是BC ︵的中点，则∠P AM ＝________；
如图③，若正n 边形ABC …GQ 是⊙O 内接正n 边形，直线MN 与⊙O 相切于点A ，P 是BC ︵的中点，若∠P AM
的度数小于30°，则n 的最小值是________．
第8题图
类型三 周期变化规律
(10年5考：2018.22，2017.16，2013.20，2011.18，2010.12)
【提分要点】
1．先观察所给数字或图形，然后再找出循环周期，记为n ；
2. 用M÷n＝W……q(0≤q＜n)，则第M个数字或第M次变换后的图形就是一个循环中第q个数字或第q次变换后的图形，或存在一定的倍分关系；
3. 根据题意求出第q个数字或第q次变换后对应图形的相关结论，即可求解．
1. (2018河北22题9分)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？
(2)求第5个台阶上的数x是多少？
应用求从下到上前31个台阶上数的和．
发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．
第1题图
2.(2019毕节)下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是()
第2题图
A. 上方
B. 右方
C. 下方
D. 左方
第3题图
3. (2019河南)如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为()
A. (10，3)
B. (－3，10)
C. (10，－3)
D. (3，－10)
4. (2019海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是________．
5. (2019玉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边碰撞的次数是________．
第5题图
6.(2019台州)砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎…按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止，操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共________个．
7. (2019石家庄桥西区二模)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的点A0出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向右沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；A4A0间的距离是______；…；按此规律运动到点A2019处，则点A2019与点A0间的距离是______．
第7题图第8题图
8. (2019石家庄42中模拟)如图，正△ABC的边长为2，顶点B、C在半径为2的圆上，顶点A在圆内，将正△ABC绕点B逆时针旋转，当点A第一次落在圆上时，则AC中点D运动的路线长为________(结果保留π)；若点A落在圆上记做第1次旋转，将△ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上记做第2次旋转，再绕点C将△ABC逆时针旋转，当点B第一次落在圆上，记做第3次旋转，…，如此旋转下去，当△ABC完成第2019次旋转时，BC边共回到原来位置________次．
9.(2019唐山路北区一模)如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….
(1)“17”在射线________上；
(2)请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律；
(3)“2019”在哪条射线上？
第9题图
参考答案
类型一 数式规律
1. B 【解析】原式＝12×(1－13＋13－15＋15－17＋17－19…＋137－139)＝12×(1－139)＝1939
. 2. B 【解析】由题意，这列数分母与分子之和为2的有一个，为3的有两个，为4的有三个，按此规律，57出现在和为12的那一组中，又∵每一组的数都是以分子为1开始，故57
是分子分母和为12那一组的第五个数，由于分子分母和为12的为第十一组，则前十组共有1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个数，故57
是第60个数，则n ＝60.
3. C 【解析】250＋251＋…＋299＋2100＝250×(1＋2＋22＋…＋249＋250)＝250×(1＋251－2)＝250×(251－
1)，∵250＝a ，∴250×(251－1)＝a (2a －1)＝2a 2－a .
4. A 【解析】∵a 1＝－2，a 2是a 1的差倒数，∴a 2＝11－a 1＝11－（－2）＝13，同理，a 3＝11－a 2＝11－13＝32，a 4＝11－a 3＝11－32
＝－2，….∵100÷3＝33……1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(－2＋13＋32)＋(－2＋13＋32)＋…＋(－2＋13＋32
) ＋(－2) 33组
＝(－16)＋(－16)＋…＋(－16) ＋(－2)＝(－16)×33＋(－2)＝－112－42＝－152
＝－7.5. 33组
5. n （n ＋1）2n ＋1＋2
【解析】观察下列一组数：a 1＝13，a 2＝35，a 3＝69，a 4＝1017，a 5＝1533，….我们发现分子分别为1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，…；分母分别为3＝21＋1，5＝22
＋1，9＝23＋1，17＝24＋1，33＝25＋1，….∴第n 个数a n ＝1＋2＋3＋…＋n 2n ＋1＝12n （n ＋1）2n ＋1＝n （n ＋1）2n ＋1＋2
. 6. －17 【解析】由题意可得，点A 1表示的数为1，点A 2表示的数为－1，点A 3表示的数为2×2－(－
1)＝5，点A 4表示的数为－5，点A 5表示的数为2×2－(－5)＝9，点A 6表示的数为－9，…，∴A 10＝－[1＋4×(10÷2－1)]＝－17.
