广东省广州市第六中学、广东广雅中学、广州市执信中学等六校2016届高三第一次联考理数试题(原卷版)

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.复数3i
i -在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
3.已知cos cos tan sin sin α
αααα+=+则的值为 （ ）
A ．﹣1
B ．﹣2
C ．1
2 D ．2
4.直线sin 20x α++=的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．),0[π
B ．),43
[]4,0[πππ
⋃
C ．]4,0[π
D ．),2(]4,0[ππ
π⋃
5.右图给出的是计算201
61
41
21
+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A. 10i >
B. 10i <
C. 20i >
D. 20i <
6.将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移
8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ）
A ．43π
B ．0
C ．4π
D ．4
π- 7.求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是 （ ）
A ．120()S x x dx =-⎰
B ．120()S x x dx =-⎰
C ．120()S y y dy =-⎰
D ．10
(S y dy =⎰ 8.设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）
①若α⊥l ，则l 与α相交
②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l
③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n
④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||n A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
9.如图，已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在线段AB 上，且AOC ∠=030，设 (),OC mOA nOB m n R =+∈,则
m n 等于（ ）
A ．13
B ．3 C
10.已知曲线22:x y C =，点(0,2)A -及点(3,)B a ，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a
的取值范围是（ ）.
A ．（4，＋∞） B.（－∞，4） C.（10，＋∞） D.（－∞，10）
11.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )
A
． B ． 4
C
．D
．
12.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2
)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（ ）
A ． [3,3]-
B ． [3,)+∞
C ． [2,)+∞
D ．(,2][2,)-∞-+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知关于x 的二项式n x a x )(3+
展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为 .
14.变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-11
01x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为 .
15.∆ABC 的内角A ，B ， C 所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，若sin B =513，cos B =12ac
，
则a c +的值为 ．
16.()f x 是定义在R 上的函数，且(3)()3f x f x +≤+，(2)()2f x f x +≥+，(0)0f =，则
(2016)f = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）若公比为q 的等比数列{}n a 的首项11a =，且满足n a =
122
n n a a --+，（3,4,5n =…） （1）求q 的值；
（2）设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前项和n S 18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为35
，乙与丙击中目标的概率分别为,m n ()m n >，每人是否击中目标是相互独立的．记目标被击中的次数为ξ，且ξ的分布列如下表：
（Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）求ξ的数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =.
（Ⅰ）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B
所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 垂直于AP ，并证明你的结论
.
20.（12分）已知直线10x y -+=经过椭圆S ： 22
221(0)x y a b a
b +=>>的一个焦点和一个顶点． （1）求椭圆S 的方程；
（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．
①若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；
②对任意0k >，求证：PA PB ⊥．
21.（本小题满分12分）
设定义在区间],[21x x 上的函数)(x f y =的图像为C ，点A 、B 的坐标分别为))(()),(,(2211x f x x f x 且))(,(x f x M 为图像C 上的任意一点，O 为坐标原点，当实数λ满足21)1(x x x λλ-+=时，记向量k ≤-+=||.)1(若λλ恒成立，则称函数)(x f y =在区间],[21x x 上可在标准k 下线性近似，其中k 是一个确定的正数。

（Ⅰ）求证：A 、B 、N 三点共线
（Ⅱ）设函数2)(x x f =在区间[0,1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；
（Ⅲ）求证：函数x x g ln )(=在区间1,()m m e e m R +⎡⎤∈⎣⎦上可在标准8
1=k 下线性近似。

（参考数据：e ≈2.718, ln(1)e -≈0.541）
四、解答题（三选一，多选者以前一题的分数计入总分）
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，41=PB PA ，21=PC PD . （Ⅰ）求BC
AD 的值； （Ⅱ）若BD 为⊙O 的直径，且1=PA ，求BC 的长．
23.(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
直线4,:(),:)124x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩
为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。

（1）求圆心C 到直线l 的距离；
（2）若直线l 被圆C a 求的值。

24.(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． (I)求m 的取值范围；
(Ⅱ)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．
：。