7. 209 【解析】若用有序数对(m ，n )表示从上到下第m 排，从左到右第n 个数，由有序数对(3，2)表
示正整数5、(4，3)表示整数9可得，(3，2)＝3×（3－1）2＋2＝5，(4，3)＝4×（4－1）2
＋3＝9；…，由此可以发现，对所有有序数对(m ，n ) (n ≤m )都有(m ，n )＝
m （m －1）2＋n ，∴(20，19)＝20×（20－1）2＋19＝209.
8. 解：(1)211＝16＋166
； (2)22n －1＝1n ＋1n （2n －1）
. 证明：∵右边＝1n ＋1n （2n －1）
＝2n －1＋1n （2n －1）
＝
22n －1 ＝左边，
∴等式成立．
9. 解：尝试：8；
应用：三个数为一组，101÷3＝33……2，由余数为2可知这个小球颜色与第2个小球的颜色相同，即黄色；由商数为33可知它左边共有33个与它颜色相同的小球；
发现：3n －1.
10. 解：(1)3；
【解法提示】当n ＝4时，n 2－2n －5＝42－2×4－5＝16－8－5＝3.
(2)3n －2；
理由：B 组前4个数所呈现的规律是从1开始，依次增加3，∴猜想第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，当n ＝9时，3n －2＝3×9－2＝25，与表格中数据一致．
∴B 组第n 个数是3n －2；
(3)不存在同一列上的两个数相等．
理由：由题意得，n 2－2n －5＝3n －2，
解得n ＝5±372
， ∵n 是正整数，∴不存在同一列上的两个数相等．
类型二 图形变化规律
1. 76；6 【解析】∵A 1A 2⊥OA ，∠O ＝7°，∴∠2＝90°－∠O ＝83°，∴∠1＝∠2＝83°，∴∠AA 1A 2＝180°－83°×2＝14°，∴∠A ＝90°－∠AA 1A 2＝90°－14°＝76°；如解图，设从点A 1到 点A n 处时，光线反射能沿原路返回到点A ，此时，A n －1A n ⊥OA ，或A n －1A n ⊥OB ，当A n －1A n ⊥OA 时，∠3＝∠4＝83°，∴∠6＝∠5＝∠4－∠O ＝83°－7°＝76°，∴∠8＝∠7＝∠6－∠O ＝76°－7°＝69°，∴锐角∠A 的最小值为69°－7°×9＝6°；当A n －1A n ⊥OB 时，同理可得锐角∠A 的最小值为6°.
第1题解图
2. 9 【解析】由作图可知OA ＝AA 1＝…＝A n －1A n ＝1，∴∠A 1AA 2＝18°，∠A 2A 1A 3＝27°，∠A 3A 2A 4＝36°，…，∠A n A n －1A n ＋1＝9°＋9°n ，如解图，过点A n 作A n －1A n ＋1的垂线，垂足为H ，根据题意，当A n A n －1·sin ∠A n A n －1A n ＋1＝sin ∠A n A n －1A n ＋1<1，即底角∠A n A n －1A n ＋1<90°时，线段A n A n ＋1与线段A n A n －1可以构成等腰三角形，∴当底角∠A n A n －1A n ＋1＝90°时，第n ＋1条线段和第n 条线段不能构成等腰三角形，即9°＋9n °＝90°，解得n ＝9.
第2题解图
针对演练
3. 7；10 【解析】画出图形如解图所示，由解图可知当△ABC 内有3个不同的点时，共有7个互不重叠的小三角形，∵当m ＝1时，有3个互不重叠的小三角形，当m ＝2时，有5个互不重叠的小三角形，当m ＝3时，有7个互不重叠的小三角形，由此可猜想，当△ABC 内有m 个不同的点时，可分割成2m ＋1个互不重叠的小三角形，根据题意可得2m ＋1＝21，解得m ＝10.
第3题解图
4. 72.5°；6 【解析】∵将射线AC 1逆时针旋转n 次时，∠C n ＋1B n ＋1O ＝20°＋n ·15°＋60°，∠A 1OB ＝120°，
∴∠C n ＋1B n ＋1O ＋∠A 1OB ＝20°＋n ·15°＋60°＋120°＝200°＋n ·15°，∴∠P n B n ＋1O ＋∠P n OB ＝12
(200°＋n ·15°)＝100°＋n ·7.5°，∴∠OP n B n ＋1＝80°－n ·7.5°，当n ＝1时，∠OP 1B 2＝72.5°，∵80°－n ·7.5°>0，∴n <323
，又∵∠A 1OB n ＋1是△AOB n ＋1的外角，∴∠A 1OB n ＋1>∠OAB n ＋1即120°>20°＋n ·15°，∴n <203
，∵n 为整数，∴n 的最大值为6.
5. 15；495 【解析】由题图，可得：当n ＝4时，P 4＝1；当n ＝5时，P 5＝5.将数值P 4＝1，P 5＝5，代
入公式，得⎩⎨⎧1＝4×4－14×4－a a ×4－b b
5＝5×5－14×5－a a ×5－b b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3，∴P n ＝n ·n －14·n －22·n －33，∴六边形对角线交点个数P 6＝15，P 12＝495.
6. 32°；6 【解析】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC ＝12
∠ABC ，∠A 1CD ＝12∠ACD ，又∵∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1BC ＋∠A 1，∴12(∠A ＋∠ABC )＝12
∠ABC ＋∠A 1，∴∠A 1＝12∠A ，同理可得∠A 2＝12∠A 1，由此可得以下规律：∠A n ＝12n ∠A ，∵∠A ＝64°，∴∠A 1＝32°，∠A 6＝1°，∴要使∠A n 的度数为整数，n 的最大值为6.
7. 165°；13 【解析】当n ＝1时，由旋转得∠BAC 1＝10°，∠ABC 1＝5°.在△ABC 1中，∠AC 1B ＝180°－∠BAC 1－∠ABC 1＝180°－10°－5°＝165°.由题意可得，当n ≤12时，若l 1旋转n 次，∠BAC n ＝10n °；若l 2旋转n 次，∠ABC n ＝5n °.在△ABC n 中，∠BAC n ＋∠ABC n ＋∠AC n B ＝180°.∴∠AC n B ＝180°－∠BAC n －∠ABC n ＝180°－10n °－5n °＝180°－15n °(n ≤12)．当直线l 1、l 2第一次平行时，即180°－15n °＝0°，解得n ＝12.此时若继续旋转，C n 将开始落在MN 上方．∵n 为正整数，∴当C n 落在MN 上方时，n 的最小值是13.
8. 67.5°；10 【解析】如题图②，正方形ABCD 是⊙O 内接正方形，P 是BC ︵的中点，∵MN 与⊙O 相
切，∴∠BAM ＝90°－45°＝45°，∠P AB ＝22.5°，∴∠P AM ＝∠P AB ＋∠BAM ＝67.5°；如题图③，正n 边形
内接于⊙O ，∠QAB ＝（n －2）×180°n ，∠BAM ＝90°－12×（n －2）180°n ＝180°n ，∠P AB ＝360°4n ＝90°n
，∴∠P AM ＝∠BAM ＋∠P AB ＝180°n ＋90°n ＝270°n ，又∵∠P AM ＜30°，∴270°n
＜30°，n ＞9，则n 的最小值是
10.
类型三周期变化规律
1.解：尝试(1)前4个台阶上数的和是－5－2＋1＋9＝3；(2分)
(2)根据题意可得－2＋1＋9＋x＝3，(3分)
解得x＝－5；(4分)
应用根据规律，第5个台阶上的数是－5，第6个台阶上的数是－2，第7个台阶上的数是1，第8个台阶上的数是9，第9个台阶上的数是－5，即台阶上的数字每4个一循环，且依次为－5，－2，1，9，
∵31÷4＝7……3，(6分)
∴前31个台阶上数的和为3×7＋(－5－2＋1)＝15；(7分)
发现根据规律，数“1”所在的台阶数分别为3、7、11、15、…，
∴数“1”所在的台阶数为3＋4(k－1)＝4k－1.(9分)
2.C【解析】根据图案旋转的规律可得每四个图案一循环，2019÷4＝504…3，则第2019个图案与第三个图案相同，箭头指向下方．
3.D【解析】由题图可得，点D的横坐标与点A的横坐标相同都是－3，AB＝3－(－3)＝6，∴点D 的纵坐标是4＋6＝10，则点D的起始位置的坐标是(－3，10)；∵组合图形绕原点O每次顺时针旋转90°，∴旋转的次数是4的整数倍时，则点D的对应点回到原来位置(－3，10)，∵70÷4＝17……2，∴第70旋转结束时与第2次旋转结束时点D的位置相同．∵点(－3，10)关于原点O的中心对称点为(3，－10)，∴组合图形绕原点O顺时针旋转70次，每次旋转90°时，点D的对应点坐标为(3，－10)．
4.0，2【解析】由题意可得，这2019个数依次为0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，…，且6个数为一个循环，∴前6个数的和是0.∵2019÷6＝336……3，∴这2019个数的和是2.
5. 673【解析】如解图，在网格中画出发光电子与矩形边碰撞的情况，发现当第6次碰撞后，点P回到起点，∴循环周期为
6.∵2019÷6＝336……3，即碰撞循环336次后，再次回到起点和AB边碰撞，∵每个循环时和AB边碰撞2次，∴它与AB边共碰撞336×2＋1＝673次．
第5题解图
6. 3 【解析】∵210÷3＝70，∴第一轮后，还剩210－70＝140个金蛋；∵140÷3＝46……2，∴第二轮后，还剩140－46＝94个金蛋；∵94个金蛋里还有一个编号为66的，故砸碎编号是“66”的“金蛋”共3个．
7. 23；2 【解析】如解图，∵⊙O 的半径为2，由题意得，A 0A 1＝4，A 0A 2＝23，A 0A 3＝2，A 0A 4＝23，A 0A 5＝2，A 0A 6＝0，A 0A 7＝4，…，∵2019÷6＝336……3，∴按此规律运动到点A 2019处，A 2019与A 3重合，∴A 0A 2019＝A 0A 3＝2.
第7题解图
8. 36
π；168 【解析】如解图，连接OA ′、OB 、OC .∵OB ＝OC ＝2，BC ＝2，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝45°；同理可证，∠OBA ′＝45°，∴∠A ′BC ＝90°；∵∠ABC ＝60°，∴∠A ′BA ＝90°－60°＝30°，∴∠D ′BD ＝∠A ′BA ＝30°，∵BD ＝2×sin60°＝3，∴当点A 第一次落在圆上时，则AC 的中点D 运动的路线长为30π·3180＝36
π.∵△ABC 的三边依次在正方形CBA ′C ″的边上，BC 边每12次回到原来位置，2019÷12＝168……3，∴当△ABC 完成第2019次旋转时，BC 边共回到原来位置168次．
第8题解图
9. 解：(1)“17”在射线OE 上；
(2)射线OA 上数字的排列规律：6n －5(n 为正整数)；
射线OB 上数字的排列规律：6n －4(n 为正整数)；
射线OD 上数字的排列规律：6n －2(n 为正整数)；
(3)由题可知6个数字一次循环，∵2019÷6＝336……3.∴“2019”与数字3所在的射线相同，∴“2019”在射线OC 上．。